2024年九年级数学中考压轴题每日一题

九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 1 天） 1 ．综合运用 如图，直线y = x + 6 与y 轴、x 轴分别交于 A 、B 两点，点 C 的坐标为(6, 0) ，点 P 是线 段BC 上一点且点 P 与点 O 不重合．过 A 、O 、P 三点的圆与直线y = x + 6 交于点 D ．连 接 AC 交圆于点 E . (1)求∠BAC 的度数； (2)当∆ADE 和 ∆ABC 相似时，求点 P 的坐标； (3)设点 P 的横坐标为 m ， √2AD＋AE的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含 m 的式子表示. 试卷第 1页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 2 天） 2 ．如图，抛物线y=x2 - 2x - 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线 l 与抛物线交 于 A 、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2 . （1）求 A 、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； （2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度 的最大值； （3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A 、C、F、G 这样的四个点为顶点 的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明 理由. 试卷第 2页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 3 天） 3．在 三角形 ABC 中，BAC = 90º，AB = AC ，点D 为直线BC 上一动点( 点D 不与B 、C 重合) ， 以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF ，连接CF . (1)观察猜想：如图 1 ，当点D 在线段BC 上时， ① BC 与CF 的位置关系是： ； ② BC 、 CD 、 CF 之间的数量关系为： (将结论直接写在横线上) (2) 数学思考：如图2 ，当点D 在线段 CB 的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明. 试卷第 3页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 4 天） 4 ．如图，点E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，点F 是AE 的中点. (1)如图① , 若点G ，H 分别是ED ，BC 的中点； ①判断FG 和HC 之间的关系，并说明理由； ②求证： DEH = FHE ； (2)如图② , 若 CE = AC ，连接BF ，DF ．求证： BF DF . 试卷第 4页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 5 天） 5 ．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形 相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形” ．例如，如图 1 ，在 ABC 中， AD 为 边BC 上的中线， △ABD 与 ABC 相似，那么称 ABC 为关于边BC 的“优美三角形” . (1)在图 2 中的 ∆ABC 中，若BC = AB ，则 ∆ABC （填“是”或“不是”）关于边BC 的“优 美三角形”； (2)如图 3 ，已知 ABC 为关于边BC 的“优美三角形” ，点D 是 ∆ABC 边BC 的中点，以BD 为 直径的O 恰好经过点A ．求证：直线 CA 与O 相切； (3)已知 ∆ABC 为关于边BC 的“优美三角形” ， BC = 4 ， B = 30º，求 ABC 的面积. 试卷第 5页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 6 天） 6 ．综合与实践 在四边形 ABCD 中，将AB 边绕点A 顺时针旋转C 至 AE （0º< C < 2∠BAD ）， 经BAE 的角 平分线所在直线与直线DE 相交于点F ， AF 与BC 边或CD 边交于点M . 【特例感知】 （1）如图 1 ，若四边形 ABCD 是正方形，旋转角C=60º，则∠AFE = . 【类比迁移】 （2）如图 2 ，若四边形 ABCD 是正方形且90º< C <180º，试探究在旋转的过程中经AFE 的 值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图 3，若四边形 ABCD 是菱形，AB = 4 ，∠ABC = 60º，在旋转的过程中，当线段DF 与线段 AB 存在√2 倍的关系时，请直接写出CM 的长. 试卷第 6页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 7 天） 7 ．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图 1， 已知 AD 是 ∠ABC 的角平分线，可证 ．