课时跟踪检测(59) 直线与圆锥曲线的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(59)　直线与圆锥曲线的位置关系 基础强化练 1．(2024·江苏连云港模拟)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．1 C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，x1＋x2＝－，因为AB中点的横坐标为1，所以－＝1，解得k＝－. 2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为(　　) A．2 B． C． D． D　解析：∵过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝1，由e＝＝＝. 3．(2024·广东广州模拟)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 C　解析：由题意得到直线x＋y＋4＝0与椭圆相切，设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n>0)，直线x＋y＋4＝0代入椭圆方程，消x得(m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，Δ＝64m2－4(16m－1)·(m＋n)＝0，整理，得m＋n＝16mn，又因为c＝2，焦点在x轴上，所以－＝4，联立解得m＝，n＝，故椭圆方程为＋＝1，则长轴长为2. 4．(2024·四川成都石室中学模拟)已知抛物线C：y2＝2px的准线为直线x＝－1，焦点为F，直线l1：x－my－＝0与C交于P，Q两点(点P在x轴上方)，与直线x＝－1交于点R，若|QF|＝3，则＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由题可得抛物线方程为y2＝4x，所以焦点F(1，0)，如图所示，则|QF|＝3＝xQ＋1，解得xQ＝2， 联立方程消去y得x2－(4m2＋2)x＋5＝0. 可知2xP＝5，解得xP＝，所以＝＝＝＝. 5．(多选)(2023·山东烟台模拟预测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，A(－，0)，若△PAF为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为(　　) A． B． C． D．－ AB　解析：由题意知|AP|≠|PF|，设P(x，y)(x>0)，若|AF|＝|PF|，则1＋＝x＋1，解得x＝，则点P的坐标为(，)或(，－)，所以kAP＝或kAP＝－；若|AP|＝|AF|，则(x＋)2＋y2＝(1＋)2.因为y2＝4x，所以2x2＋13x－7＝0，解得x＝或x＝－7(舍去)，所以点P的坐标为(，)或(，－)，所以kAP＝或kAP＝－. 6．(2024·湖北荆州模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率为(　　) A．2 B． C． D．5 C　解析：由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，则kPM·kPN＝·＝，因为－＝1，－＝1，所以两式相减可得＋＝0，即＝，因为kPM·kPN＝4，所以＝4，则e＝＝＝. 7．(2024·福建福州模拟)已知椭圆C：＋＝1，直线l与C在第二象限交于A，B两点(A在B的左下方)，与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|∶|AB|∶|BN|＝1∶2∶3，则l的方程为____________． 答案：x－y＋4＝0　解析：如图， 由条件得B点为线段MN中点，设B点坐标为(x0，y0)，得M(2x0，0)，N(0，2y0)，由|MA|∶|AB|＝1∶2得A坐标为A(，)，将A，B坐标分别代入＋＝1中， 得解得 则M，N坐标分别为(－4，0)，(0，4)， 故直线方程为＋＝1，即x－y＋4＝0， 所以直线l的方程为x－y＋4＝0. 8．过点P(1，1)作直线l与双曲线x2－＝λ交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是____________． 答案：(－∞，0)∪(0，)　解析：因为双曲线方程为x2－＝λ，所以λ≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.将A，B两点坐标代入双曲线方程，得两式相减并化简可得＝2×＝2.即直线l的斜率为2，所以直线的方程为y＝2x－1.联立化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.因为直线l与双曲线有两个不同的交点，所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ<且λ≠0.所以λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，). 9．(2023·江西吉安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴比短轴长2，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，求l的方程． 解：(1)因为椭圆C的离心率为， 所以＝1－，解得＝. 又因为椭圆C的长轴比短轴长2，所以2a－2b＝2， 联立方程组解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)显然点M(－2，1)在椭圆9x2＋16y2＝144内， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆C上， 所以 两个方程相减得9(x－x)＋16(y－y)＝0， 即9(x1－x2)(x1＋x2)＝－16(y1－y2)(y1＋y2)， 因为线段AB的中点为M(－2，1)， 所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 所以＝－×＝. 所以l的方程为y－1＝(x＋2)，即9x－8y＋26＝0. 10．(2024·山东济南开学考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，点A(2，1)在C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过C右焦点的直线l交C于P，Q两点，若kAP＋kAQ＝0，求l的方程． 