课时跟踪检测(42) 空间几何体（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(42)　空间几何体 基础强化练 1．(2024·安徽淮北模拟)如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 B　解析：在三棱台A′B′C′­ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′­BCC′B′. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 B　解析：由题意知圆锥的底面周长为2π.设圆锥的母线长为l，则πl＝2π，解得l＝2. 3．(2024·山东济南模拟)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3π，则原圆锥的母线长为(　　) A．2 B． C．4 D．2 D　解析：设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为3π，则由圆台侧面积公式可得πl(1＋2)＝3πl＝3π，所以l＝.设截去的圆锥的母线长为l′，因为由三角形相似可得＝，则2l′＝l′＋，解得l′＝，所以原圆锥的母线长l′＋l＝＋＝2. 4．(2024·江苏盐城中学模拟)有一个正四棱台的油槽，可以装油152 L．若油槽的上下底面边长分别为60 cm和40 cm，则它的深度是(　　) A．180 cm B．80 cm C．60 cm D．30 cm C　解析：依题意，设油槽的深度为h cm，因为152 L＝152×1 000 cm3，油槽的上底面面积为60×60＝3 600 cm2，下底面面积为40×40＝1 600 cm2，所以由棱台的体积计算公式可得(3 600＋＋1 600)h＝152×1 000，解得h＝60，所以油槽的深度为60 cm. 5．(多选)(2024·辽宁沈阳模拟)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法正确的是(　　) A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是1 100π C．圆台的高是10 D．圆台的体积是π ABD　解析：依题意，圆台侧面展开图如图所示， 设圆台的上底面周长为C，由扇环的圆心角为180°，得C＝π·SA，又C＝10×2π，则SA＝20，同理SB＝40，所以圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，表面积S＝(10＋20)×20π＋100π＋400π＝1 100π，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，ABD正确，C错误． 6．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为(　　) A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1＝S2 D．以上都不是 A　解析：由题意得，正三棱台侧棱l＝＝，正三棱台侧面为等腰梯形，侧面高h′＝＝，S1＝3×＝9，S2＝×2×＋×4×2＝5，即S1>S2. 7．(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1­D1MN的体积为________. 答案：1　解析：如图，由正方体棱长为2， 得＝2×2－2××2×1－×1×1＝.易知D1A1为三棱锥D1­A1MN的高，且D1A1＝2，则＝＝··D1A1＝××2＝1. 8．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案：12　解析：设六棱锥的高为h，则V＝Sh，即××4×6h＝2，解得h＝1.设六棱锥的斜高为h′，则h2＋()2＝h′2，故h′＝2.所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12. 9．(2024·甘肃武威模拟)如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为15 cm，母线长最短40 cm，最长60 cm，则该斜截圆柱的侧面积为________cm2. 答案：1 500π　解析：将相同的两个几何体对接为圆柱体，则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，则所求侧面积为×2π×15×(40＋60)＝1 500π(cm2). 10．(2024·广东惠州模拟)请从正方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是正三角形，则这4个点可以是________.(只需写出一组) 答案：A1，C1，B，D(答案不唯一)　解析：如图三棱锥A1­BC1D各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥A1­BC1D的4个面都是正三角形，即这4个点可以是A1，C1，B，D(答案不唯一). 能力提升练 11．(2023·全国甲卷)在三棱锥P­ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　　) A．1 B． C．2 D．3 A　解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝.又PC＝，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD.又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以V三棱锥P­ABC＝×S△ABC×PD＝××2××＝1. 12．(2024·河北模拟)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝＝，则两圆锥侧面展开图的圆心角之和为(　　) A． B． C． D．3π C　解析：设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r甲和r乙，母线长为l，则甲、乙两个圆锥的高h甲＝和h乙＝，由题意可得解得设甲、乙两个圆锥的侧面展开图的圆心角分别为α甲和α乙，则解得所以两圆锥侧面展开图的圆心角之和α甲＋α乙＝＋＝. 13．(2024·广东深圳高级中学模拟)已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则(　　) A．> B．< C．＝ D．与的大小关系无法确定 A　解析：设棱柱的底面周长为c，底面面积为S，侧棱长为l，斜棱柱的高为h，则＝＝，而V2＝Sh，斜棱柱各侧面的高均不小于h，所以S2>ch，于是，有<＝，所以>. 14．(多选)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，则下列判断中正确的是(　　) A．直三棱柱侧面积是4＋2 B．直三棱柱体积是 C．三棱锥E­AA1O的体积为定值 D．AE＋EC1的最小值为2 ACD　解析：因为在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B错误；连接AE，A1E(图略)，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，得三棱锥E­AA1O的高为定值，＝××2＝，则＝××＝，故C正确；设BE＝x∈[0，2]，则B1E＝2－x，则在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝＋.由其几何意义，即平面内动点(x，1)与两定点(0，0)，(2，0)距离和的最小值，由对称性可知，当E为BB1的中点，即x＝1时，AE＋EC1最小，其最小值为＋＝2，故D正确． 15．(2024·安徽合肥一中校联)已知某圆锥的高为 cm，体积为2π cm3，求经过该圆锥的两条母线的截面面积的最大值． 解：设该圆锥的底面半径和母线长分别为r，l，则πr2·＝2π，解得r＝，∴l＝＝2(cm). 设SA，SB为圆锥的两条母线， 当AB为底面直径时，如图所示cos ∠ASB＝＝－，此时∠ASB＝>，故当∠ASB＝时，经过该圆锥的两条母线的截面面积最大，为×2×2＝4 cm2. 素养养成练 16．(2024·江苏盐城高三开学考试)某中学课外活动小组开展劳动实习，活动中需制造一个零件模型，该零件模型为四面体，设为ABCD，要求AB＝BC＝CD＝AD＝1 dm，当AC＝BD时，此四面体体积的最大值为________dm3. 答案：　解析：如图，将四面体ABCD补成一个长方体，设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，则即a＝b，VA­BCD＝V长方体－VN­ABD－VE­ABC－VF­ACD－VM­BCD＝abc－abc×4＝abc＝a2c＝(1－c2)c＝(c－c3)，记f(c)＝(c－c3)(0<c<1)，令f′(c)＝(1－3c2)＝0，则c＝，f(c)在(0，)上单调递增，(，1)上单调递减，故f(c)max＝f()＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$