微专题09 三角形的“爪”型结构-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题09 三角形的“爪”型结构 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 中线问题 （一）求中线长 （二）已知中线长求其他量 （三）与中线长有关的最值(范围）问题 （四）与中线有关的综合问题 考点二 角平分线问题 （一）求角平分线长 （二）已知角平分线长求其他量 （三）与角平分线有关的范围问题 （四）中线与角平分线的综合问题 考点三 高线问题 一、“爪”型结构 解三角形是高考中的重要考查内容,是考查学生思维能力、核心素养的重要载体,其中“爪”型结构的解三角形问题屡见不鲜,如中线、角平分线、高线等. （一）“爪”型结构角互补 在中有：; 在中有： （二）解三角形中有关中线问题 ①向量法:,平方，建立中线长与三角形边、角的关系 注；向量法： 推导过程：由， 则 所以 注；适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. ②背靠背的两角互补:,结合余弦定理,建立中线长与三边的关系 ③中线长定理:三角形一条中线两侧对边的平方和等于底边一半的平方与中线的平方和的两倍.即若是的边上的中线,则 中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 注：灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 示例：记的内角的对边分别为,已知的面积为为的中点,且. 若,求. 【解析】思路1.借助向量工具 如图， ,.由题意得, .又., . 思路2.利用背靠背角的互补关系 如上图,, ,, .,,, 由勾股定理,得. （三）解三角形中有关角平分线 性质1（角平分线定理）：若是的边上的一点,平分,则.可利用面积比或正弦定理推导 如图，在中，平分，角、，所对的边分别为，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 性质2:若是的边上的一点,平分,则.利用推导 注：等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 注：题中出现角平分线，我们可以从“角度”和“长度”两个方面入手考虑. 1.角度：角被平分. 2.长度：在中，为的平分线，则，这就是角平分线性质定理之一.提醒：角平分线性质定理大题中不建议直接使用. 示例：在中,的角平分线交于,则. 【解析】思路1.等面积法 如图， 令,,. ,, . 思路2.向量法 如上图,在中,由余弦定理可得., ,,两边平方得,. （4） 解三角形中有关高线问题 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 1、分别为边上的高，则 2、解三角形中有关高线问题； ①结合三角函数求解； ②结合等面积法求解；(求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度) ③结合两个直角三角形中的边、角关系求解. 示例：已知在中,. (I)求; (II)设,求边上的高. 【解析】(I)(过程略). (II)思路1.结合三角函数求解 如图,过点作于点. 由(I)可知,, . 思路2.结合等面积法求解 由.求.思路3.结合两个直角三角形求解 如图,过点作于点. 设.由可得,, .,,即. （5） 其他爪型模型 在中,已知. (I)求;(II)若为上一点,且,求的面积. 【解析】(I)(过程略). (II)思路1:如图, ,, ,. 在Rt中,,,. 思路., .,,. 思路,,. 在Rt中,.,, ,两边平方得,即,. 思路4:过作的垂线,交的延长线于点, ,.,, .,. 考点一 中线问题 （一）求中线长 1．（2024高二下·浙江舟山·期末）记的内角的对边分别为，函数，角满足． (1)求的值； (2)若，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求边上的中线长度． ①的周长为；      ②的面积为． 2．（2024高一下·重庆渝中·期末）设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 3．（2024高三上·重庆·阶段练习）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．4 C． D． 4．（2024高三上·北京·期中）在中，AD为BC边上的中线，，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：；条件②：条件③：的面积为2． (1)求AD