小慧的证明思路是：如图 2 ，过点 C 作 CE ∥ AB ，交 AD 的延长线于点 E ，构造相似三角形来证明. (1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图 2 证明； (2)基础训练：如图 3，在Rt△ABC 中，BAC = 90。，D 是边BC 上一点．连接 AD ，将 ∠ACD 沿 AD 所在直线折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的E 点处．若 AC = 1 ， AB = 2 ，则DE 的长； (3)拓展升华：如图 4 ， ∆ABC 中， AB = 6 ， AC = 4 ， AD 平分BAC ， AD 的中垂线EF 交 BC 延长线于点F ，当BD = 时，求AF 的长. 试卷第 7页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 8 天） 8 ．问题探究：如图 1，在正方形 ABCD ，点E，Q 分别在边BC，AB 上，DQ AE 于点O，点 G，F 分别在边 CD、AB 上， GP AE . (1)①判断DQ 与 AE 的数量关系： DQ AE ； ②推断： = ______(填数值)； (2)类比探究：如图 2，在矩形ABCD 中．将矩形 ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接 AE 交GF 于点O ．试探究GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 1：如图 3 ，四边形 ABCD 中， ABC = 90。， AB = AD = 10, BC = CD = 5 ， AM DN ，点M，N 分别在边BC、AB 上，求 的值. (4)拓展应用 2：如图 2 ，在（2）的条件下，连接 CP ，若 ，GF = 2 ，求CP 的长. 试卷第 8页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 9 天） 9 ．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = 一x2 + bx + c 的图象与轴交于 A ，B 点，与y 轴 交于点C(0, 3) ，点 B 的坐标为(3, 0) ，点 P 是抛物线上一个动点. (1)求二次函数解析式； (2)若 P 点在第一象限运动，当 P 运动到什么位置时， △BPC 的面积最大？请求出点 P 的坐 标和△BPC 面积的最大值； (3)连接PO，PC ，并把△POC 沿CO 翻折，那么是否存在点 P ，使四边形POP,C 为菱形； 若不存在，请说明理由. 试卷第 9页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 10 天） 10 ．（1）问题呈现：如图 1 ， ∆ABC 和∆ADE 都是直角三角形， ABC = ADE = 90。，且 ．连接BD ， CE ，求 的值. （2）类比探究：如图 2 ， ∆ABC 是等腰直角三角形， ACB = 90。，将 ∆ABC 绕点A 逆时针 旋转60º得到∆ADE ，连接BD ， EC ，延长EC 交BD 于点F ，设 AB = 6 ，求EF 的长； （3）拓展提升：如图 3 ，在等边 ∆ABC 中，AB = 6 ，AD 是BC 边上的中线，点M 从点A 移 动到点D ，连接MC ，以MC 为边长，在MC 的上方作等边 ∆MNC ，求点N 经过的路径长. 试卷第 10页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 11 天） 11．如图， ∆ABC 是等腰三角形， BA = BC, ∠ABC = α ．点 D 在直线BC 上，连接 AD ，将 线段 AD 绕点 D 逆时针旋转α得到DE ，连接AE，CE. (1)问题发现： 如图 1 ，若α= 60º, ∠ECB = ， BD 与EC 的数量关系是 . (2)类比探究： 如图 2 ，若α= 90º，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立， 请写出新的结论，并说明理由. (3)拓展应用： 若α= 120。, BA = BC = 8 ，过点 E 作EF ⊥BC 于点 F， EF= ，请直接写出DF 的长. 试卷第 11页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 12 天） 12 ．问题提出 （1）如图 1 ，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AD = 1 ， BC = 4 ， AD 与BC 之间的距离为 4 ，则四边形ABCD 的面积为 ； 问题探究 （2）如图 2 ，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ，若 AD = 1, BC = 3 ，对角线AC BD ，求四 边形 ABCD 的最大面积； 问题解决 （3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形 ABCD 为非遗展示区，计划分为传统、创新两个 区域．如图 3 ，已知 AD∥BC ， AD : BC = 1: 3 ， BDC = 60。， AB = 40m ，，则是否存在面 积最大的四边形 ABCD ？