大题突破03 三角形（七大题型）-2023-2024学年七年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

专题03 三角形相关典型模型 全等三角形是初中数学中最重要的几何知识，其他知识都可以融合到三角形中来考察。 这里归纳总结了全等三角形的几种典型题型。 一线三垂直模型，一线三等角模型，动点模型，手拉手模型，含半角模型，三角形的角平分线相关模型，角平分线和高线模型，阅读理解新题型。 题型一：一线三垂直模型 1．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明； (3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明． 2．如图1，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E； (1)如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为 ． (3)如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又＝＝，求的值（用含有a，b，c的代数式表示） (4)如图，∠BAC＝90°，AB＝11，AC＝14．点P从B点出发沿B－A－C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C－A－B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可） 3．（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 4．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    题型二：全等三角形-动点问题 5．如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 6．如图，已知中，，，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，与是否全等，请说明理由． ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇． 7．如图，已知中，，点D为的中点． (1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度 (2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出： ①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？ ②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 题型三：倍长中线模型 8．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是（    ）． A．SSS    B．SAS    C． AAS    D．ASA (2)AD的取值范围是（    ）． A．    B．    C．     D． (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所