课时跟踪检测(8) 函数单调性与最值（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(8)　函数单调性与最值 基础强化练 1．(多选)下列函数中在区间(0，1)上单调递减的是(　　) A．y＝x B．y＝21－x C．y＝ln (x＋1) D．y＝|1－x| BD　解析：A项，y＝x在(0，1)上单调递增；B项，y＝21－x＝2×()x在R上单调递减；C项，y＝ln (x＋1)在(0，1)上单调递增；D项，y＝|1－x|＝在(0，1)上单调递减． 2．函数f(x)＝1－(　　) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 B　解析：f(x)的图象可由y＝－的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增． 3．(2024·广东高三统考学业考试)偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) A　解析：偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，得f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值f(2). 4．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，且f(2a－3)<f(a－2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(1，＋∞) C．(，) D．(1，) D　解析：∵f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，且f(2a－3)<f(a－2)，则解得1<a<. 5．(2023·福建宁德模拟)若函数y＝ekx(k∈R)在R上单调递增，则实数k的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) A　解析：因为函数y＝ekx(k∈R)在R上单调递增，所以ek>1，k>0，检验符合． 6．(多选)(2024·重庆万州模拟)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D．<0 AB　解析：由函数单调性的定义，可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)，f(x2)的大小关系也无法判断，故C错误，故选AB. 7．函数y＝lg (x2＋x－2)的单调递增区间是________. 答案：(1，＋∞)　解析：由x2＋x－2>0可得x<－2或x>1，∵u＝x2＋x－2在(1，＋∞)单调递增，而y＝lg u在R上是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数y＝lg (x2＋x－2)的单调递增区间是(1，＋∞). 8．(2024·河北石家庄阶段练习)若函数f(x)＝是在R上的减函数，则a的取值范围是________． 答案：[－6，1)　解析：由题意得：解得－6≤a＜1. 9．已知函数f(x)＝. (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值． 解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}． (2)由题意可设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(1＋)－(1＋)＝－＝. 又0<x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2， 最小值为f(8)＝. 10．已知函数f(x)＝2x＋. (1)试判断函数f(x)在区间(0，]上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)对任意x∈(0，]时，f(x)≥2－m都成立，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)＝2x＋在区间(0，]上单调递减． 证明如下：设0<x1<x2≤， f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋(－)＝ 2(x1－x2)－＝(x1－x2)(2－)＝(x1－x2)(). ∵0<x1<x2≤， ∴x1－x2<0，4x1x2－1<0，2x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)＝2x＋在区间(0，]上单调递减． (2)∵f(x)在(0，]上单调递减， ∴当x＝时，f(x)取得最小值， 即f(x)min＝f()＝2， 对任意x∈(0，]时，f(x)≥2－m都成立， 只需f(x)min≥2－m成立， ∴2≥2－m，解得m≥0. 能力提升练 11．已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　) A．m－n<0 B．m－n>0 C．m＋n<0 D．m＋n>0 A　解析：设F(x)＝f(x)－f(－x)，∵f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m<n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立． ∴当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A. 12．已知函数f(x)在定义域R上单调，且f(f(x)＋2x)＝1，则f(－2)的值为(　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 A　解析：因为函数f(x)在定义域R上单调，且f(f(x)＋2x)＝1，所以f(x)＋2x为常数，不妨设f(x)＋2x＝t， 则f(x)＝t－2x，由f(f(x)＋2x)＝1得f(t)＝t－2t＝1，解得t＝－1，所以f(x)＝－2x－1，所以f(－2)＝－2(－2)－1＝3. 13．已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，则实数a＝________． 答案：2　解析：由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞).易知函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2. 14．能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是________、________． 答案：f(x)＝x　g(x)＝x(答案不唯一)　解析：根据题意，“若函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题，即函数f(x)，g(x)在R上均为增函数，而函数h(x)＝f(x)g(x)在R上不是增函数，可考虑f(x)，g(x)均为一次函数，可取f(x)＝x，g(x)＝x，则函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，但函数h(x)＝f(x)g(x)＝x2在R上不是增函数． 15．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝ (1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围． 解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1. 由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，a＝1. 从而f(x)＝x2＋2x＋1. ∴F(x)＝ (2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1， g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1， 由g(x)在[－2，2]上是单调函数， 知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6. 即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞). 素养养成练 16．如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，而函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓减函数”，区间I叫“缓减区间”．可以证明函数f(x)＝＋(a>0，b>0)的单调递增区间为(－∞，－]，[，＋∞)；单调递减区间为[－，0)，(0，].若函数h(x)＝x2－2x＋1是区间I上的“缓减函数”，则下列区间中为函数h(x)的“缓减区间”的是(　　) A．(0，2] B．(0，] C．[，2] D．[1，] C　解析：对于h(x)＝x2－2x＋1，单调递减区间是(－∞，2]；对于y＝＝＋－2，单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞)，h(x)＝x2－2x＋1的“缓减区间”为(－∞，－]和[，2]，只有C选项中的[，2]⊆[，2]，其他都不包含在上述区间中的任意一个之内． 学科网（北京）股份有限公司 $$