课时跟踪检测(60) 最值问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(60)　最值问题 基础强化练 1．(2024·安徽淮南模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆的右焦点(c，0)到直线x－y＋2＝0的距离是4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程． 解：(1)∵椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4， 设椭圆C的右焦点为(c，0)， ∴＝4，∴c＝2， 又∵离心率e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2， 联立得(1＋3k2)x2＋12kx＝0， ∴x1＝0，x2＝－， ∴|AB|＝|x2－x1|＝， 令t＝1＋3k2(t≥1)， ∴|AB|2＝(1＋k2)×＝16(－＋＋1)，t≥1， ∴当＝，即t＝4时，|AB|2＝16(－＋＋1)，t≥1取得最大值， 此时k＝±1，|AB|2最大值为18，即|AB|最大值为3， 又∵3>4， ∴弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 2．(2024·广东江门模拟)在直角坐标系xOy中，动点P到直线x＝4的距离是它到点M(1，0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线l：x＝my－1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值． 解：(1)设P(x，y)，因为点P到直线x＝4的距离是它到点M(1，0)的距离的2倍，所以|x－4|＝2， 则x2－8x＋16＝4x2－8x＋4＋4y2， 整理得＋＝1，故曲线C的方程为＋＝1. (2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 则Δ＝(－6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0，y1＋y2＝，y1y2＝－. 因为l：x＝my－1过点(－1，0)， 所以S△MAB＝×2×|y1－y2|＝＝ ＝. 令t＝，t≥1，f(t)＝3t＋， 则f′(t)＝3－>0在[1，＋∞)上恒成立，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，则当t＝1时，f(t)min＝f(1)＝4，则S△MAB的最大值为3. 故△MAB面积的最大值为3. 能力提升练 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，且过点(e，3)，其中e为双曲线C的离心率． (1)求C的标准方程； (2)过点M(－2，0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A，B，点N在线段AB上，且＝，P为线段AB的中点，记直线OP，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，求|k1|＋|k2|的最小值． 解：(1)因为双曲线C：－＝1的实轴长为2，则a＝1， 由双曲线过点(e，3)，且e＝＝c，则c2－＝1， 即解得 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)设直线l：x＝my－2(m≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x3，y3)，P(x4，y4)， 由题意可知x1<x2<x3<x4， 联立方程整理得(3m2－1)y2－12my＋9＝0， 由题意可得 解得m>或m<－， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 可得y4＝＝，x4＝my4－2＝－2＝， 则P(，)，所以k1＝＝3m. 因为＝，则＝， 整理得y3＝＝＝， 则x3＝my3－2＝m×－2＝－，即N(－，)， 则k2＝＝－. 所以k1k2＝3m×(－)＝－9，即|k1k2|＝9. 所以|k1|＋|k2|≥2＝6，当且仅当|k1|＝|k2|， 即或时，等号成立， 此时m＝1或－1，均满足l与C的左、右两支分别相交． ∴|k1|＋|k2|的最小值为6. 素养养成练 4．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 解：(1)当MD⊥x轴时，M点的坐标为(p，p)，所以|MF|＝＋p＝3，得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)如图，由(1)知F(1，0)，D(2，0). 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，此时α－β＝0. 当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 则直线MN的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y－y1＝(x－x1)＝(x－x1)， 即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)， 所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x. 同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x. 因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4. 因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8， 所以y3＝－，y4＝－. 所以y3＋y4＝－－＝－＝－＝2(y1＋y2)，y3y4＝＝＝－16， 所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x， 所以tan α＝，tan β＝， 所以tan (α－β)＝＝＝ 2×. 当y2＋y1＜0时，tan (α－β)＜0，所以不符合题意． 当y2＋y1＞0时，(y2＋y1)＋≥4， tan (α－β)≤2×＝， 当且仅当y2＋y1＝，即y2＋y1＝2时取等号， 此时α－β取得最大值，直线AB的方程为x－y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$