课时跟踪检测(4) 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

课时跟踪检测(4)　基本不等式 基础强化练 1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．a2＋b2>2ab C　解析：因为和同号，所以＝＋≥2＝2. 2．(2023·江苏宿迁模拟)当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|a≥3} D．{a|a≤3} D　解析：因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值为3.因为当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，所以a≤3. 3．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立， ∴a的最大值为8. 4．(2023·福建泉州阶段练习)设y>0，xy＋2y＝2，则z＝4x＋2y的最小值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 A　解析：由xy＋2y＝2，得y＝，即z＝4x＋2y＝4x＋＝4(x＋2)＋－8，由y>0，得>0，即x>－2，故z＝4(x＋2)＋－8≥8－8＝0，当且仅当4(x＋2)＝，即x＝－1时，等号成立，即z＝4x＋2y的最小值为0. 5．(2023·江苏高三学业考试)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π B　解析：设底面圆半径为r，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π×＝8π，当且仅当r＝，即r＝时等号成立，故圆柱侧面积的最大值为8π. 6．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0<x<) C．y＝ D．y＝ex＋－2 D　解析：当x>0时，y＝x＋≥2＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不符合题意；由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不符合题意；函数的关系式可转化为y＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＋4＝1时，等号成立，但x2＋4＝1无实数解，所以函数最小值取不到2，故C不符合题意；y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝时等号成立，故D符合题意． 7．(2023·河北沧州三模)(＋)(＋4)的最小值为________． 答案：9　解析：(＋)(＋4)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝4y>0时，等号成立，所以(＋)(＋4)的最小值为9. 8．已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________. 答案：3　解析：由题设，＋≥2＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立． 即＋的最小值为3. 9．(2023·上海交大附中阶段练习)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________. 答案：2　解析：2x＋4y≥2＝2＝2＝2，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取到等号，故22＋4y的最小值为2. 10．(2023·山东日照模拟)已知第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则＋的最小值是________. 答案：3＋2　解析：因为第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，所以a＋b＝1，a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时等号成立．即＋的最小值是3＋2. 能力提升练 11．(2023·山东泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5 g的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20 g的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品(　　) A．>20 g B．<20 g C．≥20 g D．≤20 g C　解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得：5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝，故x＋y＝＋≥2＝20，当且仅当a＝2b时取等号，则这两个实验中小明和小芳共称得的药品≥20 g． 12．若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 B　解析：∵AB为圆的直径，∴∠APB＝90°， ∴|PA|2＋|PB|2＝4，∴()2≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号)，∴|PA|＋|PB|≤2，∴|PA|＋|PB|的最大值为2. 13．(多选)(2023·山东烟台三模)已知a>0，b>0且4a＋b＝2，则(　　) A．ab的最大值为 B．2＋的最大值为2 C．＋的最小值为6 D．4a＋2b的最小值为4 BC　解析：对于A，因为2＝4a＋b≥2＝4，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，故A错误；对于B，因为4a＋b≥4，所以8a＋2b≥4＋4a＋b＝(2＋)2，即(2＋)2≤4，2＋≤2，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，故B正确；对于C，由4a＋b＝2得a＝－，所以＋＝＋－.因为＋＝(＋)(4a＋b)＝(＋＋)≥(＋2)＝，所以＋＝＋－≥－＝6，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确；对于D，令a＝，b＝，则4a＋2b＝4＋2＝2×4<4，所以4a＋2b的最小值不是4，D错误． 14．(2023·安徽安庆一中三模)已知非负数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是__________. 答案：4　解析：由x＋y＝1，可得x＋1＋y＋2＝4，＋＝(＋)(x＋1＋y＋2)＝ [1＋9＋＋]≥ (10＋2)＝4，当且仅当y＋2＝3(x＋1)，即x＝0，y＝1时取等号，所以＋的最小值为4. 15．某市为迎接国庆节提出的文化强国建设的号召，市政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅，如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30 m，AB＝30 m，OE＝x m，x∈[14，20]. (1)试用x表示S，并求S的取值范围； (2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f(S)，并求当OE为何值时总造价W最低． 解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝x，DE＝(30－x)，S＝x(30－x)＝ －(x－15)2＋225.∵x∈[14，20]，∴S∈[200，225]，∴S＝－(x－15)2＋225，S∈[200，225]. (2)由题意得，矩形展厅的造价为·S，绿化区(图中阴影部分)的造价为·(×30×30－S)，W＝·S＋·(450－S)＝25k(＋)≥ 300k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时等号成立，∴W＝f(S)＝25k(＋)，当OE为18 m时，总造价W最低． 素养养成练 16．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.求当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解：设直角梯形的高为x cm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，∴S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)(＋8)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当x＝12时，等号成立． 即当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 学科网（北京）股份有限公司 $$