精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题

雅礼中学2024届模拟试卷（二） 数 学 命题人：伊波 审题人：陈朝阳 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 3. 中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y=±x B. y=±x C. y=±x D. y=±x 4. 已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ） A. 2 B. C. 0 D. 5. 将函数图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像关于直线对称，则的最小值为 A. B. C. D. 6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A B. C. D. 7. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ） A. 三棱锥的体积大小与点的位置有关 B. 与平面相交 C 平面平面 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（　　） A. 此人第二天走了九十六里路 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C. 此人第三天走的路程占全程的 D. 此人后三天共走了42里路 11. 三棱锥的侧棱垂直于底面，，，三棱锥的体积，则（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. C. D. 三棱锥外接球的体积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复数范围内，方程的根为________. 13. 已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M轨迹方程为_____________． 14. 若m，，，，则_____________．（请用一个排列数来表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知，外接圆半径. （1）求角的大小； （2）试求面积的最大值. 16. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 18. 某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制： 每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有的概率中积分奖，有的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束． （1）若，，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若，，X表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X的分布列（用p表示即可）； （ⅱ）求X的数学期望．（，结果四舍五入精确到个位数） 19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导. （1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数极值点； （2）已知函数. （ⅰ）求函数在