课时跟踪检测(46) 直线、平面垂直的判定与性质（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(46)　直线、平面垂直的判定与性质 基础强化练 1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 C　解析：当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在直线与l平行，故A项错误；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交，故B项错误；当l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，故D项错误；无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直． 2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　) A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直 A　解析：因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1， 因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2，则OM＝＝，MN＝＝， ON＝＝，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN. 3．(2024·陕西咸阳模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题： ①若m∥n，n⊂α，则m∥α，②若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，③若m⊥α，m⊥β，则α∥β，④若α⊥β，m⊂β，n⊂α，则m⊥n. 其中正确的命题是(　　) A．②③ B．②④ C．①③ D．①② A　解析：对于①，因为当m∥n，n⊂α时，m∥α或m⊂α，所以①错误，对于②，因为当m⊂α，m⊥β时，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，所以②正确，对于③，因为当m⊥α，m⊥β时，有α∥β，所以③正确，对于④，因为当α⊥β，m⊂β，n⊂α时，如图所示，m∥n，所以④错误． 4.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 A　解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上． 5．(2024·山东滨州模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． C　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠D1BC. 因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C. 又因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥D1C，所以∠D1BC＋∠BD1C＝，即α＋β＝. 6．(2024·广东茂名模拟)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为6，侧棱长为8，D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为________. 答案：　解析：如图，取BC中点E，连接DE，AE，由正三棱柱知DE⊥平面ABC，且DE＝4，因为AE是斜线AD在底面上的射影，所以∠DAE为直线AD与底面ABC所成角，在正三角形中AE＝×6＝3，直线AD与底面ABC所成角的正切值为＝＝. 7．在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V­AB­C的大小为________. 答案：60°　解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O， 则VO⊥AB.取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.因为VH∩VO＝V，VH，VO⊂平面VHO，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V­AB­C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.又因为OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V­AB­C的大小是60°. 8.在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论： ①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a. 其中正确的是________．(填序号) 答案：①②③④　解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，故④正确． 9.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别在棱BB1，CC1上，棱AA1⊥底面ABC，且AB＝BC＝CA＝CE＝EC1＝2BD，记过点A，D，E的平面为α. (1)画出平面α与底面ABC的交线； (2)证明：平面α⊥平面ACC1A1. (1)解：如图所示，分别延长ED和CB相交于点F，连接AF，则AF即为所求交线． (2)证明：因为CE＝2BD，且CC1∥BB1，所以B是CF的中点，所以CB＝BF. 又因为CB＝AB，所以BC＝BF＝BA， 可知△FAC是直角三角形，∠FAC＝，即AF⊥AC. 又平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， 所以AF⊥平面ACC1A1， 又AF⊂平面α，故平面α⊥平面ACC1A1. 10．如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，AP∥DE. (1)求证：AB∥平面CDE； (2)若AP＝BP＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，F为PB中点，求证：AF⊥PC. 证明：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD. 又因为CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE， 所以AB∥平面CDE. (2)若AP＝BP＝AB，则△ABP为等边三角形，如图． 因为F为PB中点，所以AF⊥BP. 因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD， 所以CB⊥平面PAB. 又因为AF⊂平面PAB，所以CB⊥AF. 又因为AF⊥PB，CB∩PB＝B，CB，PB⊂平面PBC， 所以AF⊥平面PBC，又因为PC⊂平面PBC， 所以AF⊥PC. 能力提升练 11．(2024·山东东营模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　) A.有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 D　解析：过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE(图略)，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，MD＝NE，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE，因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条． 12．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 答案：45°　解析：如图，过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°. 13．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况). 答案：A1C1⊥B1D1　解析：如图，连接A1C1，由直四棱柱ABCD­A1B1C1D1可得CC1⊥平面A1B1C1D1，因为B1D1⊂平面A1B1C1D1，故CC1⊥B1D1，当A1C1⊥B1D1时，因为CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1⊂平面A1C1C，故B1D1⊥平面A1C1C，而A1C⊂平面A1C1C，故A1C⊥B1D1. 14．(2023·江苏宿迁模拟)如图，在三棱锥P­ABC中，点B在以AC为直径的圆上运动，PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，DE⊥PC，垂足为E，若PA＝2，AC＝2，则三棱锥P­ADE体积的最大值是________． 答案：　解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC， ∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，而DE⊥PC，AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE，∴PC⊥平面ADE，可得AE⊥PC.在Rt△PAC中，由PA＝2，AC＝2，得PC＝4.由Rt△PEA∽Rt△PAC，得＝，则PE＝＝＝3，由PE＝3，PA＝2，得AE2＝3，又AD⊥DE，∴AD2＋DE2＝AE2＝3，得3＝AD2＋DE2≥2AD·DE，即AD·DE≤(当且仅当AD＝DE时等号成立)，∴三棱锥P­ADE体积的最大值是×AD×DE×PE＝×××3＝. 15．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°. (1)求三棱锥P­ABC的体积； (2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°， 可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝， 由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高． 又PA＝1， 所以三棱锥P­ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝. (2)如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为点N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM. 由PA⊥平面ABC及AC⊂平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC. 由于BN∩MN＝N，BN，MN⊂平面MBN，故AC⊥平面MBN. 又因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM. 在Rt△BAN中，AN＝AB·cos ∠BAC＝， 从而NC＝AC－AN＝. 由MN∥PA，得＝＝. 故在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，此时＝. 素养养成练 16．(2023·湖北武汉模拟)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB＝1，AD＝3，直线PM与平面ABCD所成的角为.记点M的轨迹长度为α，则tan α＝(　　) A． B．1 C． D．2 C　解析：如图1，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PMA即为直线PM与平面ABCD所成的角， 所以∠PMA＝，因为AP＝2，所以AM＝2，所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，则点M的轨迹为圆弧EF，如图2. 连接AF，则AF＝2，因为AB＝1，AD＝3， 所以∠AFB＝∠FAE＝，则弧EF的长度α＝×2＝，所以tan α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$