第十一章 三角形几何模型（二）讲义 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第3讲 三角形几何模型（二） 模型1 内平分模型 三角形的两个内角的角平分线交于一点，得到内平分模型 即OB平分∠B，OC平分∠C，得到结论 ∠BOC=90°+ ∠A 【例1】如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于 【例2】如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BEC＝110°，则∠BDC=　 　；∠A= 【变式1】如图，△ABC的内角平分线BE、CF相交于点G，则2∠BGC﹣∠A＝　 　． 模型2 外平分模型 三角形的两个外角的角平分线交于一点，得到外平分模型，即BF平分∠ABC，CF平分∠ACE，得到结论∠AEC=90°- ∠B 【例1】如图，在△ABC中，∠B＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于 【例2】如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC＝　 　，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M＝　 　． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． 模型3 内外平分模型 三角形的一个内角平分线与一个外角的角平分线交于一点，得到内外平分模型，即AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，得到结论∠F=∠A 【例1】如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1． ①若∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，则∠P1的度数为　 　； ②若∠A＝α，则∠P1的度数为　 　；（用含α的代数式表示） ③如图（乙），∠A＝α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为　 　（用n与α的代数式表示） 【变式1】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．已知∠A＝60°，求∠E的度数； 【变式2】如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5点，则∠A5的度数是　 　． 【例2】如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝　 　． 【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC延长线交∠ABC的外角平分线于点D，若∠D比∠E大10°，则∠A的度数是　 　． 【变式4】如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝　 　． 《第3讲 三角形几何模型（二）》 过关训练 1. 如图，在△ABC中，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∠BIC＝130°，则∠A＝　 　． 2. 如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BEC＝110°，则∠BDC的度数为 　 　． 3. 如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝　 　度． 4. 如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5点，则∠A5的度数是　 　． 5. 如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝　 　． 7. 如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． 8. 在△ABC中，∠A＝40° （1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P＝　 　，∠A与∠P之间的数量关系是　 　．为什么有这样的关系？请证明它； （2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P＝　 　，∠A与∠P之间的数量关系是　 　，请证明 （3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P＝　 　，∠A与∠P之间的数量关系是　 　．，请证明 学科网（北京）股