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 试卷第 12页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 13 天） 13．如图，AB 为⊙O 的直径，动弦CD 」OA 于点 P，连结BC ，DA 并延长交于点 F，DE ⊥BC 于点 E ，交 AB 于点 G . (1)求证： AP = PG . (2)设∠CDE = α， 经F = β . ①求β关于α的函数关系式； ②当 P，G，O 三点中恰有一点是另两点构成的线段中点时，求出所有符合条件的tan α. tan β 的值. 试卷第 13页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 14 天） 14．如图 1 所示，把一个含45。角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，三角 板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E 、F 分别在正方形的边 CB ， CD 上，连接 AE 、 AF . (1)求证： △AEF 是等腰三角形； (2)图 2 取AF 的中点 M， EF 的中点为 N，连接MD ， AN ，请判断线段MD 与MN 的关系， 并证明； (3)将图 2 中的直角三角板ECF ，绕点 C 旋转180º，如图 3 所示，其他条件不变，则（2） 中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由. 试卷第 14页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 15 天） 15．如图，抛物线y = 一x 2 + 3x + 4 和直线y = x +1交于 A(一1, 0) ，B (3, 4) 点，点 B 在直线x = 3 上，直线x = 3 与 x 轴交于点 C. (1)求∠BAC 的度数. (2)点 P 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段AB 向点 B 运动，点 Q 从点 C 出 发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动，点 P ，Q 同时出发，当其中一点到 达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t > 0) ．以PQ 为边作矩形PQNM ， 使点 N 在直线x = 3 上. ①当 t 为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当t 为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上. 试卷第 15页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 16 天） 16 ．矩形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 8 . (1)如图 1 ，矩形的对角线 AC ，BD 相交于点 O . ①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以 O 为圆心的同一个圆上； ②在⊙O 的劣弧 AD 上取一点 E ，使得AE = AB ，连接DE ，求△AED 的面积. (2)如图 2，点 P 是该矩形的边 AD 上一动点，若四边形 ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC 对 称，连接GD ，HD ，求 ΔGDH 面积的最小值. 试卷第 16页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 17 天） 17 ．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线y = kx + 4 与x 轴交于点 A(-4, 0) ，与y 轴交于点 C ，抛物 线y = -x2 + bx + c 经过A ， C 两点且与x 轴的正半轴交于点B . (1)求k 的值及抛物线的解析式. (2)如图① , 若点D 为直线 AC 上方抛物线上一动点，当 ACD = 2BAC 时，求D 点的坐标； (3)如图② , 若F 是线段OA 的上一个动点，过点F 作直线EF 垂直于x 轴交直线 AC 和抛物 线分别于点G 、 E ，连接CE ．设点F 的横坐标为m . ①当m 为何值时，线段EG 有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以 C ， G ， E 为顶点的三角形与 ‘AFG 相似，若存在，直接写出m 的值；若不 存在，请说明理由. 试卷第 17页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 18 天） 18 ．综合探究 如图，在圆O 中，点 A、B、C、D 为圆周的四等分点，AE 为切线，连接ED ，并延长交圆O 于点F ，连接BF 交 AC 于点G . (1)求证： AD 平分CAE ； (2)求证： △ADE≌△ABG ； (3)若AE = 3, AG = 3GC ，求cos CBF 的值. 试卷第 18页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 19 天） 19．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和 性质. 