课时跟踪检测(10) 函数性质的综合（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(10)　函数性质的综合 基础强化练 1．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　) A．(0，e2) B．(e－2，＋∞) C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2) D　解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)，即|ln x|<2，即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2). 2．(2024·山东济宁高三开学考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)是偶函数，f(6)＝3，f(x)在(－∞，4]上单调递减，则不等式f(2x－4)<3的解集为(　　) A．(4，6) B．(－∞，4)∪(6，＋∞) C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(3，5) D　解析：因为f(x＋4)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(6)＝f(2)＝3.因为f(x)在(－∞，4]上单调递减，所以f(x)在[4，＋∞)上单调递增，故f(2x－4)<3等价于f(2x－4)＜f(6)＝f(2)，即2<2x－4<6，解得3<x<5.故选D. 3．(2023·河北邯郸一模)已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)<f(－7)的解集为(　　) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) A　解析：因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)<f(－7)＝f(5)，所以－7<1－2x<5，解得x<3.故选A. 4．(2023·山东省实验中学阶段练习)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(3－x)，且当x∈(0，3)，f(x)＝xex，则下面结论正确的是(　　) A．f(ln 3)<f()<f(e) B．f(e)<f(ln 3)<f() C．f()<f(e)<f(ln 3) D．f(ln 3)<f(e)<f() A　解析：由f(x＋6)＝f(3－x－3)＝f(－x)＝f(x)，知f(x)是周期函数，且周期为6，∴f()＝f(－＋12)＝f()，∵e<3，∴1<ln 3<2，∴1<ln 3<2<<e<3，又f′(x)＝(x＋1)ex，易知f(x)在(0，3)内单调递增，∴f(ln 3)<f()<f(e). 5．函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)中心对称，且f(3)＝1，则f(2 025)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 B　解析：因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，所以函数f(x)的周期T＝12，将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度．可得y＝f(x)的图象，又y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)中心对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)为R上的奇函数，所以f(2 025)＝f(168×12＋9)＝f(9)＝f(9－12)＝f(－3)＝－f(3)＝－1. 6．(2024·湖南邵阳模拟)若f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________．(写出符合条件的一个即可) 答案：－x2(答案不唯一)　解析：若f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，故f(x)为偶函数，且易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(0，)上单调递减，符合条件．故答案为－x2. 7．(2024·山西太原阶段测评)偶函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，若f(4)＝2，则f(－2)＝________． 答案：2　解析：方法一　由函数f(x)为偶函数，得f(－2)＝f(2).由函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(2)＝f(4)＝2，则f(－2)＝2. 方法二　由函数f(x)为偶函数及函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(x)的周期T＝2×|3－0|＝6，则由周期性，得f(－2)＝f(4)＝2. 8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________________．①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数． 答案：f(x)＝x2(x∈R)(答案不唯一)　解析：对于f(x)＝x2(x∈R)，f(x1x2)＝(x1x2)2＝x·x＝f(x1)f(x2)，满足①；f′(x)＝2x，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，满足②；f′(－x)＝－2x＝－f′(x)，f′(x)是奇函数，满足③.因此f(x)＝x2(x∈R)符合题意． 能力提升练 9．(多选)定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，满足f(2－x)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，则下列不等式正确的是(　　) A．f(－)>f(1) B．f(－)<f(1) C．f(3)>f(π) D．f(3)<f(π) BC　解析：∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(－x)＝f(x)，∵f(2－x)＝f(x)，∴f(x)关于直线x＝1对称，且周期为2.∵f(x)在区间[－3，－2]上是减函数，则在[2，3]上是增函数，∴f(－)＝f()＝f()，f(1)＝f(3).∵f()<f(3)，∴f(－)<f(1)，故A错误，B正确；∵f(π)＝f(－π)＝f(6－π)<f(3)，故C正确，D错误． 10．函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.则对于函数f(x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f(x)的值域为[0，1)；②f(x)是以1为周期的周期函数；③f(x)是偶函数；④f(x)在区间[1，2)上是增函数．其中，正确的命题序号为________． 答案：①②④　解析：当x∈[n，n＋1)时，[x]＝n，f(x)＝|x－n|＝x－n，所以f(x)∈[0，1)，故①④正确；当x∈[n，n＋1)时，x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f(x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f(x)，故②正确；f(－)＝＝，f()＝＝，f(－)≠f()，所以③错误． 素养养成练 11．给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(－∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题． 定义在R上的函数f(x)，________(填序号)，且f(－1)＝0.求不等式f(x－1)>0的解集． 解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<x<1或x<－1时，f(x)>0，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0.f(x－1)>0⇔0<x－1<1或x－1<－1，即1<x<2或x<0.故不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1，2).如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|x－1|<1⇔0<x<2，但x－1≠0，所以不等式f(x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2).选择其他条件组合的解法类似．如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集． 学科网（北京）股份有限公司 $$