1.2.1 矩形的性质-【中考123】2024-2025学年九年级上册数学全程导练（北师大版）

第一章 2矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 。过基础「知识要点分类练 知识点2矩形的性质 知识点1矩形的定义 4.矩形具有而菱形不具有的性质是 A.对角相等 B.对边相等 1.下列说法正确的是 C.对角线互相平分 D.对角线相等 A.平行四边形是矩形 B.矩形是平行四边形 5.如图，已知在矩形ABCD 中，AB<AD,AC,BD相交 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.矩形具有的性质平行四边形都具有 于点O,则图中等腰三角形 的个数是 () 5题图 2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使 A.8个 B.6个 D.2个 它变为矩形，需要添加的条件是 C.4个 A.AB=CD 6.如图，将矩形ABCD沿BE折叠.若∠CBM'= 46°，则∠BEA'= B.AD=BC 0 C.∠A0B=45 2题图 D.∠ABC=90 3.如图，在□ABCD中，E,F分别是AB,DC边上 6题图 7题图 的点，且AE=CF 7.如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点， (1)求证：△ADE≌△CBF: 且∠AED=90°，AD=10,则AB的长 (2)若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是 为 矩形 8.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠， 点C落在点E处，BE交AD于点F,连接AE. (1)求证：BF=DF: 3题图 (2)求证：AE∥BD. 8题图 见比图标弱科音/微估扫码领取你的考场冲刺政略！ 7 0中香123 全程写练矿数学·北师版·九年级上册 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 的一半 于点O,AE⊥BD于点E,BE:ED=I:3,若AB 9.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平 =6,求AC的长 分∠BAC交BC于点D,E为AC的中点，连接 DE,则△CDE的周长为 A.20 B.16 C.14 D.13 14题图 9题图 10题图 I0.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 的中点.若AC=3,BC=4,则CD 。过能力∫规律方法综合练 11.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D ⊙过提升拓展探究创新练 与点B重合，点C落在点C处.若∠EFC'= 15.如图，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=12cm, 125°，则∠ABE的度数为 ( 点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的 A.150 B.20 C.25 D.30 速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动.如果点P,Q同时出 发，用(s)表示移动时间(0≤1≤12) (1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三 11题图 角形？ 12题图 12.如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E, (2)请计算四边形QAPC的面积，并提出一 ∠BAE:∠EAD=3:2,则∠CAE的度数是 个与计算结果一致的结论 D A.54 B.36 C.18 D.以上都不对 15题图 13.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,对角 线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E, F,连接CE,则CE的长为 0 13题图 兄此国标科音/露信扫码领取你的考场冲刺政路！数学·北师版·九年级上册·参考答案 (2)解：当P为EF的中点时，S支Pw=2S形Fr (3)解：四边形BEDF可能是菱形.理由如下： △AOF≌△COE,.OF=OE. :四边形AEPM为菱形，∴.AD⊥EM 四边形ABCD是平行四边形， AB=AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC,.EM∥BC .0B=0D, 又，·EF∥AB,,四边形EFBM为平行四边形 .四边形BEDF是平行四边形. 过点E作EN⊥AB于点N,如答图. 当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形， P=. AB=1,BC=5,∠BAC=90°， .AC=2,A0=1=AB,∴，∠A0B=45°， 六Sem=ED:BEN=BF,BN= 2SW边第w .∠AOF=∠B0F-∠AOB=45 滚动练习（一） 即AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF是菱形 1.C2.B3.C4.D5.B6.B7.C 2矩形的性质与判定 8.①2⑤（答案不唯一） 第1课时矩形的性质 95m10.①2011.212号 1.B2.D 3.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， 13.解：连接DE.DP.BD ,∴.AD=CB,∠A=∠C 由菱形的对角线互相垂直平分，可 AE=CF, 得B,D两点关于直线AC对称，则 .