课时跟踪检测(58) 抛物线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(58)　抛物线 基础强化练 1．(2024·湖北十堰模拟)下列四个抛物线中，开口朝左的是(　　) A.y2＝5x B．x2＝－5y C．y2＝－5x D．x2＝5y C　解析：抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上． 2．(2024·江苏镇江模拟)抛物线y＝8x2的焦点到准线的距离是(　　) A． B． C．2 D．4 B　解析：抛物线y＝8x2化为标准方程x2＝y，则其焦准距为p＝，即焦点到准线的距离是. 3．(2024·河北保定开学考试)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为O，经过点A(x0，2)，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝(　　) A． B．1 C． D．2 C　解析：如图，因为点A(x0，2)在抛物线上，|AF|＝3|OF|，所以x0＋＝，所以x0＝p，所以A(p，2)，所以4＝2p2，解得p＝. 4．(2024·浙江温州联考)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，且抛物线C与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点为A，若AF⊥x轴，则p＝(　　) A．2 B．1 C． D． C　解析：由题设F(，0)，且A在第一象限，AF⊥x轴，则A(，p)，又A在椭圆上，故＋p2＝1，解得p2＝，而p>0，故p＝. 5．(多选)(2024·海南海口模拟)设F(0，)为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且|AF|＝9，则(　　) A．p＝8 B．F(0，4) C．直线AF的斜率为 D．△AOF的面积为8 ABD　解析：由题意得＝，又因为p>0，故解得p＝8，所以抛物线C的方程为x2＝16y，焦点F(0，4)，故A，B正确； 由抛物线定义及|AF|＝yA＋＝yA＋4＝9，得yA＝5，代入抛物线方程可得xA＝±4得A(±4，5)，所以kAF＝＝±，故C不正确；△AOF的面积S＝|OF|·|xA|＝8，故D正确． 6．(2024·河北石家庄模拟)世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用.1878年阿塔姆斯又曾做了许多研究和改进，到了1889年全世界就有了许多太阳灶的专利，有了各种各样形式的太阳灶．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1 m，高为0.25 m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为(　　) A．0.25 m B．0.5 m C．1 m D．2 m A　解析：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，根据图可得点(0.5，0.25)在抛物线上，代入抛物线方程得0.52＝2p×0.25，解得p＝，轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为0.25 m． 7．(2024·河北石家庄模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(x0，1)(x0>1)在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若|PO|＝|PQ|(O为坐标原点)，则x0＝(　　) A．2 B．3 C．3 D．4 A　解析：如图，因为|PO|＝|PQ|＝|PF|，所以＝1×2，即p＝4，x2＝8y，x＝8×1，又因为x0>0，所以x0＝2. 8．(2024·湖北武汉模拟)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则|PF|＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 B　解析：如图，依题意∠QFH＝，|HF|＝3，|QH|＝3，|QF|＝6，又|PF|＝|QP|，∠PQF＝，则△PQF为等边三角形，有|PF|＝6. 9．(2024·江苏盐城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线2x－y－4＝0交于A，B两点，且|AB|＝3.若抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝(　　) A．7 B．7 C．6 D．5 B　解析：由题设，得x＝＋2，代入抛物线可得y2－py－4p＝0，所以yA＋yB＝p，yAyB＝－4p，则|AB|＝×＝3，则p2＋16p－36＝0，可得p＝－18(舍)或p＝2，故xA＋xB＝＋4＝5，由抛物线定义知|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝7. 10．(多选)(2024·海南阶段模拟)直线y＝x－2与抛物线C：y2＝2x相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A．抛物线C的准线方程为y＝－ B．拋物线C的焦点为(，0) C．若O为原点，则∠AOB＝90° D．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1 BC　解析：由C：y2＝2x，得其焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，A错误，B正确；联立直线与拋物线得y2－2y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，y1y2＝－4，而x1x2＝＝4，由·＝x1x2＋y1y2＝0，即⊥，故C正确，显然直线y＝x－2不过焦点F，由拋物线定义有|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1>|AB|，D错误． 11．(2024·江苏徐州模拟)抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，则C的准线方程为____________. 答案：y＝－2　解析：因为抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，所以抛物线C的准线方程为y＝－2. 12．(2024·山东临沂模拟)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－2与抛物线交于点A，且|AF|＝.