【操作探究】 (1)如图 1 ，已知 ΔABC ， ∠C = 90。，将 ΔABC 绕着直角边AC 中点 G 旋转，得到 ΔDEF ，当 ΔDEF 的顶点 D 恰好落在 ΔABC 的斜边 AB 上时，斜边DE 与 AC 交于点 H. ①猜想： ADC = ②证明： ΔDGH ~ ΔADH . 【问题解决】 (2)在（1）的条件下，已知 AC = 4 ， BC = 3 ，求 CH 的长. 【拓展提升】 (3)如图 2，在菱形ABCD 中，AC = 8 ，BD = 6 ， 将菱形ABCD 绕着 AB 中点 M 顺时针旋转， 得到菱形EFGH ，当菱形EFGH 的顶点 E 分别恰好落在菱形 ABCD 的AD 边和对角线BD 上 时，菱形EFGH 的边与BC 边相交于点 N， 请直接写出BN 的长. 试卷第 19页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 20 天） 20 ．抛物线y = ax2 + bx 一4 与 x 轴交于点 A(一4, 0) ，B (2, 0) ，与y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线上的一个动点，设点 D 的横坐标是m (一4 < m < 2) ，过点 D 作直线 DE 」x轴，垂足为点 E ，交直线 AC 于点 F．当 D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成 的线段时，求线段DF 的长； (3)若点 P 是抛物线上的一个动点（点 P 不与顶点重合），点 M 是抛物线对称轴上的一个点， 点 N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1: 2 时，请直接写出点 P 的横坐标. 试卷第 20页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 21 天） 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = - x 2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(-2, 0) ，B (4, 0) ， 与y 轴交于点 C，连接BC . (1)求抛物线的解析式； (2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作直线l 」x轴于点M(m, 0)，交BC 于点 N， 连接CM，PB，PC ．∆PCB 的面积记为S1 ，∆BCM 的面积记为S2 ，当S1 = S2 时，求 m 的值 (3)在（2）的条件下，点 Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点 H，当△HMN 与 ∆BCM相似时，请直接写出点 Q 的坐标. 试卷第 21页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 22 天） 22 ．已知：在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点E ，连接CE ，一条与CE 垂直的直线l （垂 足为点M ）沿CE 方向，从点C 开始向上平移，交边BC 于点F . (1)如图 1 ，当直线l 经过正方形ABCD 的顶点D 时，求证： BE = CF ； (2)如图 2，当直线l 经过 CE 的中点时，与对角线BD 交于点N ，连接CN ，求 NCE 的度数； (3)如图 3 ，直线l 继续向上平移，当点M 恰好落在对角线BD 上时，交边 AD 于点G ，设 AB = 4，BE = x，DG = y ，求y 与x 之间的关系式. 试卷第 22页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 23 天） 23 ．如图，在矩形ABCD 和矩形 AGFE 中，AD = 4 ，AE = 2 ，AB = AD , AG = AE ．矩 形 AGFE 绕着点 A 旋转，连接BG ， CF ， AC ， AF . (1)求证： ∆ABG∽∆ACF ； (2)当CE 的长度最大时， ①求BG 的长度； ②在△ACF 内是否存在一点 P，使得 CP + AP + 3PF 的值最小?若存在，求CP + AP + 3PF 的最小值；若不存在，请说明理由. 试卷第 23页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 24 天） 24 ．综合探究 已知点E 是边长为 2 的正方形 ABCD 内部一个动点，始终保持AED = 90。. 【初步探究】（1）如图，延长DE 交边BC 于点F ．当点F 是BC 的中点时，求 的值； 【深入探究】（2）如图，连接CE 并延长交边AD 于点M ．当点M 是 AD 的中点时，求 的值； 【延伸探究】（3）如图，连接BE 并延长交边CD 于点G ．当DG 取得最大值时，求 的值. 试卷第 24页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 25 天） 25．如图，在直角梯形ABCD 中，A = B = 90。，AB = 12 ，BC = 14 ，AD = 9 ，线段BC 上 的点 P 从点 B 运动到点 C，，∠ADP 的角平分线DQ 交以DP 为直径的圆 M 于点 Q，连接PQ . (1)当点 P 不与点 B 重合时，求证： PQ 平分 BPD ； (2)当⊙M 与直角梯形ABCD 的边相切时，求出此时BP 的长. 