△ADE≌△CBF, PD PB. (2):四边形ABCD是平行四边形， :PE PB=PE PD. ∴AB=CD.面AE=CF. 当D,P,E三点共线时 .AB-AE CD CF,EB FD. 13题答图 PE+PD=DE最小， △ADE≌△CBF,∴.DE=BF 即DE是PE+PB的最小值 六.四边形DEBF是平行四边形 ∠BAD=60°，AD=AB=6,△ABD是等边三角形. ,:∠DEB=90°，.四边形DEBF是矩形 ,AE=BE,DE⊥AB. 4.D5.C6.687.5 在R△MDE中，DE=√AD-AE=√6-3=35. 8.证明：(I):△BED是△BCD沿对角线BD折叠得到的， .∴.∠CBD=∠EBD 故PE+PB的最小值是3. 四边形ABCD是矩形. 14.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.∠BAC=∠DAC. ,,AD∥BC.∴，∠CBD=∠ADB. 又EF⊥AC, .∠ADB=∠EBD,.BF=DF .AE-ANAAD AW DM. (2)由折叠可知BC=BE, (2)解：：四边形ABCD是菱形，.AB∥CD 四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=BE. ∴，∠AEM=∠F 由(1)可知BF=DF,∴，AF=EF 又：∠FMD=∠AME,△AEM是等腰三角形， ,∴.∠FAE=∠FEA. ,∠AFE=∠DFB..∠AEB=∠EBD,∴.AEBD. &∠FMD=LF,DF=DM=2AD, 9.C10.2.5 ∴，AD=4,.菱形ABCD的周长是16. 1.B12.13. 6 15.(1)证明：当旋转角为90°时，∠A0F=90°=∠BA0, 14,解：：四边形ABCD是矩形， ∴.EF∥AB .AC=BD,AO=CO,BO=DO,..AO=BO. 又，AF∥BE. ,AE⊥BD于点E ,.四边形ABEF是平行四边形 ∴.∠AEB=∠AE0=90°，AE是公共边. (2)证明：四边形ABCD是平行四边形， ,∴.AD∥BC.AO=C0.∴，∠FA0=∠ECO D:3.DBE-OE, ,∠AOF=∠COE, △ABE≌△AOE,.AB=AO. .∴.△AOF≌△COE,∴.AF=CE AB=6,∴.A0=6,∴.AC=2A0=12. ·2 15.解：(1)对于任何时刻1，AP=21,DQ=1,Q4=12-6 10.(I)解：△ABC是等边三角形，且D是BC的中点， .∠QAP=90°， .AD平分∠BAC.即∠DMB=∠DAC=30. 当QA=AP时，△OAP为等腰直角三角形. △DAE是等边三角形，∴∠DAE=60°， 即12-【=24，解得1=4. ∴，∠CAE=∠DAE-∠CAD=30° 当1=4s时，△QAP为等 D (2)证明：，△BAC是等边三角形，F是AB的中点， 腰直角三角形. ∴.CF⊥AB,.∠BFC=90° (2)连接AC,在△QAC中， 由(1)知∠CAE=30°，∠BAC=60°， QA=(12-1)cm, 15题客图 ∴.∠FAE=90°，，AE∥CF 边QA上的高DC=24cm, ,△BAC是等边三角形.且AD,CF分别是边BC, S0e=240:DC=2-0x24 AB的中线，.AD=CF =(144-121)cm2. 又AD=AE,CF=AE ,在△APC中，AP=21m,BC=12cm, ∴.四边形AFCE是平行四边形 S6m=24P.BC=7×2x12=l2em2 ∠FAE=90°， ∴.四边形AFCE是矩形 六S迪e0ure=Sa0c+S△ne 11.解：△MEF是等腰直角三角形.理由如下： =144-121+12t=144cm2 连接AM. 由计算结果发现：在P,Q两点的移动过程中，四边 :M是BC的中点，∠BAC=90°， 形QAPC的面积始终保持不变（也可以提出：P,Q AB=AC, 两点到对角线AC的距离之和保持不变). 11题答图 第2课时矩形的判定 AW=BC=BN,AM平分∠BAC, 1.C2.矩形 3.证明：'：△ABD和△BCD是两个全等的等边三角形， ∠MAC=∠MaB=2∠BMC=45 ,AD=BD=AB=BC,∠ADB=∠DBC=60°， AB⊥AC,DE⊥AC,DF⊥AB ∴.MD∥BN ∴∠BAC=90°，∠AFD=90°，∠AED=90°， 又：M为D中点D=D,MB⊥AD, ∴四边形DFAE为矩形，.DF=AE ,'DF⊥BF,∠B=45°. :∠DWB=90.同理BN=号BC. ∠BDF=∠B=45°， .MD=BN,四边形BMDN是平行四边形. .∴.BF=FD,∠B=∠MAE=45°. 又.∠D4MB=90°，四边形BMDV是矩形. ÷.AE=BF 4.B ,AM=BM,∴.△AEM≌△BFM. 5.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， .∴EM=FM.∠AAME=∠BMF .AD=BC,AD∥CB,÷∠DAB=∠CBE ∠A1MF+∠BMF=90°， 又：AB=BE,∴.△ABD≌△BEC. ÷∠AME+∠AMF=∠EMF=90°， (2):BE⊥CD,.四边形BECD是平行四边形. ∴△EF是等腰直角三角形. .∠BOD=2∠A,∴.∠BOD=2∠OBE 滚动练习（二） ,OB=OE,BC=ED,.四边形BECD是矩形. 1.B2.C3.B4.D5.A 6.32cm 7.证明：：四边形ABCD是平行四边形， 6.5cm7.115°8.59.1810.①③5 ,∠BAD+∠ABC=18O 11.(1)证明：连接AC,如容图. 又：AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, ·CF=AF,∴.∠FCA=∠CAF ,∠BAF+∠ABF=90°，∴.∠AFB=90 .四边形ABCD是矩形..DC∥AB. 同理∠AED=90°，∠BGC=90°， ,∴，∠DCA=∠CAF,.∠FCA=∠DCA. ·四边形EFGH是矩形 AE⊥FC∴.∠CEA=90, 8.D9.B ∴.∠CDA=∠CEA=90°. ·3