课时跟踪检测(14) 对数函数（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(14)　对数函数 基础强化练 1．(2024·广东高三统考学业考试)函数y＝log3(3x)的图象大致为(　　) A　解析：由对数函数性质知y＝log3(3x)为增函数，故排除BD项；当x＝时，y＝log3(3×)＝0，即函数过点(，0)，排除C项． 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．logx D．2x－2 A　解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1). ∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x. 3．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．a C　解析：∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. 4．(2024·江苏南京模拟)设a＝ln 5，b＝ln ，c＝，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a B　解析：因为ln e<ln 5<ln e2，所以ln 5∈(1，2)，所以c＝∈(1，)且a>c，又b＝ln ＝ln 5∈(，1)，所以a>c>b. 5．(2024·贵州六盘水模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　) A．1<a<2 B．0<a<2且a≠1 C．0<a<1 D．a≥2 A　解析：令u(x)＝x2－ax＋1，∵函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，∴1<a<2，所以a的取值范围是1<a<2. 6．已知f(x)＝若a＝log43，则f(a)＝________；f(a－1)＝________． 答案：　－　解析：因为a＝log43，所以4a＝3，即2a＝且0＜a＜1，所以f(a)＝2a＝，因为a－1＜0，f(a－1)＝－f(1－a)＝－21－a＝－＝－. 7．已知loga<1，那么a的取值范围是________. 答案：(0，)∪(1，＋∞)　解析：∵loga<1＝logaa，∴当0<a<1时，y＝logax为减函数，得0<a<；当a>1时，y＝logax为增函数，得a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞). 8．函数f(x)＝2log2x＋|log2x|在(，2)上的值域为____________. 答案：(－2，3)　解析：函数y＝log2x在定义域上单调递增．当x∈[1，2)时，log2x∈[0，1)，f(x)＝3log2x∈[0，3)；当x∈(，1)时，log2x∈(－2，0)，f(x)＝log2x∈(－2，0)，所以f(x)的值域为(－2，3). 9．已知f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明； (2)解不等式f(x)>1. 解：(1)由题意，因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， 所以解得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称， 因为f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝ －[log3(2＋x)－log3(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为(－2，2)上的奇函数． (2)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)＝log3>1， 所以解得1<x<2， 所以不等式f(x)＞1的解集为(1，2). 10．已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝，解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)，所以f(x)＝log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]. 能力提升练 11．(2024·广东广州阶段练习)已知函数f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数f(x)的图象与y＝|lg x|函数的图象的交点共有(　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 A　解析：由题可知，如图所示： 当x＝10时，y＝1，根据图象可知，交点个数为10. 12．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A．f(x)在(0，2)上单调递增 B．f(x)在(0，2)上的最大值为0 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 BC　解析：f(x)＝ln x＋ln (2－x)，定义域为(0，2)，f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)，令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A项不正确；f(x)max＝f(1)＝0，故B项正确；∵f(1＋x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)，f(1－x)＝ln (1－x)＋ln (1＋x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C项正确，D项不正确． 13．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________．(写出一个即可) 答案：log2x(答案不唯一)　解析：符合对数函数幂的对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn). 14．(2024·湖南岳阳开学考试)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围． 解：函数f(x)的图象如图所示， a，b，c不相等，令a<b<c，因为f(a)＝f(b)＝f(c)，由图知：－log2a＝log2b，解得ab＝1.又因为c∈(8，10)，所以abc∈(8，10). 15．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为[，]，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围． 解：函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数； 当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数． f(x)在定义域R上为增函数，f(x)＝loga(ax＋t2)＝x，ax＋t2＝ax，ax－ax＋t2＝0， 令u＝ax，u＞0，即有u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0， 解得t∈(－，0)∪(0，). 素养养成练 16．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝0.32.1，b＝log30.8，c＝30.8，对方的三个数以及排序如表： 第一局 第二局 第三局 对方 3 0.9 0.027 则我方必胜的排序是________． 答案：b，c，a　解析：由指数函数性质知0.33<0.32.1<1，a＝0.32.1∈(0.33，1)，c＝30.8∈(1，＋∞)，由对数函数性质知b<0，因此当排序为b，c，a时，我方必胜． 学科网（北京）股份有限公司 $$