1.3.1 正方形的性质-【中考123】2024-2025学年九年级上册数学全程导练（北师大版）

第一章 3正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 。过基础「知识要点分类练 7.如图，E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边 知识点1正方形的定义 三角形，连接BE,EA,延长BE交边AD于点F, (1)求证：△ADE≌△BCE: 1.下列说法中，正确的有 ①正方形是矩形：②正方形是菱形：③正方形 (2)求∠AFB的度数 是平行四边形：④菱形和矩形都是正方形. A.1个 B.2个C.3个D.4个 2.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= 90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是 7题图 正方形，那么这个条件可以是 () A.AB=CD B.BC CD C.AD=BC D.∠D=90 知识点2正方形的性质 3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( A.四个角都相等 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 4.如图，E,F是正方形ABCD对角线AC上的两 点，则图中的全等三角形有 ( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 。过能力「规律方法综合练 8.如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC 4题图 5题图 5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE 平移，使点A移至线段AC的中点A'处，形成 AC,BE相交于点F,则∠BFC的度数为( 新的正方形A'BC'D',新正方形与原正方形重 A.45° B.55°C.60° D.75 叠部分（图中阴影部分）的面积是 6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于 A.√2 B.1 D. 点O,E是BC上一点，EG⊥OB,EF⊥OC,垂足 分别为点G,F.若AC=I0,则EG+EF 8题图 9题图 9.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC上， 且DP=1.Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小 6题图 值是 见此因标弱料音/微估扫码领取你的考场冲刺政略！ 13 ⊙ 。中春23全程写练了数学·北师版·九年级上册 1O.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点 。过提升∫拓展探究创新练 E,使AE=AB,过点E作EF⊥AC交BC于 12.(1)如图①，在正方形ABCD中，E是AB上一 点F 点，F是AD延长线上一点，且DF=BE (1)求证：BF=EF: 求证：CE=CF: (2)求证：BF=CE. (2)如图②，在正方形ABCD中，E是AB上一 点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请 你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD; (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知 10题图 识，完成下题： 如图③，在直角梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD),∠B=90°，AB=BC,E是AB 上一点，且∠DCE=45°，BE=4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积， D B 12题图① 12题图② 12题图③ 11.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边 CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE,延 长EF交BC于点G,连接AG (1)求证：△ABG≌△AFG: (2)求BG的长. D G 11题图 ⊙14 兄此国标豆科音/露信扫码领取你的考场冲刺政路！数学·北师版·九年级上册·参考答案 在△ADC和△AEC中. 3 正方形的性质与判定 乙CDA=乙CEA. 第1课时 正方形的性质 乙DCA= ECA. 1.C 2. B 3. B 4.C 5.C 6.5 LAC=AC. 7.(1)证明:·四边形ABCD是正方形 .△ADC △AEC(AAS)..AD=AE $.AD=BC ADC=BCD=90$ C D__ 二.△DEC为等边三角形 .DE=FC EDC= FCD=$ '.LADE= BCE 在△ADE和△BCE中 11题答图 AD=BC. (2)解::△ADC△AFC 乙ADE= BCE, '.乙CAE= CAD LDE=CE. 