课时跟踪检测(55) 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(55)　直线与圆、圆与圆的位置关系 基础强化练 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为(　　) A．± B．±5 C．3 D．±3 B　解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即a＝±5. 2．与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　解析：由题意知，两圆圆心分别为(－2，2)与(2，5)，半径分别为1和4，圆心距为＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3. 3．(2024·山东泰安模拟)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° D　解析：由题意得，圆C的圆心为(0，0)，因为M(1，)，所以kCM＝，所以过M的切线l的斜率为－＝－，设倾斜角为θ，则tan θ＝－，由于θ∈[0，180°)，故θ＝150°. 4．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．3 C　解析：如图，切线长|PM|＝，显然当|PC|为圆C到直线y＝x＋1的距离即＝2时，|PM|最小为. 5．(多选)当实数m变化时，圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置关系可能是(　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 ABC　解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，C2：(x－m)2＋(y－1)2＝4的圆心为C2(m，1)，半径r2＝2，则|C1C2|＝，|r1－r2|＝1，r1＋r2＝3，∵|C1C2|＝≥1，当|C1C2|＝1时，两圆内切；当1<|C1C2|<3时，两圆相交；当|C1C2|＝3时，两圆外切；当|C1C2|>3时，两圆外离，∴两圆的位置关系可能是相切，外离，相交． 6．(2024·广东湛江模拟)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点(－2，0)射出，经y轴反射后的光线所在的直线与圆x2＋y2－2x－2y＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－1 B．－1或1 C．1 D．2 C　解析：易知(－2，0)关于y轴的对称点为(2，0)，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过(2，0)且与该圆相切，将圆x2＋y2－2x－2y＝0化简后可得(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以圆心为(1，1)，易知(2，0)在该圆上，所以(2，0)即为切点，因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为k，即×k＝－1，解得k＝1. 7．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案：2　解析：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2. 8．(2024·云南昆明模拟)已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，设满足“|AB|＝2”的实数对为(k，b)，则满足条件的一个实数对(k，b)可以为________. 答案：(0，)(答案不唯一)　解析：设O到直线y＝kx＋b的距离为d，则d＝，又因为|AB|＝2，圆O的半径为2，故d2＋()2＝4，即d2＝3，所以＝3，满足条件的实数对可以是(0，).故答案可以为(0，)(答案不唯一). 9．(2024·山东潍坊模拟)已知圆M满足与直线l：x－6＝0和圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝9都相切，且直线MN与l垂直，请写出一个符合条件的圆M的标准方程________________． 答案：(x－5)2＋(y－2)2＝1(答案不唯一)　解析：由条件可知：直线x＝6与圆N相离，不妨设圆M与圆N外切，设M(a，b)，半径为r，因为直线MN与l垂直，所以b＝2，则有解得所以圆M的标准方程为(x－5)2＋(y－2)2＝1. 10．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－6x－2y＋a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为________________. 答案：6或－6　解析：C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0的圆心为(3，－2)，半径为r＝1，圆C2：x2＋y2－6x－2y＋a＝0的圆心为(3，1)，半径为R＝，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此＝＋1或＝|－1|，解得a＝6或a＝－6. 11．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． (1)解：不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两个根，可得x1x2＝－2， 因为点C的坐标为(0，1)， 则·＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况． (2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内， 则由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2. 又因为|OC|＝1，所以|OD|＝2， 所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值． 能力提升练 12．(多选)(2024·山西忻州一模)已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，下列说法正确的是(　　) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ AC　解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心O1(1，0)，半径r1＝2.若m＝4，O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心O2(5，0)，半径r2＝4，则|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5，0)到直线x－y＝0的距离d＝<，解得m>，故C正确；若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以相交弦长|MN|＝2＝2＝，故D错误． 13．(2024·云南曲靖模拟)直线l与直线x－y＋3＝0垂直，且被圆(x－2)2＋(y－3)2＝8截得的弦长为2，则直线l的一个方程为________．(写出一个方程即可) 答案：x＋y－3＝0(或x＋y－7＝0)　解析：因为直线l与直线x－y＋3＝0垂直，所以可设l：x＋y＋m＝0，由圆(x－2)2＋(y－3)2＝8，可得圆心坐标为(2，3)，半径为2，又因为弦长为2，可得圆心到直线l的距离为d＝＝，即＝，解得m＝－7或m＝－3.所以直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋y－7＝0. 14．设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是__________． 答案：[－1，1]　解析：由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图， 过点O作OA垂直MN于点A，在Rt△OMA中，因为∠OMN＝45°，所以|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1，解得|OM|≤，因为点M(x0，1)，所以|OM|＝≤，解得－1≤x0≤1，故x0的取值范围是[－1，1]. 15．(2024·山东临沂模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(2，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为____________． 答案：x＝2或3x－4y＋6＝0　解析：圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(1，1)，半径r＝2，∵直线l被圆截得的弦长|AB|＝2，∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，满足圆心C(1，1)到x＝2的距离为1，∴x＝2满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l为y－3＝k(x－2)，即kx－y－2k＋3＝0，∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0. 综上可得，直线l的方程为x＝2或3x－4y＋6＝0. 16．(2024·重庆模拟)已知圆M与圆O：x2＋y2＝1内切，且圆M与直线x＝2相切，求圆M的圆心的轨迹方程． 解：设M(x，y)，点M到直线x＝2的距离为d，如图，圆M只能在直线x＝2的左侧，则d＝2－x， 因为圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，依题意可得|MO|＋1＝d，即＝(2－x)－1，化简可得y2＝1－2x，故圆M的圆心的轨迹方程为y2＝1－2x. 素养养成练 17．(2024·东北师大附中二模)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A. (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标； (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.在Rt△MAP中，MP2＝AM2＋AP2， 故MP＝＝4. 又因为MP＝＝， 所以＝4，解得b＝0或. 所以点P的坐标为(0，0)或(，). (2)因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为(b，)， 所以圆N的方程为(x－b)2＋(y－)2＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0. 由解得或 所以圆N过定点(0，4)和(，). 学科网（北京）股份有限公司 $$