课时跟踪检测(53) 两条直线的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(53)　两条直线的位置关系 基础强化练 1．(2024·海南海口模拟)若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． D． A　解析：解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点(，)，依题意，＝k，解得k＝4. 2．(2023·海南华侨中学模拟)点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(0，－1) D．(2，1) B　解析：设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得a＝0，b＝1，故点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0，1). 3．(2024·重庆统考)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0相互平行，则实数m的值是(　　) A．－4 B．1 C．－1 D．6 A　解析：∵l1：(m－2)x－3y－1＝0，l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0，l1∥l2，∴(m－2)(m＋2)＝－3m，解得m＝－4或m＝1，经检验m＝－4时满足题意． 4．(2024·安徽师大附中模拟)已知直线l1：x－2y－1＝0，l2：2x＋my＋2－2＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为(　　) A．1 B．2 C． D． A　解析：因为l1∥l2，所以m＋4＝0，解得m＝－4，经检验符合题意．因为l2：x－2y＋－1＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝＝1. 5．(2024·河北保定期中)点A(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－4＝0距离的最大值为(　　) A． B． C．1 D． D　解析：点A(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－4＝0的距离d＝，化简得d＝，其中φ满足tan φ＝，当sin (θ＋φ)＝－1时d取得最大值，即d＝. 6．(2023·山西联考)已知点P是曲线y＝x2－3ln x上任意的一点，则点P到直线2x＋2y＋3＝0的距离的最小值是(　　) A． B． C． D． D　解析：令y′＝2x－＝－1，x>0，得x＝1，即P(1，1)，可得d＝＝＝. 7．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 A　解析：∵l1∥l2，∴AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得点M所在直线的方程为x＋y－6＝0.因此，中点M到原点的最小距离为原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3. 8．在平面直角坐标系内，一束光线从点A(1，2)出发，被直线y＝x反射后到达点B(3，6)，则这束光线从A到B所经过的距离为(　　) A．2 B． C．4 D．5 B　解析：如图，作出点A关于直线y＝x的对称点C(2，1)，连接CB，交直线y＝x于点M，则|CB|即为光线经过路程的最小值，且|CB|＝＝，即光线从A到B所经过的距离为. 9．(2024·广东东莞期末)若直线l1：2x－5y＋1＝0与直线l2：2mx－y＋3＝0垂直，则实数m的值为________． 答案：－　解析：因为直线l1：2x－5y＋1＝0与直线l2：2mx－y＋3＝0垂直，所以2×2m＋(－5)×(－1)＝0，解得m＝－. 10．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小时k的值． 解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图， 所以四边形的面积S＝2k2×4×＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，当k＝－＝时，四边形面积最小． 能力提升练 11．(多选)若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的是(　　) A．直线l2的斜率为定值 B．当c＝25时，|PQ|的最小值为 C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20 D．c≠10 ABD　解析：∵l1∥l2，∴＝≠，∴a＝6，c≠10，故选项A，D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝＝，故选项B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故选项C错误． 12．(2024·辽宁鞍山模拟)已知直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，点P(3，2)，记P到l的距离为d，则d的取值范围为(　　) A．[0，] B．[0，) C．[0，2] D．[0，2) B　解析：由直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，可得λ(x＋y－3)＋2x－y－3＝0，由可解得即直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0过定点A(2，1)，则|PA|＝＝.当PA与直线x＋y－3＝0垂直时，d＝，当直线l过点P，即λ＝－时，d＝0，又直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0无论λ取何值，不能表示直线x＋y－3＝0，所以0≤d<. 13．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”．下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 BC　解析：选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A错误；同理，D错误；选项B中，点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B正确；选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，故C正确． 14．(2024·吉林辽源期末)在直角坐标系中，已知M(2，1)和直线l：x－y＝0，试在直线l上找一点P，在x轴上找一点Q，使三角形MPQ的周长最小，最小值为________． 答案：　解析：如图，作出M(2，1)关于直线l：x－y＝0的对称点N(1，2)，作出M(2，1)关于x轴的对称点E(2，－1)， 连接EN，交直线l于点P，交x轴于点Q，∵MP＝PN，MQ＝QE，∴三角形MPQ的周长为线段NE的长， 由两点间线段最短得此时三角形MPQ的周长最小， ∴三角形MPQ的周长最小时， 最小值为|NE|＝＝. 15．(2023·江苏徐州校考模拟预测)在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B(1，4)，C(4，3)，求∠C的正切值． 解：如图，根据角平分线的性质，B(1，4)关于y＝x的对称点一定在直线AC上， 设B关于y＝x的对称点为D，记D(a，b)，则y＝x是BD的中垂线，于是解得故D(4，1)， 又C(4，3)，故CD直线方程为x＝4，于是x＝4和y＝x的交点(4，4)为A的坐标，由B(1，4)，C(4，3)，A(4，4)，则|AB|＝3，|AC|＝1，|BC|＝，故|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，则∠BAC＝，tan ∠C＝＝3. 素养养成练 16．(2023·湖北联考)如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，求坐标原点到直线l的距离． 解：如图，当过A(2，1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3，4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分为面积相等的两个区域且kAB＝＝3，∵直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0，∴原点O到直线l的距离d＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$