写出抛物线的一个标准方程________________. 答案：y2＝2x或y2＝8x或y2＝－2x或y2＝－8x(写出一个即可)　解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－2)，由抛物线定义得＝|AF|＝. 又∵(－2)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±4，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±8x. 13．已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，直线l：y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1·k2＝________. 答案：－1　解析：设切线斜率为k，M(x0，－)，则切线方程为y＋＝k(x－x0)，代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.Δ＝0，所以k2p2－2px0·k－p2＝0.k1，k2是以上方程的两个根，所以k1·k2＝－1. 能力提升练 14．(多选)(2024·山东滨州模拟)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点P(9，6)在C上，直线PF交C于另一点Q，则(　　) A．C的准线方程为x＝1 B．直线PQ的斜率为 C．|FQ|＝2 D．线段PQ的中点的横坐标为 BD　解析：对A，∵点P(9，6)在抛物线C上，则18p＝36，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1，0)，准线x＝－1，A错误；对B，直线PQ的斜率k＝＝，B正确；对C，直线PQ的方程y＝(x－1)，联立方程解得或即Q(，－)，故|FQ|＝＋＝＋1＝，C错误；对D，线段PQ的中点的横坐标为＝，D正确． 15．(多选)(2023·河北·统考模拟预测)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，点A，B在C上，且弦AB的中点到直线x＝－2的距离为5，则(　　) A．p＝16 B．线段AB的长为定值 C．A，B两点到C的准线的距离之和为14 D．|AF|·|BF|的最大值为49 CD　解析：由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，所以＝4，则p＝8，A错误；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由弦AB的中点到直线x＝－2的距离为5，可得＋2＝5，所以x1＋x2＝6，当AB过点F时，由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋4＋x2＋4＝x1＋x2＋8＝14；当x1＝x2＝3时，|AB|＝8，所以AB的长不是定值，B错误；A，B两点到C的准线的距离之和与|AF|＋|BF|相等，为14，C正确；|AF|·|BF|≤()2＝49，当且仅当|AF|＝|BF|＝7时等号成立，故|AF|·|BF|的最大值为49，D正确． 16．(2024·广东梅州模拟)点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x＋3的垂线，垂足分别为G，H，则|PG|＋|PH|的最小值为(　　) A． B．2 C．＋1 D．＋2 B　解析：由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1，0)，由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|，|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|，如图，当F，P，H在一条直线上时，|PF|＋|PH|取得最小值为|FH|，利用点到直线距离公式可以求出|FH|＝＝2，所以|PG|＋|PH|的最小值为2. 17．(多选)(2024·湖南常德模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则(　　) A．p＝2 B．|AB|≥4 C．·＝－4 D．k1k2＝－4 ABD　解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，设直线l：x＝my＋1，则消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝·＝－4，故D正确． 18．(2024·山西太原模拟)已知A，B，C，D，E为抛物线y＝x2上不同的五点，抛物线焦点为F，满足＋＋＋＋＝0，则||＋||＋||＋||＋||＝________. 答案：10　解析：抛物线y＝x2的准线方程为y＝－1，焦点坐标为(0，1).设A，B，C，D，E的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，y5，∵＋＋＋＋＝0，∴y1－1＋y2－1＋y3－1＋y4－1＋y5－1＝0，∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5，根据抛物线的定义，可得||＋||＋||＋||＋||＝y1＋1＋y2＋1＋y3＋1＋y4＋1＋y5＋1＝10. 素养养成练 19．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|＞|OA|2 D．|BP|·|BQ|＞|BA|2 BCD　解析：如图，因为抛物线C过点A(1，1)， 所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误； 因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2， 所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又因为点B(0，－1)在直线y＝2x－1上， 所以直线AB与C相切，所以B正确； 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直线PQ的方程为y＝kx－1， 由得x2－kx＋1＝0， 所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0， 得k＞2或k＜－2， 所以|OP|·|OQ|＝·＝ ＝·x1x2＝＝＞2＝|OA|2， 所以C正确； |BP|·|BQ|＝·＝·＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝k2＋1＞5＝|BA|2，所以D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$