课时跟踪检测(54) 圆的方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(54)　圆的方程 基础强化练 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 C　解析：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 2．(2023·泰州模拟)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．[－2，－) C．(－2，) D．(－2，2) C　解析：由题意得解得－2<k<. 3．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π ABD　解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确． 4．(2023·福建福州模拟)已知点Q在圆C：x2－4x＋y2＋3＝0上，点P在直线y＝x上，则|PQ|的最小值为(　　) A．－1 B．1 C． D．2 A　解析：圆C：(x－2)2＋y2＝1中圆心为C(2，0)，半径r＝1，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，则|PQ|min＝－1. 5．(2024·河北唐山模拟)已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若圆C上恰有三个点到直线l的距离都等于，则r＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．8 C　解析：圆心C(0，0)，则点C到直线l的距离d＝＝，又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为，所以圆心到直线l的距离d＝，即r＝2d＝2. 6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若·＝1，则点C的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 A　解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a＞0)，点C为(x，y)，则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，所以·＝(x－a)(x＋a)＋y2＝x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆． 7．(2024·福建福州模拟)已知圆O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为圆O2，点E，F分别为圆O1，圆O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a＝(　　) A．－或 B．－或 C．－或－ D．或 D　解析：由题意知两圆不可能相交或相切，如图， 当EF过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，EF长度最小，此时圆心O1到对称轴的距离为4，所以＝4，(2a＋7)2＝16(a2＋4)，解得a＝或a＝. 8．(2023·唐山模拟)若圆C：x2＋y2＋Dx＋2y＝0的圆心在直线x－2y＋1＝0上，则C的半径为________． 答案：　解析：圆C：x2＋y2＋Dx＋2y＝0的圆心为(－，－1)，则有－－2×(－1)＋1＝0，则D＝6，则C的半径为＝. 9．点M与两个定点O(0，0)，P(2，0)的距离的比为3∶1，则点M的轨迹方程为________． 答案：(x－)2＋y2＝　解析：设点M(x，y)，由题知＝3，两边平方化简得2x2＋2y2－9x＋9＝0，即(x－)2＋y2＝，故点M的轨迹方程为(x－)2＋y2＝. 10．已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)且圆心C在直线3x－y－2＝0上． (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点F(4，0)，求线段EF的中点M的轨迹方程． 解：(1)由题可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. (2)如图，设M(x，y)，E(x1，y1)，由F(4，0)及M为线段EF的中点得解得 又因为点E在圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝10上， 所以有(2x－4－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得(x－3)2＋(y－2)2＝，故点M的轨迹方程为(x－3)2＋(y－2)2＝. 能力提升练 11．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A.4 B．5 C．6 D．7 A　解析：设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图． 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号． 12．(多选)(2024·山东聊城期末)在平面直角坐标系内，已知A(－1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　) A．||＝|| B．||＝2|| C．·＝0 D．·＝2 BCD　解析：设点C的坐标为(x，y)则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y).对于A：由||＝||得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2＋y2，即x＝0，故A错误；对于B：由||＝2||得(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得3x2＋3y2－10x＋3＝0，即(x－)2＋y2＝，故B正确；对于C：由·＝0得(x＋1)(x－1)＋y2＝0，即x2＋y2＝1，故C正确；对于D：由·＝2得(x＋1)(x－1)2＋y2＝2，即x2＋y2＝3，故D正确． 13．写出一个圆心在直线x－y＝0上，且经过原点的圆的方程为________． 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)　解析：因为圆心在直线x－y＝0上，所以设圆心坐标为C(a，a)，又因为圆经过原点，则圆的半径为r＝|OC|＝＝|a|，且a≠0，故可取a＝1，得圆心为C(1，1)，半径r＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 14．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是____________． 答案：[－3，－1]∪[1，3]　解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.综上，实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1，3]. 15．(2024·山东烟台模拟)已知实数a，b满足a2＋b2－4a＋3＝0，求a2＋(b＋2)2的最大值． 解：方程a2＋b2－4a＋3＝0整理得(a－2)2＋b2＝1，设点A(a，b)，即点A是圆C：(x－2)2＋y2＝1上一点，又因为点B(0，－2)在圆C：(x－2)2＋y2＝1外，所以|AB|＝，则|AB|max＝|BC|＋r＝＋1＝2＋1，所以a2＋(b＋2)2的最大值为(2＋1)2＝9＋4. 素养养成练 16．(2023·上海奉贤中学三模)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，P在平面BCC1B1上，A，P之间的距离为5，求C1，P之间的最短距离． 解：如图，分别连接AP，BP，∵AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥BP，∵|AP|＝5，|AB|＝4， ∴|BP|＝＝3，故点P的轨迹为以B为圆心，3为半径的段圆弧，故|C1P|min＝|C1B|－3＝4－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$