四边形ABCD是短形。:/D-90。 .△ADE△BCE(SAS). CAD=90*- DCA=90*-70*=2 0. (2)解::△ADE△BCE.AE=BE. .乙CAE=20. .乙BAE=LABE 12.解:(1):AB=4cm.动点P从点A出发.以1cm/s的速度 : BAE+ DAE=90*$ ABE+ AFB=90. 沿A→B运动, ' 乙DAF=/AFB .动点P运动到点B所需的时间为4-1=4(s) AD=CD=DE.. DAE= DEA .BC=3cm.动点P以2cm/s的速度沿B■( . ADE=30*.. DAE=75*. 运动, ./AFB=750. .动点P运动到点C所需的时间为 8.C 9.5 4+3+2-5.5(s). 10.证明:(1)连接AF.如答图 ·.若点P在边BC上.则:的取值范围是41>5.5 :四边形ABCD是正方形。 (2)①如答图①.当动点P在边AB上运动时 .乙ABF-90 假设存在实数1.使△BPD的面积S>3cm. ..FF1/AC, 1 *BP=AB-AP-4-t.BC-3. '. AEF= B-90 10题答图 .Saro=2x(4-1)x3>3.解得1<2. 在Rt△ABF和Rt△AEF中. .当点P在边AB上运动时,0<1<2. [AB-AE. △BPD的面积s>3cm. LAF=AF. . Rt△ABFRt△AEF(HL)..BF=FF (2)AC是正方形ABCD的对角线. '.乙ACB=45*,即乙ECF-45*。 .FF1AC.. LFEC=90*. 12题答图① 12题答图② ' 乙EFC=90*-45*=45* ②如答图②,当动点P在边BC上运动时. :. △EFC是等腰直角三角形 假设存在实数1.使△BPD的面积S>3cm}. .BP=2(t-4),AB-4. . FF=CE.. BF=CE. 11.(1)证明:·四边形ABCD是正方形. .S△aeo=2x2(1-4)x4>3.解得t>4.75. '. B= D=90*AD=AB .动点P在边BC上运动 由折叠的性质可知AD=AF,/AFE= D=90* :.41<5.5.:.4.75<1<5.5. '. 乙AFG=90*$AB=AF 综上,存在实数1.使△BPD的面积S>3cm,1的取 .乙AFG= B 值范围是0/<2或4.75<155.5 又:AG=AG.'.△ABG△AFG .4. (2)解:△ABG△AFG.BG=FG (2)·△ACE是等边三角形。 $设 BG=$FG=$.则 GC=6 $-x$$$ '.乙AEC=60. E为CD的中点...CE=EF=DE=3 -EO1AC..乙AEO= .EG=x+3. '乙AED=2 EAD. FAD=15*. 在R△GCE中,由勾股定理,得 3+(6-x)=(x+3),解得x=2 . ADO= EAD+ AED=45 .BG=2. 四边形ABCD是菱形, 12.(1)证明略 '. 乙ADC-2乙AD0=90 .四边形ABCD是正方形 (2)证明:如答图①.延长AD至点F.使DF=BE.连接CF 4.解:四边形FFGH是正方形,理由如下: 由(1)知△CBE△CDF 四边形ABCD是正方形。 '. 乙BCE=乙DCF . BCD=90*°$ GCE=45^*. $' A= B= C= D= AB=BC=CD=D$$$ .AE=BF=CG=DH. . GCF= GCE=45* :.HA=EB-FC=GD '.'CE=CF.CC=GC. 1. △AEH△BFE△CGF△DHG :. △ECG△FCG.:. GE=GF . HE=EF=FG-GH. 1. GE=GF=DF+GD=BE+GD ·四边形EFGH是菱形 由△DHG△AEH知 DHG=LAEH .乙AEW+乙AHE=90*. . 乙DHG+乙AHE=90*. 12题答图① :. _GHE=90. 12题答图② (3)解:如答图②.过点C作CG1AD.交AD的延长线于 .四边形EFGH是正方形 点G. 5.证明:·四边形ABCD是矩形 在直角梯形ABCD中. . 乙BCD=乙BAD=90 .AD/BC. A= B=90 又: CBAE= BCE. .. 乙FCD=乙EAD 又 CGA=90*.AB=BC .四边形ABCG为正方形.:.AG-BC 又· 乙CED=LAED.ED=ED .乙DCE=45* .△CFD△AED 由(1)(2)可知ED=BE+DG ..CD=AD. .10=44DG.即DG-6 又·四边形ABCD是矩形 设AB=x,则AE=x-4.AD=x-6. ·.四边形ABCD是正方形 6.D 7.①②③④ :10=(x-6)+(t-4). 解得x=12或x=-2(舍去). 8.(1)证明:·四边形EFGHI为菱形 :AB=12..AD=12-6=6. ..HG-EH. .AH=2.DG=2.DG=AH . Ss8.ancn-x(6+12)xi12=108. .B△DHG-RtAAFH 第2课时 正方形的判定 . CDHG= AEH 1.B 2.A .乙AEH+LAHE=90*. 3.证明:(1):四边形ABCD是平行四边形。 .. 乙DHG+ AHE=90*. ..A0=C0. .乙GHE=90%. 又·△ACE是等边三角形. ·四边形EFGH为菱形 .EO1AC.即DBIAC. 7.四边形EFGH为正方形. ·四边形ABCD是菱形 (2)解:△FCG的面积为2 .5.