课时跟踪检测(45) 空间直线、平面平行的判定与性质（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(45)　空间直线、平面平行的判定与性质 基础强化练 1．(2024·辽宁锦州模拟)已知α，β是空间两个不同的平面，命题p：“α∥β”，命题q：“平面α内有无数条直线与β平行”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若α∥β，则平面α内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面α内有无数条直线与β平行，所以p可以推出q；根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．若平面α内有无数条直线与β平行，则α与β可能相交，不一定平行，所以q不能推出p. 2．在三棱锥A­BCD中，点E，F分别在AB，CB上．若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．AC⊂平面DEF D．不能确定 A　解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，所以EF∥AC.又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF. 3．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　) A．l⊂α，m⊂β，α∥β B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C．l∥α，m⊂α D．l⊂α，α∩β＝m B　解析：选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交． 4．(2024·江苏南京一中模拟)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m B　解析：l⊥m，m⊂α，则l，α可能平行，A错误；l⊥α，l∥m，由线面平行的性质可得m⊥α，B正确；l∥α，m⊂α，则l∥m，l与m可能异面，C错误；l∥α，m∥α，l与m可能平行、相交、异面，D错误． 5.如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 B　解析：在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1. ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE， ∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 6. (2024·安徽黄山屯溪一中模拟)如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图，连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC，则平面NAC即为平面α. 因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 7．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________． 答案：平面ABD与平面ABC 解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE. 则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC. 8．(2024·湖北高三校联)四棱锥P­ABCD中，底面是平行四边形，E，F分别为线段PD，PC上的点，＝，若BF∥平面AEC，则＝________． 答案：　解析：如图，设AC∩BD＝O，连接DF交CE于G，连接OG，BF，由于BF∥平面AEC，BF⊂平面BDF，平面BDF∩平面AEC＝OG，则BF∥OG，由于O是BD的中点，所以＝＝1，过F作FH∥CE，交PD于H，则＝1，由于＝，所以＝，所以＝＝. 9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明：(1)如图，连接SB，在△SBC中，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1， 所以EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点， 所以FG∥SD. 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， 所以FG∥平面BDD1B1. 由(1)知EG∥平面BDD1B1， EG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 10．(2024·广东阳江期末)如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点． (1)求证：PC∥平面BFD； (2)已知M点在PD上满足EC∥平面BFM，求的值． (1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接OF， 因为在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，所以PC∥FO. 又因为PC⊄平面BFD，FO⊂平面BFD， 所以PC∥平面BFD. (2)解：如图，连接FM交AD延长线于点G，连接BG交CD于点N，连接EF，FN，PG，EN. 因为EF∥CN，所以E，F，N，C四点共面． 又EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC＝FN， 则EC∥FN， 四边形EFNC为平行四边形，可得EF＝CN＝CD，即N为CD中点，则△BCN≌△GDN，N为BG中点． 即EN为△PBG的中位线，则EN∥PG，EN＝PG. 又EF＝DN，EF∥DN， 所以四边形EFDN为平行四边形，EN∥FD. 从而FD∥PG，△FMD∽△GMP，得＝＝＝2. 能力提升练 11．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C(　　) A．不共面 B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D．不论A，B如何移动都共面 D　解析：根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上． 12．(多选)(2024·江苏淮安开学考试)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的有(　　) A．如果m∥n，m∥α，n∥β，那么α∥β B．如果m∥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β C．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β D．如果m⊥n，m∥α，n⊥β，那么α∥β BC　解析：当α∩β＝l时，如果m⊂β，n⊂α，m∥n∥l，则可得到m∥α，n∥β，所以A选项错误；设n⊂γ，γ∩β＝l，因为n∥β，所以n∥l，又因为m∥n，所以m∥l，而m⊥α，所以l⊥α，而l⊂β，所以α⊥β，所以B选项正确；因为m⊥α，所以m是α的法向量，同理n是β的法向量，因为m⊥n，所以α⊥β，所以C选项正确；当α∩β＝l时，若m⊂β，如果n⊥β，显然m⊥n成立，当m∥l时，显然m∥α，所以D选项错误． 13．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是________． 答案：　解析：如图所示E，F，G，M分别是AA1，A1D1，B1C1，BB1的中点， 则EF∥AD1，EM∥AB，所以EF∥平面ABD1，EM∥平面ABD1，且EF∩EM＝E，EF，EM⊂平面EFGM，所以平面ABD1∥平面EFGM，故点P的轨迹为矩形EFGM.MB1＝B1G＝，所以MG＝，所以S矩形EFGM＝1×＝. 14．(2024·四川绵阳模拟)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB＝2CD，点M在侧棱PC上，点Q在侧棱AP上运动，若三棱锥M­BDQ的体积为定值，则＝________． 答案：2　解析：在四棱锥P­ABCD中，点M是侧棱PC上的定点，则△MBD面积为定值，V三棱锥M­BDQ＝V三棱锥Q­MBD为定值，因此点Q到平面MBD的距离为定值，又因为点Q是侧棱AP上的动点，所以侧棱AP上的所有点到平面MBD的距离都相等，则PA∥平面MBD. 如图，连接AC，BD，两直线交于点N，连接MN，平面PAC∩平面MBD＝MN，而PA⊂平面PAC，因此MN∥PA，有＝，梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，则＝＝2，所以＝2. 15.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1. (1)证明：平面ABF∥平面DCE； (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成体积比为3∶5的上下两部分？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，所以AF∥平面DCE. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，又CD⊂平面DCE，AB⊄平面DCE，所以AB∥平面DCE. 因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE. (2)解：假设存在一点G满足条件，过G作MG∥BF交EC于点M，连接BG，BM，FG，如图， 由V几何体ABCDEF＝V四棱锥B­ADEF＋V三棱锥B­CDE＝×3×＋×3×＝， 设EG＝t，得V四棱锥E­GFBM＝V三棱锥B­EFG＋V三棱锥B­EGM＝×＝. 过点C作BF的平行线交ED于点N，则△ABF≌△DCN，所以DN＝1， 因为MG∥BF，所以MG∥CN.所以△EGM∽△ENC. 设M到ED的距离为h，则＝＝＝，即h＝t， 则S△EGM＝×t×t＝t2，V四棱锥E­GFBM＝V三棱锥B­EFG＋V三棱锥B­EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝， 即4t2＋8t－21＝0，解得t＝或t＝－(舍)， 则存在点G，满足EG＝，即G为ED的中点时满足条件． 素养养成练 16．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 ACD　解析：由题图，显然A正确，B错误；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以C正确；对于D，因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝(定值)，即D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$