课时跟踪检测(12) 指数与对数（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(12)　指数与对数 基础强化练 1．(2024·广东高三统考学业考试)已知m10＝2，则m＝(　　) A． B．± C． D．± D　解析：因为m10＝2，故m＝±. 2．(2023·湖南高三联考)()＋3＝(　　) A．9 B． C．3 D． B　解析：()＋3＝()＋3＝(3－3)＋3＝3(－3)(＋3)＝3－2＝. 3．(2024·云南昆明高三阶段练习)求值lg 4＋2lg 5＋log28＋8＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．1 B　解析：因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，log28＝log223＝3，8＝(23)＝22＝4，所以lg 4＋2lg 5＋log28＋8＝2＋3＋4＝9. 4．(2023·新疆乌鲁木齐二模)已知alog43＝2，则3－a＝(　　) A． B．9 C． D．16 C　解析：因为alog43＝2，则log43a＝2，因此3a＝42＝16，所以3－a＝＝. 5．(多选)(2023·河北石家庄阶段练习)下列计算正确的是(　　) A．(2)2＝ B．lg 2＋lg 5＝1 C．e2ln 3＝6 D．log23·log34·log48＝3 ABD　解析：(2)2＝2＝，lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，e2ln 3＝eln 9＝9，log23·log34·log48＝··＝＝log28＝3，故选ABD. 6．已知x，y为正实数，则(　　) A．lg (x2·y)＝(lg x)2＋lg y B．lg (x·)＝lg x＋lg y C．eln x＋ln y＝x＋y D．eln x·ln y＝xy B　解析：A项中，lg (x2·y)＝lg x2＋lg y＝2lg x＋lg y，故A项不正确；B项中，lg (x·)＝lg x＋lg ＝lg x＋lg y，故B项正确；C项中，eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C项不正确；D项中，eln x·ln y＝(eln x)ln y＝xln y，故D项不正确． 7．(2023·浙江温州统考)通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度v(km/h)与行驶地区的人口密度p(人/km2)有如下关系：v＝50·(0.4＋e－0.000 04p)，如果他在人口密度为a的地区行车时速度为65 km/h，那么他在人口密度为的地区行车时速度约是(参考数据：≈0.948)(　　) A．69.4 km/h B．67.4 km/h C．62.5 km/h D．60.5 km/h B　解析：由题知65＝50·(0.4＋e－0.000 04p)，整理得e－0.000 04a＝0.9，所以e－0.000 02a＝(e－0.000 04a)＝，所以当他在人口密度为的地区行车时速度v＝50·(0.4＋e－0.000 02a)＝50·(0.4＋)≈67.4 km/h. 8．(2023·河南郑州模拟)计算：1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________． 答案：1　解析：原式＝1＋2－4＋2(lg 5＋lg 2)＝－1＋2＝1. 9．(2024·内蒙古赤峰阶段练习)设g(x)＝则g(g())＝________． 答案：　解析：∵g(x)＝∴g()＝ln ＝－ln 2<0，∴g(g())＝g(－ln 2)＝e－ln 2＝eln 2－1＝2－1＝. 能力提升练 10．(多选)(2023·云南昆明一中模拟)下列计算正确的是(　　) A．()－(6)0－()＝－1 B．()－log27＋ln (ln e)＝7 C．log23×log34＝log67 D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 ABD　解析：对于A项，原式＝－1－＝－1，所以A项正确；对于B项中，原式＝()log7＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，所以B项正确；对于C项中，原式＝×＝×＝2，所以C项错误；对于D项中，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，所以D项正确．故选ABD. 11．(多选)(2024·重庆万州第二高级中学模拟)已知正数x，y，z满足2x＝4y＝6z，则(　　) A．x＝2y B．x<2y C．x<3z D．y<3z ACD　解析：因为正数x，y，z满足2x＝4y＝6z，由2x＝4y，得x＝2y，即A项正确，B项错误；由2x＝6z两边同时取以2为底的对数，可得x＝z·log26<z·log28＝3z，即C项正确；由4y＝6z两边同时取以4为底的对数，可得y＝z·log46<z·log443＝3z，即D项正确． 12．(2023·江西联考二模)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/kg)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/kg，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：≈1.26，≈1.59)(　　) A．30.24元/kg B．33.84元/kg C．38.16元/kg D．42.64元/kg C　解析：由题可知＝e3a＝2，ea＝，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝e2a·ea＋b＝24e2a＝24·≈38.16. 13．(2024·江苏徐州阶段练习)我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把(1－1%)365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，若“进步”是“落后”的1 000倍，则需要经过的天数至少为(lg 3≈0.477，lg 11≈1.041)(　　) A．31 B．33 C．35 D．37 C　解析：根据题意，如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，假设经过n天后，“进步”是“落后”的1 000倍，得≥1 000，即n(lg 11－lg 9)≥3，所以n(lg 11－2lg 3)≥3，代入参考数据可得n(1.041－2×0.477)≥3，得n≥＝≈34.5，所以，至少经过35天后，“进步”是“落后”的1 000倍． 14．(2023·黑龙江齐齐哈尔一模)请写出满足方程3x－＝log5y的一组实数对(x，y)：________. 答案：(0，)(答案不唯一)　解析：∵3x－＝log5y，∴y＝，∴令x＝0，得y＝5－＝，即(0，)(答案不唯一). 15．(2023·辽宁实验中学模拟)已知log53＝，求3x·. 解：log53＝，得x＝＝2log35＝log325，则3x×＝＝25×＝＝. 素养养成练 16．因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号．把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题． (1)对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，n∈R，那么logaMn＝nlogaM； (2)请你运用上述对数运算性质，计算·(＋)的值； (3)对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就．例如，因为210＝1 024∈(103，104)，所以210是一个4位数，我们取lg 2≈0.301 0，请你运用上述对数运算性质，判断250的位数是多少？ 解：(1)设M＝ax，则Mn＝anx. 根据对数定义有logaM＝x，logaMn＝nx， 因此logaMn＝nlogaM. (2)由logaMn＝nlogaM可得(＋)＝(＋)＝(＋)＝×＋×＝＋＝. (3)设250的位数为k，则10k－1≤250≤10k， 所以lg 10k－1≤lg 250≤lg 10k，即k－1≤50lg 2≤k. 因为lg 2≈0.301 0，所以50lg 2≈15.05. 由k－1≤15.05≤k得15.05≤k≤16.05. 因为k∈N*，所以k＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $$