第十九章一次函数 章末复习小结（4）基本技能、基本思想方法和基本活动经验 2023—2024学年人教版八年级数学下册

第十九章一次函数 章末复习小结（4）基本技能、基本思想方法和基本活动经验 教学设计 学习目标： 1.会直线与坐标轴围成的图形的面积 (重点) 2.一次函数与几何、代数的综合问题（难点） 3.进一步感知数形结合思想 一、典例分析 例1 已知一次函数的图象经过点 M (-2，3)，且平行于直线 y = 3x - 4. (1) 求这个函数图象的解析式； (2) 所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积. 解：(1) 设所求一次函数的解析式为 y = kx + b. 则： 解得： ∴ y = 3x + 9. (2) 设直线 y = 3x + 9分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 点， 令 x = 0，则 y = 9，B(0，9)； 令 y = 0，3x + 9 = 0， 解得: x = -3 本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的 k 值相等得到 k = 3 是解题的关键，也是本题的难点，还要注意求函数图象与坐标轴的交点的方法. 例2 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从 A 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右移动. 当移动到△COD 与△AOB 全等 时，移动的时间 t 是( D ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键. 二、小试牛刀 1.如图，一次函数 y = 3x + 9 的图象分别与 x 轴和 y 轴交于A，B 两点，且与正比例函数 y = kx 的图象交于点C(-2，m). (1) 求 m 的值； (2) 求正比例函数的解析式； (3) 点 D 是正比例函数图象上的一点，且△AOD 的面积 是 4，求点 D 的坐标. 分析：(1) 把点 C (-2，m) 代入一次函数 y = 3x + 9 即可求得； (2) 利用待定系数法即可求得； (3) 根据三角形面积求得 D 点到 x 轴的距离，即可求得 D 的纵坐标，代入 y =3 x + 9即可求得横坐标. 解：(1) ∵点C(-2，m) 在一次函数 y = 3x + 9 的图象上， ∴ m = 3(- 2 )+ 9 = 3. (2) ∵ 正比例函数图象经过点 C (-2，3)， ∴ - 2k = 3，即 k = ∴ y = - x. (3) ∵ y = 3x + 9， 令 y = 0 得，x = - 3， ∴ 点 A (-3，0)，即 OA = 3 设点 D 的坐标为 (n，-n ) ∴ ×3×|-n| = 3. ∴ | n | = 3.当 n = 时，-n = - 2 ， ∴ 点 D 的坐标为(，-2)； 当 n =- 时，- n = 2 ∴ 点 D 的坐标为(- ，2). 故 D 的坐标为(，-2)或(- ，2). 2. 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从(4，0)出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动. 当移动到△COD 与△AOB 全等 时，移动的时间 t 是( A ) A. 2或6 B. 2或4 C. 4 D. 6 三、拓展提升 3.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 AB 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，OA = OB，过点 A 作 x 轴的垂线与过点 O 的直线相交于点 C，直线 OC 的解析式为y = x，过点 C 作 CM⊥y 轴，垂足为点 M，OM = 9. (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 如图，点 N 在线段 MC 上，连接 ON， 点 P 在线段 ON 上(不与点 O 重合)，过点 P 作 PD⊥x 轴，垂足为点 D，交 OC 于 点 E. 若 NC = OM，求 的值. 解：(1) ∵CM⊥y 轴，OM = 9， ∴ y = 9 时，9 = x，解得 x = 12. ∴ C(12，9). ∵AC⊥x 轴，∴A(12，0). ∵OA = OB，∴B(0，-12). 设直线 AB 的解析式为 y = kx + b，则有 ∴直线 AB 的解析式为 y = x - 12. (2)∵∠CMO = ∠MOA = ∠OAC = 90°， ∴四边形 OACM 是矩形. ∴AO = CM = 12. ∵ NC = OM = 9，∴ MN = CM - NC = 12 - 9 = 3. ∴ N