2023-2024年人教版七年级数学下学期期末培优专题复习专题六平方根 立方根

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题六 平方根 立方根 （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数. 特别规定：0的算术平方根仍然为0. （1）.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：. （2）.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根. 因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：. 考点4 名师点拨 求一个正数的算术平方根的方法 先找出哪一个正数的平方等于已知数，然后用数学式子表示即可。 根据平方运算求一个数的平方根体现了数学中的转化思想。 知识点2 平方根 平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。记做： 平方根的性质：正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 （1）. 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； （2）. 当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：. （3）当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根. 名师点拨 1.求一个正数的平方根就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方。 2.算术平方根与平方根的区别和联系 区别：（1）定义不同：算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，平方根：如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。 （2）个数不同：正数的算术平方根只有一个，正数的平方根有两个。 （3）表示不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为 （4）结果不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正一负，它们互为相反数。 联系：（1）同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根。 （2）存在的条件相同：只有非负数才平方根和算术平方根。 （3）特殊值0的平方根算术平方根都是0 知识点3 立方根 1.立方根：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做 三次方根），即如果，那么叫做的立方根。如=27，所以 3 是27的立方根。表示为 2、开立方：求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.（开平方和平方互为逆运算一样） 3.一个正数有一个一个的立方根 0有一个立方根，是它 本身 一个负数有一个一个的立方根 任何数都有一个的立方根 名师点拨 1. 立方根与平方根的区别 （1）定义不同：平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。记做：，立方根：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做 三次方根），即如果，那么叫做的立方根。 （2）性质不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，一个正数有一个正立方根，一个负数有一个负的立方根，任何一个数的立方根只有一个，且与这个数的符号相同。 表示方法不同：非负数a的平方根表示为,一个数a的立方根用符号,表示，根指数3不变 （3） 被开方数取值范围不同，,中，都与相应的乘方互为逆运算 2.联系：（1）运算关系都与相应的乘方运算互为逆运算。 （2） 0的立方根、平方根都是0 2、 易错点点拨 易错点1 算术平方根 例1-1 .若x，y是实数，且 (1)求x，y的值； (2)求的值． 易错点拨 算术平方根的性质： （1）具有双重非负性，即：. （2）一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根. 变式训练1 1．的算术平方根是（　　） A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2 2．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3．已知与互为相反数，求的值 _____． 4. 已知|2020﹣m|+＝m，求m﹣20202的值． 易错点2平方根 例2-1 .已知与是一个正数的平方根，且与是同类项，求的算术平方根. 易错点拨2 正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正一负，它们互为相反数。 变式训练2 1．代数式的值是非负数成立，当x取最大整数时，则的平方根为_____． 2．的平方根是__________. 的算术平方根是__________. 3．已知2a+1的平方根是±5，a+b+7的算术平方根为4． （1）求a、b的值； （2）求a+b的平方根． 4．求下列各式中的x：4（x+5）2=16． 5．若一个数的平方根分别是2a﹣3和4﹣a，求这个数． 易错点3 立方根 例3-1．下列说