试卷第 25页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 26 天） 26 ．综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点， □ABCD 的项点 B 、C 在 x 轴上，A 在y 轴上， OA = OC = 2OB = 4 ，直线y = x + t(一2 < t < 4) 分别与 x 轴、y 轴、线段 AD 、直线 AB 交于点 E、F、P 、Q . (1)当t = 1时，求证： AP = DP . (2)探究线段 AP 、 PQ 之间的数量关系，并说明理由. (3)在 x 轴上是否存在点 M，使得经PMQ = 90。，且以点 M、P、Q 为顶点的三角形与 ∆AOB 相 似，若存在，请求出此时 t 的值以及点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第 26页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 27 天） 27 ．综合与实践 【问题情境】 如图 1，小华将矩形纸片 ABCD 先沿对角线BD 折叠，展开后再折叠，使点B 落在对角线BD 上，点B 的对应点记为B＇ ，折痕与边 AD ， BC 分别交于点E ，F . 【活动猜想】 （1）如图 2 ，当点B, 与点D 重合时，四边形BEDF 是哪种特殊的四边形？答： . 【问题解决】 （2）如图 3 ，当 AB = 4 ， AD = 8 ， BF = 3 时，求证：点A, ， B＇ ， C 在同一条直线上. 【深入探究】 （3）如图 4 ，当 AB 与BC 满足什么关系时，始终有 A,B , 与对角线 AC 平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设 AC 与BD ，EF 分别交于点O ，P ，试探究三条线段AP ，B,D ， EF 之间满足的等量关系，并说明理由. 试卷第 27页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 28 天） 28 ．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60。角的菱形进行了探究. 【背景】在菱形 ABCD 中，B=60。，作PAQ = B ，AP 、AQ 分别交边BC 、CD 于点 P、 Q . (1)【感知】如图 1 ，若点 P 是边BC 的中点，小南经过探索发现了线段AP 与 AQ 之间的数量 关系，请你写出这个关系式 . (2)【探究】如图 2，小阳说“ 点 P 为BC 上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？ 请说明理由. (3)【应用】小宛取出如图 3 所示的菱形纸片 ABCD ，测得 ABC = 60º， AB = 6 ，在BC 边 上取一点 P ，连接AP ，在菱形内部作PAQ = 60º， AQ 交CD 于点 Q ，当 AP = 2 时，请 直接写出线段DQ 的长. 试卷第 28页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 29 天） 29 ．综合运用 如图，在Rt△ABC 中，CA = CB = , ∠ACB = 90º，过点 C 作 AB 的垂线段HT ，垂足为H ， 连接BT ，且∠TBH = 60º. (1)求线段AB 的长. (2)以点H 为中心，按逆时针方向旋转△BTH 一周，使旋转后得到的 △BTH, 的边BT 恰好 经过点 C （点 C 不与点B, 重合），求此时旋转角的度数. (3)在（2）的条件下，将△B＇T＇H 沿 AB 向右平移t 个单位长度，设平移后的图形与△CAB 重 叠部分的面积为S ，当0 < t <时，求S 与t 的函数关系式. 试卷第 29页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 30 天） 30 ．【问题】（1）如图 1 ，四边形ABCD 是正方形，点E 是 AD 边上的一个动点，以CE 为边 在CE 的右侧作正方形CEFG ，连接DG 、BE ，则DG 与BE 的数量关系是 ，DG 与BE 的位置关系是 ； （2）如图，四边形 ABCD 是矩形， AB = 3 ， BC = 6 ，点E 是AD 边上的一个动点， 【探究】①如图 2，以CE 为边在CE 的右侧作矩形CEFG ，且CG : CE = 1: 2 ，连接DG 、BE ， 求证： DG BE ； 【拓展】②如图 3 ，以CE 为边在CE 的右侧作正方形CEFG ，连接DF 、DG ，则 ∆ DFG 面 积的最小值为 . 试卷第 30页，共 36页 九年级数学中考冲刺每日一练（第 31 天） 31 ．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形. (1)理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是垂等四边形，点 A 的 坐标为(4，0) ，点 C 的坐标为(0，3) ，则点 B 的坐标为 . (2)综合探究：如图，已知抛物线y = -x2 + 2x + 3 与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 在点 B 的左侧， C，D 两点在该抛物线上．若以 A，B ，C，D 为顶点的四边形是垂等四边形．设点 C 的横坐 标为 m ，点 D 的横坐标为 n ，且m > n ，求 m 的值. 