课时跟踪检测(56) 椭圆（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(56)　椭　圆 基础强化练 1．(2024·吉林白山模拟)古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点P(x，y)到定点A(1，0)和到定直线x＝4的距离之比是，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 B　解析：由题意得＝，整理得＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆． 2．(2024·山西联考)若k∈R，则“－2<k<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得－2<k<－1或－1<k<2，所以“－2<k<2”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 3．(2024·湖北开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>3)的离心率为，则a＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：因为椭圆C：＋＝1(a>3)的离心率为，所以()2＝1－，所以a＝6. 4．(2024·湖南永州开学考试)已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． B　解析：由题得t－4>10－t>0，即7<t<10，由焦距为4得t－4－(10－t)＝4，解得t＝9，可得椭圆方程为x2＋＝1，所以b＝1，a＝，又因为c＝2，所以离心率为＝. 5．(多选)(2024·湖北武汉模拟)若椭圆＋＝1(m>0)的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有(　　) A． B． C． D．2 BCD　解析：由题意可知，a＝，b＝＝m(m>0)，若这两个顶点为长轴的两个端点时，2＝4，m＝；若这两个顶点为短轴的两个端点时，2m＝4，m＝2；若一个顶点为短轴的端点，另一个为长轴的端点时，＝4，m＝. 6．(2024·湖南联考)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为(　　) A．64 B．16 C．8 D．4 B　解析：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2，因为椭圆上的点P满足||PF1|－|PF2||≤|F1F2|，当点P为F1F2的延长线与C的交点时，||PF1|－|PF2||取得最大值，最大值为|F1F2|＝4.所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|的最大值为16. 7．(2024·广东深圳模拟)如图，点P在以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的(　　) A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍 D　解析：由＋＝1可知a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝12－3＝9，所以F1(－3，0)，F2(3，0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点O为线段F1F2的中点，∴PF2∥MO，PF2⊥x轴，∴可设P(3，y)，把P(3，y)代入椭圆＋＝1，得y2＝，∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝，∴＝＝7. 8．(2024·黑龙江哈尔滨开学考试)已知椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的短轴长为________． 答案：2　解析：由题意得离心率e＝＝＝＝，解得b＝1，椭圆C的短轴长为2b＝2. 9．(2024·山东青岛统考)已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线E：y＝x2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为____________． 答案：＋＝1　解析：由题意得抛物线E化为标准方程得x2＝4y，焦点坐标为F(0，1)，∵抛物线E的焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，则由焦点坐标和长轴长知c＝1，2a＝4，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1. 10．(2024·山东烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：________． ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为. 答案：＋＝1(答案不唯一)　解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可，令m＝1，焦点在x轴上，则椭圆的方程为＋＝1(答案不唯一). 11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|＝2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是________． 答案：[，1)　解析：由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝，|PF2|＝，在椭圆中，|PF1|－|PF2|≤2c，所以≤2c，即e＝≥，又因为2a>2c，所以e＝<1，所以该椭圆离心率的取值范围是[，1). 12．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 答案：8　解析：因为|PQ|＝|F1F2|，所以PF1⊥PF2.因为|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝48，所以|PF1||PF2|＝[(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2]＝×(64－48)＝8，故＝|PF1||PF2|×2＝8. 能力提升练 13．(2024·辽宁朝阳模拟)一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为0.9 m，细绳长为1.5 m，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为(　　) A．0.6 m B．1.2 m C．0.8 m D．1.6 m B　解析：根据题意，结合椭圆定义得：椭圆的长轴长为2a＝1.5，焦距为2c＝0.9，所以，椭圆的短半轴长为b＝＝＝＝＝0.6，因为过椭圆中心的弦中，最短的弦为椭圆的短轴，即为2b＝1.2，所以过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为2b＝1.2 m． 14．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q点．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A．(，1) B．(－1，1) C．(0，－1) D．(0，) B　解析：设P(x0，y0)，则Q(，y0)，∵四边形QPF1F2为平行四边形，∴|PQ|＝|F1F2|，∴－x0＝2c，即x0＝－2c＝∈(－a，a)，∴－1<<1，∴－1<2－e2－2e<1，得－1<e<1. 15．(2024·河北唐山开滦一模)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且Q(1，3)，求|PQ|＋|PF2|的最大值． 解：由椭圆方程可得a＝4，c＝2，则F1(－2，0)，如图，连接QF1并延长，交椭圆于点P， 则|PQ|＋|PF2|＝|PQ|＋2a－|PF1|＝8＋(|PQ|－|PF1|)≤8＋|QF1|(当且仅当点Q，F1，P三点共线时，且点P位于第三象限时取等号)，此时|PQ|＋|PF2|取最大值为8＋＝8＋3. 素养养成练 16. (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(　　) A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为2－ C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为2－1 BC　解析：如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为该圆的圆心． 因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝，设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝.因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，由正弦定理得＝，解得a＝，所以c＝－a＝，所以离心率e＝＝＝2－，焦距2c＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$