课时跟踪检测(51) 立体几何中的综合问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(51)　立体几何中的综合问题 基础强化练 1．(2024·江西九江一模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝，BC＝2，将△ABD沿BD翻折至△A′BD的位置，使得A′B⊥A′C，F为BC的中点． (1)求证：平面A′BD⊥平面BCD； (2)H为线段A′C上一点(端点除外)，若二面角C­DF­H的余弦值为，求线段A′H的长． (1)证明：由题意得A′B⊥A′C，A′B⊥A′D，A′C∩A′D＝A′，A′C，A′D⊂平面A′CD， 故A′B⊥平面A′CD， 又∵CD⊂平面A′CD，所以CD⊥A′B， 由直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝， 可得BD＝CD＝2，又由BC＝2，得CD⊥BD； ∵A′B∩BD＝B，A′B，BD⊂平面A′BD， 所以CD⊥平面A′BD. 又∵CD⊂平面BCD，∴平面A′BD⊥平面BCD. (2)解：取BD的中点E，连接A′E，EF， ∵A′B＝A′D，∴A′E⊥BD， 又∵平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD， ∴A′E⊥平面BCD， ∵E为BD的中点，F为BC的中点，可得EF∥CD，又∵CD⊥BD，∴EF⊥BD. 故以E为坐标原点，以EB，EF，EA′所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，A′(0，0，1)，D(－1，0，0)，F(0，1，0)，C(－1，2，0)， 设＝λ，λ∈(0，1)，则H(－λ，2λ，1－λ)， 设平面HDF的法向量为m＝(x，y，z)， ∵＝(1，1，0)，＝(1－λ，2λ，1－λ)， ∴ 令x＝1，得y＝－1，z＝，即m＝(1，－1，)为平面HDF的一个法向量， 由平面CDF的一个法向量为n＝(0，0，1)， 可得|cos 〈m，n〉|＝＝＝， 解得λ＝或λ＝0(舍)， 即H为A′C的中点，易知A′C＝， 故线段A′H的长为|A′C|＝. 2．(2023·陕西咸阳模拟)在图1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝，∠BCD＝，AD＝CD＝2，过点A作AE⊥AB，交BC于E.现沿AE将△ABE折起，使得BC⊥DE，得到如图2所示的四棱锥B­AECD，在图2中解答下列两问： 　 (1)求四棱锥B­AECD的体积； (2)若F在侧棱BC上，BF＝BC，求二面角C­EF­D的大小． 解：(1)在题图1中，∵∠ABC＝，AE⊥AB， ∴∠AEB＝，又∵∠BCD＝，∴AE∥CD， 又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形． ∵AD＝CD，∴平行四边形AECD为菱形． 如图，连接AC，则DE⊥AC， 又BC⊥DE，AC，BC⊂平面ABC，AC∩BC＝C， ∴DE⊥平面ABC， ∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE， ∵AE⊥AB，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AECD， ∴AB⊥平面AECD， 其中菱形AECD的面积为S1＝AD·AE sin ＝2×2×＝2，V四棱锥B­AECD＝S1×AB＝×2×(AE tan )＝4. (2)以A为原点，以AD所在的直线为y轴，以AB所在直线为z轴，过A点作垂直于AD的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系， 则B(0，0，2)，D(0，2，0)，E(，1，0)，C(，3，0)， ＝＋＝＋＝(－，－1，2)＋(，3，－2)＝(－，，)， 设平面CEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，＝(0，2，0)， 由 解得y1＝0，令z1＝1，则x1＝2，取n1＝(2，0，1)为平面CEF的一个法向量， 设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 又∵＝(－，1，0)， 由 令x2＝1，则y2＝，z2＝－2，取n2＝(1，，－2)， ∴n1·n2＝0，∴n1⊥n2， 故二面角C­EF­D为. 能力提升练 3．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，在△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上的动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围． (1)证明：∵C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点， ∴BC⊥AC， 又∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC. (2)解：∵E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF， 又EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF， 又∵BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l， ∴BC∥l. 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，)， E(，0，)，F(，2，)， ＝(－，0，)，＝(0，2，0). ∵BC∥l，∴可设Q(2，y，0)，平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取z＝，得m＝(1，0，)为平面AEF的一个法向量， 又∵＝(1，y，－)， ∴|cos 〈，m〉|＝＝∈(0，]. ∴直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为(0，]. 素养养成练 4．(2024·云南曲靖模拟)如图1所示，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠B＝，DE垂直平分AB.现将三角形ADE沿DE折起，使得二面角A­DE­B大小为，得到如图2所示的空间几何体(折叠后点A记作点P). (1)求点D到面PEC的距离； (2)点Q为PE上一动点，满足＝λ(0<λ<1)，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置． 解：(1)因为AB＝4，BC＝2，∠B＝60°， AC＝＝6， 所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠C＝，DC＝BC， 因为DE垂直平分AB，所以DE⊥PD，DE⊥BD， 所以∠PDB为平面PDE与平面BCED的二面角的平面角，所以∠PDB＝，PD＝BD， △PDB为等边三角形， 取BD中点O，连接PO，OC， 所以PO⊥BD，OC⊥BD. 因为PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PDB， 所以DE⊥平面PDB，因为DE⊂平面BCED， 所以平面PDB⊥平面BCDE， 因为PO⊥BD，OC⊥BD，所以∠POC为二面角P­BD­C的平面角，所以PO⊥OC，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，3)，D(－，0，0)，E(－，2，0).所以＝(0，3，－3)，＝(－，2，－3)， 设平面PEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则n＝(－，1，1)为平面PEC的一个法向量，＝(，0，3)， 所以点D到平面PEC的距离为d＝＝＝. (2)设Q(x1，y1，z1)，因为＝λ(0<λ<1)， 所以(x1，y1，z1－3)＝λ(－，2，－3)， 所以所以Q(－λ，2λ，3－3λ)， 所以＝(－λ－，2λ，3－3λ)， 设直线BQ与平面PEC所成角为θ，θ∈[0，]， sin θ＝＝ ＝ ＝， 所以当λ＝时，sin θ有最大值为. 此时直线BQ与平面PEC所成角最大， 即当＝时，直线BQ与平面PEC所成角最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$