试卷第 31页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 32 天） 32 ．综合探究 【问题思考】 （1）如图 1 ，已知正方形 ABCD ，M，N 分别是边BC, CD 上一点，连接 AM , AN,MN ，且 MAN = 45º，若延长ND 到 P ，使得DP = BM ，连接AP ．运用三角形全等的相关知识， 可推理得到三条线段BM ,MN, DN 之间的数量关系是 ； 【探究应用】 （2）如图 2，正方形ABCD 的边长为 5，点 E 是射线BC 上一动点（不与点 B 重合），连接 AE ， 以 AE 为边长在BC 的上方作正方形 AEFG ， AF 交射线CD 于点 H，连接FC . ①当点 E 在BC 上时，若△CFH是等腰三角形，求此时BE 的长. ②当点 E 在BC 的延长线上时，若 AH = FH ，请直接写出线段 CH 的长. 试卷第 32页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 33 天） 33 ．【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图 1，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别是边DC ，BC 上的点，连接 AE ，DF ，且 AE DF 于点 G ，若AB = 6 ， BC = 8 ，求 的值. （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由. 【初步运用】 （2）如图 2 ，在 ∆ ABC 中， BAC = 90º， ，点 D 为 AC 的中点，连接BD ，过点 A 作 AE BD 于点点 E ，交BC 于点 F，求 的值. 【灵活运用】 （3）如图 3 ，在四边形 ABCD 中， BAD = 90º， ，AB = BC ，AD = CD ，点 E，F 分别在边 AB ， AD 上，且DE CF ，垂足为 G ，则 = ______ . 试卷第 33页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 34 天） 34 ．综合与实践 【问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图 1， 在四边形 ABCD 中（BC CD ）， AB∥CD ， ∠B = 90° . 图 1 【探究实践】 老师引导同学们在边BC 上任取一点 E ，连接DE ，将△DCE 沿DE 翻折，点 C 的对应点为 H，然后将纸片展平，连接CH 并延长，分别交DE ， AB 于点 M，G . 老师让同学们探究：当点 E 在不同位置时，能有哪些发现？ 经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现. （1）如图 2 ，小莹发现：“ 当折痕DE 与 AD 夹角为90º时，则四边形 AGCD 是平行四边形. ℽ （2）如图 3 ，小明发现：“ 当 E 是BC 的中点时，延长DH 交AB 于点 N，连接EN ，则 N 是 BG 的中点. 请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由. 【拓展应用】 （3）如图 4 ，小慧在小明发现的基础上，经过进步思考发现：“延长EH 交 AB 于点 F．当 给出BC 和BF 的长时，就可以求出CD 的长. 老师肯定了小慧同学结论的正确性．若BC = 6 ， BF = 4 ，请你帮小慧求出CD 的长. 试卷第 34页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 35 天） 35 ．如图，抛物线y = ax2 + bx 一 4(a 子 0) 与 x 轴交于点 A(一2, 0) 、B (4, 0) ，与y 轴交于点 C， 连接BC ．点 P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点(不与点 B 、C 重合)，过点 P 作y 轴的平 行线，交BC 于点 M，交 x 轴于点 N，设点 P 的横坐标为 t . (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)用含 t 的代数式表示线段PM 的长，求PM 的最大值及此时点 M 的坐标； (3)过点 C 作CH ⊥PN 于点 H， S△BMN = 9S△CHM . ①求点 P 的坐标； ②连接 CP ，在y 轴上是否存在点 Q ，使得 ∆ CPQ 是直角三角形，若存在，直接写出点 Q 的 坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第 35页，共 36页 九年级数学中考压轴冲刺每日一练（第 36 天） 36 ．综合探究 如图，在扇形OMN 中， OM = 3, 经MON = 90º, A 是上异于M, N 的动点，过点A 作 AB ⊥OM 于点B ，作 AC ⊥ON 于点 C ，连接BC ，点E, D 在线段BC 上，且BE = ED = DC . (1)求证：四边形OEAD 是平行四边形. (2)当点A 在 上运动时，在 AB, AE, BE 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该 线段的长度；若不存在，请说明理由. (3)求证： AB2 + 3AD2 是定值. 试卷第 36页，共 36页 学科网（北京）股份有限公司 $$