课时跟踪检测(18) 导数的概念及运算（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(18)　导数的概念及运算 基础强化练 1．(2024·山东德州一中模拟)已知f(x)＝，则f′(x)＝(　　) A． B．2 C． D． D　解析：f(x)＝＝(x＋4)， 则f′(x)＝(x＋4)－＝.故选D. 2．(2023·广东深圳外国语学校模拟)已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x)的导函数，则f(2)＝(　　) A．12 B．20 C．10 D．24 D　解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故f(2)＝8－4＋20＝24.故选D. 3．(2024·广东广州高三联考)函数f(x)＝x3－ln x＋2的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A．y＝2x B．y＝4x－1 C．y＝2x＋1 D．y＝4x－2 C　解析：由题意可得f′(x)＝3x2－，则f′(1)＝2，f(1)＝3，则所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.故选C. 4．(2023·山东潍坊三模)若P为函数f(x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f(x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，) B．(，) C．(，π) D．[0，)∪(，π) D　解析：设P点坐标为(x0，y0)，由f(x)＝ex－x，x∈R，得f′(x)＝ex－，则以P为切点的切线斜率为ex0－>－，令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，因为tan θ>－，所以θ∈[0，)∪(，π).故选D. 5．(2023·广东深圳高三联考)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 A　解析：设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则解之得故选A. 6．(2024·江苏清浦中学开学考试)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线x－y＋2＝0的最短距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：由题知y＝x2－ln x，y′＝2x－(x>0)，直线的斜率为1，令y′＝1，解得x＝1或x＝－(舍去).y|x＝1＝1，即曲线上距离直线最近的点坐标为(1，1)，则所求距离为d＝＝.故选D. 7．(2024·山东北镇中学开学考试)已知函数f(x)＝ex sin 2x，则f′()＝________． 答案：－2e　解析：由于f′(x)＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′()＝e(sin π＋2cos π)＝－2e. 8．(2023·湖南长沙实验中学三模)函数f(x)＝x·ln x在x＝e处的切线方程为________． 答案：y＝2x－e　解析：因为f(x)＝x·ln x，则f(e)＝e·ln e＝e，又f′(x)＝ln x＋1，则f′(e)＝ln e＋1＝2，所以函数f(x)＝x·ln x在x＝e处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e. 9．(2024·黑龙江双鸭山一中开学考试)曲线y＝ax2＋ln x在点(1，a)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝________. 答案：　解析：由y＝ax2＋ln x，得y′＝2ax＋，因为曲线y＝ax2＋ln x在点(1，a)处的切线与直线y＝2x平行，所以2a＋1＝2，解得a＝. 10．(2023·湖南长沙期中)设g(x)＝f′(x)，则满足g′(x)在R上恒为正数的f(x)是________.(填写序号) ①f(x)＝x4＋x2；②f(x)＝sin x＋2； ③f(x)＝ex；④f(x)＝－ln (1＋x). 答案：①③　解析：对①：f(x)＝x4＋x2，则g(x)＝f′(x)＝4x3＋2x，故g′(x)＝12x2＋2≥2>0在R上恒成立，①满足题意；对②：f(x)＝sin x＋2，则g(x)＝f′(x)＝cos x，故g′(x)＝－sin x＜0在(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)上恒成立，g′(x)＝－sin x>0在(2kπ－π，2kπ)(k∈Z)上恒成立，②不满足题意；对③：f(x)＝ex，则g(x)＝f′(x)＝ex，故g′(x)＝ex>0在R上恒成立，③满足题意；对④：由1＋x>0，解得x>－1，故f(x)＝－ln (1＋x)的定义域为(－1，＋∞)，则g(x)＝f′(x)＝－，故g′(x)＝>0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，④不满足题意． 能力提升练 11．(2024·山东省北镇中学开学考试)过点(3，0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则x1＋x2＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 D　解析：因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0)，所以f′(x0)＝(x0＋1) ，所以切线方程为y－x0＝(x0＋1) (x－x0)，又因为切线过点(3，0)，所以－x0＝(x0＋1) (3－x0)，即(－x＋3x0＋3) ＝0，依题意得关于x0的方程(－x＋3x0＋3) ＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－x＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D. 12．(多选)(2023·湖南长郡中学二模)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则(　　) A．f(2 023)＝2 B．f′(x)的一个周期是4 C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)＝1 BC　解析：因为函数f(x)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f′(x＋4)＝f′(x)，故f′(x)的一个周期为4，故B项正确；f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A项错误；因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故C项正确；因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f′(x＋2)＝－f′(－x)，令x＝－1，可得f′(1)＝－f′(1)，解得f′(1)＝0，故D项错误．故选BC. 13．(多选)(2024·河北邯郸模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y＝f(t)，其中＝R(R为常数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　) A．R＝ B．R＝－ C．排气12分钟后，人可以安全进入车库 D．排气32分钟后，人可以安全进入车库 BD　解析：因为＝R，所以可设f(t)＝a·eRt(a≠0).又解得R＝－，a＝128，故B选项正确，A选项错误；f(t)＝当f(t)≤0.5时，即≤0.5，得≤，所以－t≤ln ，即t≥＝32，所以排气32分钟后，这个地下车库的一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人可以安全进入车库，故D选项正确，C选项错误，故选BD. 14．(2023·吉林通化梅河口模拟)若直线y＝kx与曲线y＝ln x和曲线y＝eax都相切，则a＝________． 答案：　解析：设曲线y＝ln x上的切点坐标为(x1，ln x1)，曲线y＝eax上的切点坐标为(x2，)，又y＝ln x的导函数为y′＝，y＝eax的导函数为y′＝aeax，所以切线斜率k＝＝a，又切点(x1，ln x1)，(x2，)均在切线y＝kx上，所以解得x1＝e，ax2＝1，所以k＝＝ae1，所以a＝. 15．(2023·吉林白山统考二模)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率K＝.若曲线f(x)＝x2＋ln x和g(x)＝在(1，1)处的曲率分别为K1，K2，求的值． 解：f(x)＝x2＋ln x，则f′(x)＝2x＋，f″(x)＝2－，∵f′(1)＝3，f″(1)＝1，K1＝＝＝10－； g(x)＝＝x，则g′(x)＝x－，g″(x)＝－x－. ∵g′(1)＝，g″(1)＝－，K2＝＝＝＝2×5－. 则＝＝×2－＝2－. 素养养成练 16．(2024·广东高三校联)对于二元函数z＝f(x，y)，若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0).已知二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，求f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值． 解：根据偏导数的定义，在求对x的偏导数时，f(x，y)中y可作为常数，即函数可看作是x的一元函数求导，同理在求对y的偏导数时，f(x，y)中x可作为常数，即函数可看作是y的一元函数求导，所以f′x(x，y)＝2x－2y，f′y(x，y)＝－2x＋3y2，f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)＝2x0－2y0－2x0＋3y＝3y－2y0＝3(y0－)2－，所以f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值是－. 学科网（北京）股份有限公司 $$