解：(1)由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，且点A(2，1)在C上， 有所以 故双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)双曲线的右焦点坐标为(，0)， 显然直线l的斜率不为0，设l：x＝my＋，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则联立双曲线得：(m2－2)y2＋2my＋1＝0，m2－2≠0， 故Δ＝8m2＋8>0， y1＋y2＝－，y1y2＝， 由kAP＋kAQ＝＋＝0， 化简得2my1y2－(m＋2－)(y1＋y2)＋4－2＝0， 故2m·－(m＋2－)·＋4－2＝0， 即(m＋1)[m－(2－)]＝0，m＝－1或m＝2－， 当m＝2－时，直线l过A点，不合题意，舍去， 所以直线l的方程x＋y－＝0. 能力提升练 11．(多选)(2024·河北唐山一模)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　) A．y1·y2为定值 B．k1·k2为定值 C．y1＋y2为定值 D．k1＋k2＋t为定值 ABD　解析：由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1·y2＝－16为定值，A正确；对于B，k1·k2＝＝＝－1，B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0，则k1＋k2＋t为定值，D正确． 12．(多选)(2024·河北沧州联考)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P(，)为线段MN的中点，则下列说法正确的是(　　) A．m2＝6 B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为3x＋y－2＝0 D．△F2MN的周长为4 AC　解析：如图所示， 根据题意，因为椭圆C的焦点在y轴上，所以m2－2＝4，则m2＝6，故选项A正确；椭圆C的离心率为e＝＝＝，故选项B错误；不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入椭圆C的方程得＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，变形得＝－3×，又因为点P(，)为线段MN的中点，所以＝＝＝＝1，所以直线l的斜率为kl＝＝－3×＝－3×1＝－3，所以直线l的方程为y－＝－3(x－)，即3x＋y－2＝0，故选项C正确；因为直线l过点F1，所以△F2MN的周长为|F2M|＋|F2N|＋|MN|＝(|F2M|＋|F1M|)＋(|F2N|＋|F1N|)＝2a＋2a＝4a＝4，故选项D错误． 13．(2024·山东青岛期末)已知双曲线C：－＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为(　　) A．|AB|的最小值为 B．以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x C．满足|AB|＝2的直线有3条 D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率k∈(－∞，－)∪(，＋∞) BD　解析：选项A，当直线l的斜率为0时，A，B两点分别为双曲线的顶点，则|AB|＝2a＝6，6<，故选项A不正确；选项B，F(5，0)，则以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x，故选项B正确；选项C，当A，B两点同在双曲线的右支时(通径为最短弦)，则|AB|≥＝>2，此时无满足条件的直线．当A，B两点分别在双曲线一支上时(实轴为最短弦)，则|AB|≥2a＝6>2，此时无满足条件的直线，故选项C不正确；选项D，过右焦点F分别作两渐近线的平行线l1，l2，如图，将l1绕焦点F沿逆时针方向旋转到与l2重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点．此时直线l的斜率k>或k<－，故选项D正确． 14．(2024·江苏连云港模拟)已知双曲线C的渐近线为4x±3y＝0，右焦点为F(5，0)，右顶点为A. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点(与点A不重合)，当·＝0时，求直线l的方程． 解：(1)双曲线C的渐近线4x±3y＝0化为±＝0，设双曲线C的方程为－＝λ(λ>0)， 即－＝1，又因为双曲线C的右焦点F(5，0)， 则9λ＋16λ＝52，解得λ＝1， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)如图，由(1)知，A(3，0)，设直线l的方程为y＝x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然m≠－3， 由消去y整理得7x2－18mx－(9m2＋144)＝0，显然Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝－， 而＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)， 则·＝(x1－3)(x2－3)＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋(m－3)(x1＋x2)＋m2＋9＝＋m2＋9＝0， 化简得7m2－54m－225＝0，即(7m－75)(m＋3)＝0，又因为m≠－3，解得m＝， 所以直线l的方程为y＝x＋，即7x－7y＋75＝0. 素养养成练 15．(2024·福建三明模拟)如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF|＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点(A，B，C，D依次排序)，且|AB|－|CD|＝，求直线l的方程． 解：(1)由抛物线y2＝4x可知F(1，0)， 故由|PF|＝得，|PF|＝xP＋1＝，xP＝，故y＝，则P(，)， 则对于＋＝1有解得 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当过点F的直线l的斜率不存在时， 则有|AB|＝|CD|不符合题意， 故设直线l的斜率为k，则直线方程为y＝k(x－1)， 联立抛物线方程 整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝2＋， 故|AC|＝x1＋x2＋2＝4＋， 联立整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 设B(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3＋x4＝，x3·x4＝， 则|BD|＝·＝·＝， 又因为|AB|－|CD|＝|AC|－|BD|，所以|AB|－|CD|＝， 即4＋－＝，整理得14k4－9k2－18＝0，解得k2＝， 由题图可知，k>0，故k＝， 故直线l的方程为y＝(x－1)，即x－2y－＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$