1.3.2 正方形的判定-【中考123】2025-2026学年九年级上册数学全程导练（北师大版）

第一章 第2课时 正方形的判定 o过基础 知识要点分类练 4.如图,E.F.G.HI分别是正方形ABCD四条边 在平行四边形的基础上识别正方形 上的点,且 AE=BF=CG=DH.四边形EFGH$$$$ 知识点1 是什么图形?请说明理由 1.已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB BC.② ABC=90*.③AC=BD.④AC 1 BD四$ 个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边 形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中 C 错误的是 ) 4题图 A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④ 知识点2 在四边形的基础上识别正方形 2.在四边形ABCD中,AC,BD相交于点0.能判 ( 定这个四边形是正方形的条件是 ) A.OA=OB=OC=OD.AC1B$D$ B.AB//CD.AC=BD C.AD/BC. DAB= BCD D.OA=C.0B=OD.AB=BC 知识点3 在菱形的基础上识别正方形 知识点4 在矩形的基础上识别正方形 3.如图,已知在口ABCD中,对角线AC,BD相交 5.如图,四边形ABCD是矩形,E是对角线BD上 于点0,E是BD延长线上的点,连接AE,CE. 一点, BAE=$ BCE, AED= CED,G 是$ △ACE是等边三角形. BC和AF延长线的交点,AG与CD相交于 (1)求证:四边形ABCD是菱形; 点F. (2)若乙AED=2乙EAD,求证:四边形ABCD 是正方形. 求证:四边形ABCD是正方形 3题图 5题图 2 见此图标目灵抖音/微信扫码 领取你的考场冲刻攻略! 中123 .全导练数学·北师版·九年级上册 o过能力 规律方法综合练 。过提升 拓展探究创新练 6.四边形的两条对角线相等且互相垂直平分,则 9.(探究题)如图,在△ABC中,0是AC边上的 { 这个四边形是 ) 一个动点,过点0作直线MN/BC,交乙ACB A.平行四边形 B.矩形 的平分线于点E,交/ACB的外角平分线干 C.菱形 D.正方形 点F. 7.如图,在△ABC中,点D.E.F分别在边BC (1)请猜测0E与0F的大小关系,并说明你 AB.CA上,且 DE//CA.DF//BA. 下列四种 的理由; 说法: (2)点0运动到何处时,四边形AECF是矩 ①四边形AFDF是平行四边形: 形?写出推理过程; ②如果BAC三90{*,那么 (3)在(2)的基础上,△ABC满足什么条件时. 四边形AEDF是矩形; 四边形AECF能成为正方形? ③如果AD平分乙BAC,那么 四边形AEDF是菱形; ④如果 BAC=90*.AD平分 7题图 。 乙BAC,那么四边形AEDF是正方形. 9题图 其中,正确的有 __.(填序号) 8. 如图.已知在矩形ABCD中.AD=6.DC=8.菱 形EFGH的三个顶点E.G.HI分别在矩形 ABCD的边AB.CD.DA上.AH=2.连接CF (1)若DG=2,求证:四边形EFGH为正方形; (2)若DG=6,求△FCG的面积 1) 8题图 。 16 见此图标目抖音/&信扫码 须取你的考场冲刻攻略!(2)解：，△ABG≌△AFG.,BG=FG (2):△ACE是等边三角形. 设BG=FG=x,则GC=6-x ,.∠AEC=60° ·E为CD的中点，.CE=EF=DE=3 ,E0⊥AC,∴.∠AEO= ∠ABc=30 ∴EG=x+3, ,∠AED=2∠EAD.,.∠EAD=15° 在Rt△GCE中，由勾股定理，得 32+(6-x)2-(x+3)2,解得x-2, .∠AD0=∠EAD+∠AED=45. ,四边形ABCD是菱形， ∴，BG=2. .∠ADC=2∠AD0=90°. 12.(1)证明略 ∴四边形ABCD是正方形. (2)证明：如答图①，延长AD至点F,使DF=BE,连接CF 4.解：四边形EFGH是正方形，理由如下： 由(I)知△CBE≌△CDF, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCE=∠DCF ∴.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DL .∠BCD=90°，∠GCE=45°. AE BF CG=DH .∠GCF=∠GCE=45°. .HA EB FC GD CE CF.GC =GC. ∴，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ,.△ECG≌△FCG,÷.GE=GF ∴，HE=EF=FG=GH. .GE GF DF GD=BE +GD. ∴.四边形EFGH是菱形。 由△DHG≌△AEH知∠DHG=∠AEH. ,∠AEH+∠AHE=90° ∴，∠DHG+∠AHE=90P, .∠GHE=90°， 12题客图① 12题答图② (3)解：如答图②，过点C作CC⊥AD,交AD的延长线于 四边形EFGH是正方形. 