课时跟踪检测(52) 直线的倾斜角、斜率与直线方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(52)　直线的倾斜角、斜率与直线方程 基础强化练 1．已知直线x＋my－3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为(　　) A．－ B．－ C．1 D． A　解析：由题意可知，直线x＋my－3＝0的斜率为－＝tan 30°＝，解得m＝－. 2．(2024·吉林长春模拟)若直线l的方向向量是e＝(－1，)，则直线l的倾斜角是(　　) A． B． C． D． C　解析：由题意得直线l的斜率为－，则直线的倾斜角是. 3．(2024·吉林白山模拟)对方程＝2表示的图形，下列叙述中正确的是(　　) A．斜率为2的一条直线 B．斜率为－的一条直线 C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6) D．斜率为－的一条直线，且除去点(－3，6) C　解析：方程＝2成立的条件知x≠－3，当x≠－3时，方程变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6). 4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) B　解析：由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合． 5．(2024·四川内江模拟)已知直线l1的斜率为－，直线l2的倾斜角为直线l1的倾斜角的一半，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B．－ C． D．不存在 C　解析：由直线l1的斜率为－，设其倾斜角为θ1，则tan θ1＝－，θ1＝120°，由直线l2的倾斜角为直线l1的倾斜角的一半，设直线l2的倾斜角为θ2，则2θ2＝θ1，θ2＝60°，tan θ2＝，故直线l2的斜率为. 6．(2024·山西大同模拟)已知A(2，－3)，B(2，1)，若直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为(　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2，2] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1，1] D　解析：过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示： 设直线l交线段AB于点M，设直线l的斜率为k，且kPA＝＝－1，kPB＝＝1，当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时－1＝kPA≤k<0；当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤kPB＝1.综上所述，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. 7．已知三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，)在同一条直线上，则k＝________． 答案：12　解析：由kAB＝kAC，得＝，解得k＝12. 8．(2024·湖南永州模拟)直线y＝x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是________． 答案：3　解析：直线y＝x－2的截距式为＋＝1，即横截距为3，纵截距为－2，所求面积为S＝×2×3＝3. 9．(2024·江西吉安模拟)已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，求直线l的方程． 解：∵直线y＝x＋1的倾斜角是45°，直线l的倾斜角是直线y＝x＋1倾斜角的两倍，∴要求直线的倾斜角是90°. ∵直线l过点P(3，3)，∴直线的方程是x＝3. 能力提升练 10．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线都通过定点(　　) A．(－，3) B．(，3) C．(，－3) D．(－，－3) D　解析：∵直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令得∴直线恒过定点(－，－3). 11．过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 B　解析：设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又因为直线过点(5，2)，所以＋＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0. 12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，1)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A．2x＋4y－3＝0 B．x－2y－3＝0 C．2x－y－3＝0 D．4x－2y－3＝0 D　解析：由AC＝BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，AB的中点为M(1，)，斜率kAB＝－，则AB垂直平分线的斜率k＝2，则△ABC的欧拉线的方程为y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0. 13．(2023·四川成都模拟)已知a>0，b>0，直线＋y＝b在x轴上的截距为1，则a＋9b的最小值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．10 B　解析：因为直线＋y＝b在x轴上的截距为1，所以＋0＝b，即ab＝1，因为a>0，b>0，所以a＋9b≥2＝6，当且仅当a＝9b，即a＝3，b＝时取等号，所以a＋9b的最小值为6. 14．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　) A．1 B． C．2 D．3 D　解析：当x＝0时，y＝a＋3；当y＝0时，x＝.令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a＞1，所以a－1＞0，所以t≥5＋2＝9，当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立． 素养养成练 15．(2024·湖南衡阳模拟)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)时，求的取值范围． 解：由表示M(x1，y1)与点A(1，－1)所成直线的斜率k，又由M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图所示， 可得C(0，1)，B(1，e)，则kAC＝－2，所以k≤－2，即k的取值范围为(－∞，－2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$