1.3.2等比数列的前n项和课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修二册

§3 等比数列 第一章 3.2 等比数列的前项和 1 复习回顾 等比数列的前n项和 1. 掌握等比数列的前n项和公式及其推导过程． 2．会用错位相减法求数列的和． 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理 学习目标 特别关注: 1.对等比数列前n项和公式的考查是本课时的热点． 2.本课时常与函数、不等式、方程结合命题． 3.多以选择题、填空题的形式考查，同时也有在解答题中考查. 等比数列的前n项和 新知引入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 新知学习 等比数列的前n项和 问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式. 问题3：回顾等差数列前项和公式，对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？ 问题2：请将发明者的要求表述成数学问题. 等比数列的前n项和 S64=1+2+22+23+…+263 ① 2S64= 2+22+23+…+263+264 ② 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得： S64=264-1= 18446744073709551615 思考： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？ 已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨. 等比数列的前n项和 观察上式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 根据等比数列的通项公式， ① ② ① ②得, = 即(1 =( 1) 知识点一 等比数列前n项和公式及推导 设等比数列{},首项为,公比为q,如何求前n项和? 我们不妨把各项都用首项和公比来表示. 等比数列的前n项和 思考 要求出，是否可以把上式两边同时除以(1 ？ (1 =( 1) 当1 时，即 时，= 当1 时，即 时， = 等比数列的前项和公式为 新知讲解 等比数列前项和公式及应用 注意：q≠1时， 等比数列的前n项和 关于错位相减法求和 (1)适用范围：{an}是等差数列，{bn}是等比数列(q≠1)，形如cn＝anbn的数列适合利用错位相减法求和；(2)求和步骤①对求和式Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn (ⅰ)，要写出倒数第二项cn－1；②式子的两边同乘以等比数列的公比q，写成qSn＝c1q＋c2q＋…＋cn－1q＋cnq (ⅱ)的形式，要空一位书写，(ⅰ)(ⅱ)式形成错位；③(ⅰ)式－(ⅱ)式，左边＝(1－q)Sn，右边考查除了最后一项外的其他项，利用等比数列求和公式求和、整理；④两边同除以1－q，整理得Sn． 等比数列的前n项和 通过上面的讲解，对于等比数列的相关量a1、q、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？ a1、an、n an、sn a1、q、an a1、q、n a1、an、sn an、q、n an、sn、n n、sn q、sn q、n a1、sn a1、q 等比数列的前n项和 典例剖析 例1 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，， ，求. 知识点二 等比数列前项和公式中基本量的求解 等比数列的前n项和 解 （1）因为,所以 （2）由，，可得即, 又由，得.所以 （3）把，， 代入,得 ＝， 整理得，解得. 等比数列的前n项和 跟踪训练 已知等比数列的首项为 -1，前项和为，若，求公比 . 等比数列的前n项和 [题后感悟]　(1)与等差数列类似．在等比数列中，利用通项公式和前n项和公式同样可以在五个基本量a1、q、an、Sn、和n中“知三求二”． (2)运用等比数列的前n项和公式时，必须注意公比q是否为1，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元. 等比数列的前n项和 例2 已知等比数列的公比，前 项和为.证明， ， 成等比数列，并求这个数列的公比. 知识点三 等比数列前项和的性质 证明 当时， ， ， ， 所以 ， ， 成等比数列