课时跟踪检测(9) 函数奇偶性与周期性（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(9)　函数奇偶性与周期性 基础强化练 1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x2 B．y＝|x－1| C．y＝|x|－1 D．y＝2x AC　解析：选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数． 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，则f(－3)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x.所以f(－3)＝－f(3)＝－log33＝－1. 3．已知函数f(x)＝ax5＋b sin x＋c，若f(－1)＋f(1)＝2，则c＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D． C　解析：因为f(－1)＋f(1)＝2，所以－a－b sin 1＋c＋a＋b sin 1＋c＝2，所以c＝1.故选C. 4．设f(x)是周期为3的奇函数，当－1≤x<0时，f(x)＝2x2－1，则f()等于(　　) A．－ B．－ C． D． D　解析：f(x)是周期为3的奇函数，则f()＝f(－3)＝f()＝－f(－)＝－(－1)＝. 5．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f(－)＝，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)是以2为周期的周期函数．所以f()＝f(－2)＝f(－)＝. 6．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________. 答案：1　解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，y＝x3为奇函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1. 7．(2024·湖北荆州中学高三开学考试)设函数f(x)＝，若函数f(x)在R上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 答案：0　解析：因为f(x)＝，其定义域为R，f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故M＋m＝0. 8．(2023·江苏苏州三模)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝____________． ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 答案：2sin x(答案不唯一)　解析：由条件①②③可知函数对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 9．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x). 于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知解得1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 能力提升练 11．定义函数D(x)＝则下列命题中正确的是(　　) A．D(x)不是周期函数 B．D(x)是奇函数 C．D(x)的图象存在对称轴 D．D(x)是周期函数，且有最小正周期 C　解析：∵当m为有理数时，D(x＋m)＝∴D(x＋m)＝D(x)，∴任何一个有理数m都是D(x)的周期，∴D(x)是周期函数，但无最小正周期，∴选项A，D错误．∵当x为有理数，则－x也为有理数，∴D(x)＝D(－x)，若x为无理数，则－x也为无理数，∴D(x)＝D(－x).综上，总有D(－x)＝D(x)，∴函数D(x)为偶函数，图象关于y轴对称，选项B错误，选项C正确． 12．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上f(x)单调递减，在(0，＋∞)上f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0. 13．(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论成立的是(　　) A.f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 ABD　解析：因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A正确；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错误，B正确；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D正确．故选ABD. 14．设函数f(x)＝x|x|＋b，给出四个命题： ①y＝f(x)是偶函数；②f(x)是实数集R上的增函数；③若b＝0，函数f(x)的图象关于原点对称；④方程f(x)＝0有两个解． 其中正确命题的序号是________． 答案：②③　解析：∵f(x)＝x|x|＋b， f(－x)＝－x|x|＋b≠f(x)， ∴y＝f(x)不是偶函数，故①错误； ∵f(x)＝当x>0时，y＝x2＋b单调递增，当x≤0时，y＝－x2＋b单调递增，则f(x)在R上单调递增，故②正确；当b＝0时，f(x)＝ f(x)的图象关于原点对称，故③正确；由②得，f(x)在R上单调递增，且图象与x轴只有一个交点，故f(x)＝0有一个解，故④错误．综上，正确命题的序号为②③. 15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围． 解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明如下： f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16).又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17). 素养养成练 16．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A　解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期T＝2的周期函数．∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，∴当x∈[－1，0)时，f(x)＝f(－x)＝cos (－x)＝cos x，令f(x)－|x|＝0，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数即为函数y＝f(x)和g(x)＝|x|的图象交点个数，分别作出函数y＝f(x)和g(x)＝|x|的图象，如下图， 显然f(x)与g(x)在[－1，0)上有1个交点，在[0，1]上有一个交点，当|x|>1时，g(x)>1，而f(x)≤1，所以x>1或x<－1时，f(x)与g(x)无交点．综上，函数y＝f(x)和g(x)＝|x|的图象交点个数为2，即函数y＝f(x)－|x|的零点个数是2.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$