点G 5.证明：四边形ABCD是矩形， 在直角梯形ABCD中， .∠BCD=∠BAD=90 .AD∥BC,.∠A=∠B=90°. 又∠BAE=∠BCE, 又，∠CGA=90°，AB=BC. .∠ECD=∠EAD. 四边形ABCG为正方形，.AG=BC 又.：∠CED=∠AED,ED=ED. ∠DCE=45°， ∴.△CED≌△AED. 由(1)(2)可知ED=BE+DG ∴.CD=AD. 又.四边形ABCD是矩形. ∴.10=4+DG.即DG=6 AB=x,AE=x-4,AD=x-6, ∴.四边形ABCD是正方形. .103=(x-6)2+(x-4)2 6.D7.①23④ 8.(1)证明：，四边形EFGH为菱形. 解得x=12或x=-2(舍去)， .HG=EH. AB=12..AD=12-6=6, AH=2.DG=2.∴.DG=AH Se8m=2×(6+12)×12=108. ..R△DHG≌Rt△AEH 第2课时正方形的判定 .∠DHG=∠AEn. 1.B2.A .∠AEH+∠AHE=90°， 3.证明：(1)，：四边形ARCD是平行四边形. ∴.∠DHG+∠AHE=90°， .A0=C0 ∴.∠GHE=90°. 又，△ACE是等边三角形， ·,四边形EFGH为菱形， ,EO⊥AC.即DB⊥AC, ∴四边形EFGH为正方形. ∴.四边形ABCD是菱形. (2)解：△FCG的面而积为2. 5. 数学·北师版·九年级上册·参考答案 9.解：(1)0E=0F.理由如下： 10.证明：，四边形ABCD为平行四边形，，AD∥BC.AD=BC. MN∥BC. 又：M为AD的中点，N为BC的中点， ,∴.∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF ∴.MD∥BN.MD=BN 又：CE平分∠BC0,CF平分∠GC0, ∴.四边形BNDM为平行四边形， ∴.∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, .BM∥ND.同理AN∥MC. ∴.四边形PQN为平行四边形. .∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC. 连接MN,AM LBN, .0E=C0.OF=C0. .四边形ABNM为平行四边形 .OE =OF. 又AD=2AB,M为AD中点， (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. .BN=AB,.四边形ABNM为菱形 ·当点0运动到AC的中点时，A0=C0O AV⊥BM,∴四边形PMQN为矩形. 又.·EO=FO.,四边形AECF是平行四边形. D .F0=C0,.A0=C0=E0=F0, ..A0+CO=E0+F0.AC=EF, .四边形AECF是矩形 10题答图 (3)当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直 第一章中考模拟单元测 角的直角三角形时，四边形AECF是正方形. 1.解：(1)如答图. 由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF (2)如答图，CE=25 是矩形， 当∠ACB=90时.：MN∥BC, .∠A0E=90°， .AC⊥EF四边形AECF是正方形. 第一章知识清单 1 ①邻边②平行四边形 1题答图 ③特殊④平行四边形 2.(1)证明：'D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， ⑤相等⑥互相垂直且平分⑦轴⑧中心 ,,DF,DE分别是△ABC中边AC,BC上的中位线， ⑨相等0互相垂直的平行四边形①相等 2直角B平行四边形 DE//BC.DE-BC.DF//AC.DF-AC. 4特殊雪平行四边形 DE∥FC,DF∥EC. 6轴0中心 ∴.四边形DECF为平行四边形 .AC BC.:.DF DE, 8直角9相等②幻斜边的一半 .四边形DECF为菱形 ①直角②相等3直角 (2)解：□DECF,□DEFB,□ECCF,□AEFD 呼相等雪直角西平行 3.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 四菱②矩四直相等 ,∴，CD∥AB.CD=AB.AD=BC. 团相等且互相垂直平分 ,DE.BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线 型48对角线的交点 ,∴.∠ADE=∠CDE,∠CBF=∠ABF 矩形⑤菱形 CD∥AB,∴.∠AED=∠CDE,∠CFB=∠ABF, 互相垂直8相等 ,.∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF, 第一章易错强化训练 .AE =AD,CF CB,.'.AE=CF. 1.C2.D3.B ∴.AB-AE=CD-CF,即BE=DF 4④55 BE∥DF.四边形DEBF是平行四边形. BD与EF互相平分. 6.G (2)解：四边形DEBF的周长为12. 7.15°或75°8.63或259.60°或70 四边形DEBF的面积为43. ·6