8.6.3平面与平面垂直（2）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 8.6.3 平面与平面的垂直（2） 一 二 三 学习目标 理解与掌握面面垂直的性质定理 能用三种语言描述面面垂直的性质定理 能够深入理解二面角及面面垂直的本质 学习目标 复习回顾 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 3、平面与平面垂直的判定定理 2、平面与平面垂直的定义 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号表示： b 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 复习回顾 ？ 下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论． a b//a → b//α， b与a相交 → b与α相交 追问 当b⊥a时，b与α有什么位置关系？ b A c 新知探究 问题1 如图，设α⊥β，α∩β=a. 则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？ b与a平行或相交 设b与平面α的交点为A,过A在α内作直线c⊥a 则直线b,c所成的角就是二面角α-a-β的平面角 ∵ , ∴b⊥c. 又因为b⊥a，a和c是平面α内两条相交直线 ∴b⊥α 概念生成 平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. a b 这个定理可以用于证明直线与平面垂直. 面面垂直线面垂直 关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线. 新知探究 问题2 设α⊥β，P⊂α，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系? a a β α P β α P 结论：两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内. b b 直线a在平面α内 设α∩β＝c． 过点P在平面α内作直线b⊥c． 由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β． 因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直， 所以直线a与直线b重合 因此a⊂α． 问题3 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系. 如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论? b//α b a b b γ⊥β a 新知探究 典例解析 证明： 例9 如图，α⊥β，b⊥ β，b α，求证：b // α. c b a 分析：寻找平面α内与b平行的直线. 例10 已知：如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB. D 证明：过点A作AD⊥PB，垂足为D. ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平PBC=PB， ∴AD⊥平面PBC. ∵BC平面PBC，∴BC⊥AD. 又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA. 又PA∩AD=A， ∴BC⊥平面PAB. P A B C 典例解析 新知应用 如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点，求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB. ∴AD⊥PB 解：(1)如图，连接PG，BD ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60° ∴△ABD是正三角形 ∵G为AD的中点 ∴BG⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，BG⊂平面ABCD ∴BG⊥平面PAD (2)由(1)可知BG⊥AD ∵△PAD为正三角形，G为AD的中点， ∴PG⊥AD.又PG∩BG=G ∴AD⊥平面PBG 巩固练习 课本P161 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β. × √ √ 2. 若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是( ). (1) 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线. (2) 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线. (3) 平面α内的任一条直线必垂直于平面β. (4) 过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 C 巩固练习 课本P161 B 3. 已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( ).