课时跟踪检测(16) 函数与方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(16)　函数与方程 基础强化练 1．(2024·海南模拟预测)函数f(x)＝－ln x＋2的零点所在的大致区间为(　　) A．(1，e) B．(e，e2) C．(e2，e3) D．(e3，e4) C　解析：f(x)＝－ln x＋2在(0，＋∞)连续不断，且单调递减，f(1)＝3>0，f(e)＝＋1>0，f(e2)＝>0，f(e3)＝－1<0，f(e4)＝－2<0，所以零点位于(e2，e3). 2．(2023·湖北武汉模拟)“a≤”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由方程x2＋3x＋a＝0有正实数根，则等价于函数f(x)＝x2＋3x＋a有正零点，由二次函数f(x)的对称轴为x＝－<0，则函数f(x)只能存在一正一负的两个零点，则解得a<0，(－∞，0)(－∞，]. 3．(2024·重庆璧山阶段练习)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：当x≤0时，由g(x)＝0可得()x＝，解得x＝1(舍去)；当x>0时，由g(x)＝0可得|log2x|＝，即log2x＝－或log2x＝，解得x＝或.综上所述，函数g(x)的零点个数为2. 4．(2024·安徽滁州期末)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．[－1，0) C．(0，1) D．(0，1] D　解析：依题意，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个交点，作出函数图象如图所示， 由图可知，要使函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个交点，则0<a≤1，故选D. 5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，则函数f(x)在R上的零点的个数是________． 答案：5　解析：当x>0时，令2x－x2＝0，解得x＝2或x＝4；根据奇函数的对称性，当x<0时，f(x)的零点是x＝－2，x＝－4；又f(0)＝0，所以f(x)在R上共有5个零点． 6．(2023·湖南长沙南雅中学模拟)函数f(x)＝|x－2|x－2t有三个不同的零点，则实数t的范围是________． 答案：(0，)　解析：作出函数y＝|x－2|x的图象和直线y＝2t，如图，由图象可得0<2t<1时，直线与函数图象有三个交点，即函数f(x)有三个零点时，0<t<. 7．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次． 答案：6　解析：第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，…，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6. 8．(2023·江苏泰州一模)写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数f(x)＝________． ①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 答案：f(x)＝x3－3x(答案不唯一)　解析：f(x)＝x3－3x，f(x)为奇函数，f(x)有三个零点0，±，f′(x)＝3x2－3，x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)为增函数，①②③都满足，f(x)＝x3－3x. 能力提升练 9．(2024·云南昭通阶段练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]＝2，[3]＝3，[－1.5]＝－2，设x0为函数f(x)＝log3x－的零点，则[x0]＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A　解析：因为y＝log3x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝log3x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝log33－＝1－＝>0，f(2)＝log32－＝log32－1<0，所以f(x)在(2，3)上存在唯一零点x0，即x0∈(2，3)，所以[x0]＝2. 10．(2024·黑龙江哈尔滨阶段练习)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________. 答案：(0，1)∪(1，4)　解析：y＝函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4. 当k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，k∈(0，1)∪(1，4)时，两函数图象恰有两个交点． 素养养成练 11．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究．现将墙的厚度改为200尺，则打穿墙需要的天数至少为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C　解析：设需要n天时间才能打穿，则＋≥200，化简并整理得2n－－199≥0，令f(n)＝2n－－199，则f(7)＝27－－199<0，f(8)＝28－－199>0，又f(n)在[1，＋∞)上连续且单调递增，∴f(n)在(7，8)内存在一个零点，∴至少需要8天时间才能打通． 学科网（北京）股份有限公司 $$