专题01根式、分式的化简（九大常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

专题01分式、根式的化简 考点一、分式 1.定义：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.其中叫做分子，叫做分母. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 分式有意义的条件：； 分式值为0的条件：分子且分母 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中是不等于零的整式）. 注意：（1）基本性质中的表示的是整式.其中是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 3.分式的变号法则：对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 4.分式的约分，最简分式：与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 5.分式通分：与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 考点二、分式的运算 1.分式的乘除运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）. （1）（是正整数）；（2）（是正整数） （3）（是正整数）；（4）（，是正整数，） （5）（是正整数）；（6）（，n是正整数） 注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则的指数． 3.同分母分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为： 注意：“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 4.异分母分式的加减：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 注意：异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点三、二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如 二次根式满足条件：①必须含有二次根号；②被开方数必须是非负数 2.二次根式的性质 性质1：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点四、二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则： （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广：①； ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 （3）二次根式的乘法法则的逆用： （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法法则 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广 3.最简二次根式 （1）概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 被开方数时多项式的要先因式分解 （3）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 4.同类二次根式 （1）概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不