7.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差     延时符 授课人： 日期：2024年5月26日 1 学习目标  理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质.  能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点).  核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模 2 复习巩固 一般地，若离散型随机变量的分布列为: … … 则称 为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望. 数学期望 一般地 求均值的步骤 确定取值： 1 2 求)概率： 3 写分布列： 4 求均值. 新知导入 4 【问题1】根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 均值相等，不能区分. 评价射击水平，①环数的均值，②稳定性，即击中环数的离散程度. 比较两个图形，可以发现 同学的射击成绩更集中于8环，即 同学的射击成绩更稳定. 概率分布图. 【追问】怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 乙 乙 随机变量的方差 4 新课知识 5 设离散型随机变量的分布列如表所示. 有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. （读西格玛） 为频数，且，足够大时稳定于 样本的方差 随机变量的方差 5 新课知识 6 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 两名同学射击成绩的方差和标准差分别为： 甲 乙 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 因为，所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 随机变量的方差的意义 6 新课知识 7 3 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质. 随机变量的方差计算式的简化 =1 = 7 例题精讲 8 【问题2】离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即 . 一般地，可以证明下面的结论成立： . 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即 . 若样本数据的标准差为，则的标准差为. 方差为，则 的方差为. 8 例题精讲 9 【例1】抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数的方差. 【解】随机变量的分布列为 因为 所以 . 写分布列 1 求均值E(X) 2 求方差D(X) 3 9 例题精讲 10 【例2】投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示. 收益 /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 【解】(1)：股票和股票投资收益的期望分别为 因为，所以投资股票的期望收益较大. (1)投资哪种股票的期望收益大？ 实际问题背景中方差的解释 技能测试成绩,方差的大小反映了技能的稳定性; 1 产品的误差,方差的大小反映了加工的精度; 2 风险投资的收益,方差的大小反映了投资风险的高低. 3 10 例题精讲 11 【例2】投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示. 收益 /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (2) 投资哪种股票的风险较高? 【解】(2)：股票和股票投资收益的方差分别为 因为和相差不大，且， 所以投资股票比投资股票的风险高. 方差的大小反映了投资风险的高低. 11 课堂小结 12 有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 随机变量的方差