课时跟踪检测(11) 二次函数与幂函数（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(11)　二次函数与幂函数 基础强化练 1．(多选)已知点(a，)在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A．奇函数 B．(0，＋∞)上的增函数 C．偶函数 D．(0，＋∞)上的减函数 AD　解析：由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，且b＝－1，故f(x)＝x－1是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数． 2．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤－3 C．a<5 D．a≥－3 B　解析：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，所以－≥4，解得a≤－3. 3．已知函数f(x)＝x2＋2kx－5在[－2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围为(　　) A．k≤－4 B．k≥2 C．k≤－4或k≥2 D．k<－4或k>2 C　解析：函数f(x)＝x2＋2kx－5的对称轴为x＝－k，因为函数f(x)＝x2＋2kx－5在[－2，4]上具有单调性，所以－k≥4或－k≤－2，即k≤－4或k≥2. 4．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　) A．a<1 B．若x1x2≠0，则＋＝ C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有四个零点 ABC　解析：由题意得，二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，a<1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a<0时，y＝f(|x|)只有两个零点，故D不正确． 5．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是(　　) A．y＝x－1 B．y＝x－2 C．y＝x3 D．y＝x B　解析：对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确，不符合条件；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C，D中的函数不符合条件．故选B. 6．(2023·上海黄浦二模)若函数y＝xa的图象经过点(2，16)与(3，m)，则m的值为______． 答案：81　解析：∵函数y＝xa的图象经过点(2，16)与(3，m)，则16＝2a，∴a＝4，则y＝x4，故m＝34＝81. 7．(2024·江苏淮安模拟)已知幂函数f(x)＝()，若f(a－1)<f(8－2a)，则a的取值范围是________． 答案：(3，4)　解析：由幂函数f(x)＝()＝＝x－，可得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，因为f(a－1)<f(8－2a)，可得解得3<a<4，即实数a的取值范围为(3，4). 8.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.(填“＞”“＜”或“＝”) 答案：>　<　<　解析：因为a<0，－>0，c>0，所以b>0，ac<0. 设y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f(－1)<0. 9．已知二次函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3，且－1，3是函数f(x)的零点． (1)求f(x)的解析式，并解不等式f(x)≤3； (2)若g(x)＝f(sin x)，求函数g(x)的值域． 解：(1)由题意得解得 f(x)＝－x2＋2x＋3， 当－x2＋2x＋3≤3时，即x2－2x≥0， 解得x≥2或x≤0， ∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞). (2)令t＝sin x， 则g(t)＝－t2＋2t＋3＝－(t－1)2＋4，t∈[－1，1]， 当t＝－1时，g(t)有最小值0， 当t＝1时，g(t)有最大值4， 故g(t)∈[0，4]. 所以g(x)的值域为[0，4]. 10．是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由． 解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2， 当－2≤a<－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数， 由得a＝－1(舍去)； 当－1≤a≤0时，由得a＝－1； 当0<a≤1时，由得a不存在；综上可得，存在实数a＝－1满足题目条件． 能力提升练 11．若幂函数y＝x|m－1|与y＝(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为(　　) A．0 B．1和2 C．2 D．0和3 C　解析：由题意可得解得m＝2. 12．已知点(2，)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f()，b＝f(ln π)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b C　解析：因为点(2，)在函数f(x)的图象上，所以＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x－3，易知当x>0时，f(x)单调递减．因为<<1，ln π>ln e＝1，所以f()>f()>f(ln π)，即a>c>b. 13．(多选)已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．[－1，2] D．[3，＋∞) AD　解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 14．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________． 答案：[0，4]　解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)， 若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4. 15．(2024·北师大实验中学高三期中)函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于x＝2对称；(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0.请写出函数f(x)的一个解析式________(只要写出一个即可). 答案：f(x)＝x2－4x＋5　解析：由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式f(x)＝(x－2)2＋1.此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足(2)；因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，满足(3)；又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足(1).故答案为f(x)＝x2－4x＋5. 16．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5. (1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； (2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)， 所以f(x)在[1，a]上为减函数， 所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]. 又已知值域为[1，a]，所以 解得a＝2. (2)由x|f(x)－x2|≤1，x|－2ax＋5|≤1，∵x∈[，]，∴|－2ax＋5|≤，∴－≤－2ax＋5≤. 得－＋≤a≤＋　(*). 令＝t，t∈[2，3]，则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t.记g(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋， 则g(t)max＝g()＝，所以a≥； 记h(t)＝t2＋t＝(t＋)2－， 则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7. 综上所述，≤a≤7. 所以实数a的取值范围是[，7]. 素养养成练 17．如图，正方形OABC的边长为a(a>1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x－的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为________． 答案：　解析：依题意得Q(，a)，P(a，)，则|AQ|＋|CP|＝＋＝＋，记＝t(t>1)，f(t)＝|AQ|＋|CP|，则f(t)＝＋≥2，当且仅当＝，即t2＝时取等号，此时a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$