课时跟踪检测(5) 一元二次方程和一元二次不等式（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(5)　一元二次方程和一元二次不等式 基础强化练 1．(2023·山东潍坊模拟)已知全集U＝{x|x2－9<0}，集合A＝，则∁UA＝(　　) A．[0，1] B．(－3，0)∪[1，3) C．(－3，3) D．(－3，0]∪(1，3) D　解析：U＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，A＝＝{y|0<y≤1}，所以∁UA＝{x|－3<x≤0或1<x<3}． 2．不等式≥2的解集为(　　) A．[－1，0) B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，－1]∪[0，＋∞) A　解析：由≥2，得－2≥0，即≥0，等价于解得－1≤x<0，即不等式≥2的解集为[－1，0). 3．(2023·江苏南京一中模拟)已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 B　解析：因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2. 4．(2023·浙江宁波模拟)不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a<0)的解集为(　　) A．[，1] B．[1，] C．(－∞，]∪[1，＋∞) D．(－∞，1]∪[，＋∞) A　解析：原不等式可以转化为(x－1)(ax－2)≥0，当a<0时，可知(x－)(x－1)≤0，对应的方程的两根为1，，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为[，1]. 5．(2023·河北高三学业考试)设x∈R，使不等式14－4x2≥x成立的x的取值范围为____________. 答案：　解析：解不等式14－4x2≥x，即4x2＋x－14≤0，即(4x－7)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤.因此使不等式14－4x2≥x成立的x的取值范围为. 6．(2023·上海同济大学一附中学三模)不等式<－1的解集是__________． 答案：(－1，0)　解析：因为<－1，等价于＋1＝<0，等价于x(1＋x)<0，解得－1<x<0，所以不等式<－1的解集是(－1，0). 7．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是________． 答案：(－1，3)　解析：∵关于x的不等式ax－b＜0即ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所以不等式的解集是(－1，3). 8．甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100(5x＋1－)元．要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是________. 答案：3　解析：要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，则2×100(5x＋1－)≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 9．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________. 答案：(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)　解析：因为不等式(x＋4)·(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，解集中只有－5在集合A中． 10．已知函数f(x)＝ax＋－3，若xf(x)<4的解集为{x|1<x<b}． (1)求a，b； (2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(1)因为函数f(x)＝ax＋－3，所以不等式xf(x)<4，即为ax2－3x＋2<0，由不等式的解集为{x|1<x<b}可得，1＋b＝，且1×b＝，解得a＝1，b＝2. (2)由(1)得关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c＝2时，不等式即(x－2)2<0，它的解集为∅； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(c，2)； 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(2，c). 能力提升练 11．(多选)(2023·江苏徐州模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m<x<n}，其中m>0，则以下选项正确的有(　　) A．a<0 B．c>0 C．cx2＋bx＋a>0的解集为 D.cx2＋bx＋a>0的解集为 AC　解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m<x<n}，其中m>0，所以a<0，m，n是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以A正确；所以解得因为m>0，m<n，所以n>0，又由于a<0，所以c＝mna<0，所以B错误；cx2＋bx＋a>0可化为mnax2－(m＋n)ax＋a>0，即mnx2－(m＋n)x＋1<0，即(mx－1)(nx－1)<0，因为n>m>0，所以<，所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为，C正确，D错误． 12．关于x的不等式(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0(a<－1)的解集为____________________． 答案：(－∞，)∪(2，＋∞)　解析：因为a<－1，即a＋1<0，所以原不等式可转化为[(a＋1)x－1]·(x－2)<0，即(x－2)·(x－)>0，因为a<－1，所以<0<2，解得x<或x>2，所以原不等式的解集为(－∞，)∪(2，＋∞). 13．已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，求不等式(x－2)f(x)<0的解集． 解：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数， ∴a＋2＝0，解得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4， ∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或即或解得－<x<或x>2.故原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞). 14．求下列关于x的不等式的解集． (1)≥－1； (2)2a2x2－3ax－2>0. 解：(1)由≥－1得＋1＝≥0， 解得x≤2或x>7， 故不等式≥－1的解集为{x|x≤2或x>7}． (2)当a＝0时，原不等式即为－2>0，该不等式的解集为∅； 当a≠0时，2a2>0，原不等式即为(2ax＋1)(ax－2)>0. ①若a<0，则－>， 原不等式的解集为； ②若a>0，则－<， 原不等式的解集为. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为；当a>0时，原不等式的解集为. 素养养成练 15．(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　) A．－ B．1 C．－1 D．2 AC　解析：不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数．当a＝0时，不等式化为x－1<0，解得x<1，则解集中有无数个整数；当a>0时，不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中有无数个整数，不符合题意．所以a<0，则＜0，1－2a＞1，所以＜1－2a，所以不等式的解集为，由不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1，则这3个整数为－1，0，1，或0，1，2.若这3个整数为－1，0，1，则解得a＝－；若这3个整数为0，1，2，则解得a＝－1.所以实数a的取值集合是. 学科网（北京）股份有限公司 $$