8.1.1 变量的相关关系　课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

我们已学习了： 单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画等知识与方法，如： 用直方图描述样本数据的分布规律 用均值刻画样本数据的集中趋势 用方差刻画样本数据的离散程度…… 在现实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系，如： 成年子女身高和父母身高之间的关系； 青少年使用手机时长和近视的关系； 高中生数学成绩和物理成绩的关系； 某城市空气污染指数和燃油汽车数量的关系…… 推断变量之间关系的知识和方法 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.1 变量的相关关系 两个变量的关系 不相关：身高与视力 相关关系 函数关系：速度(x)与路程(y) 线性相关 非线性相关 现实世界中还存在这样的情况： 两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度. 如：人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能唯一确定他的体重值. 问题：该如何刻画这两个变量之间的相关关系呢？下面我们就来研究这个问题. 如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y. 然而，现实世界中还存在这样的情况: 两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度. 例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值. 那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢? 下面我们就来研究这个问题. 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 一个人的体重与他的身高有关系. 一般而言，个子高的人往往体重值较大， 个子矮的人往往体重值较小. 但身高并不是体重的唯一决定因素， 例如：生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间 以及遗传因素等也是影响体重的重要因素. 【子女身高y与父亲身高x之间的关系】一般来说，父亲的个子高(矮)，其子女的个子也会比较高(矮)；但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高. 【商品销售收入y与广告支出x之间的关系】一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高，但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与产品质量、居民收入等因素有关. 【空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系】一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升；但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素. 【粮食亩产量y与施肥量x之间的关系】在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高；但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响. 变量的相关关系与函数关系的区别和联系： 相同点：两者均是两个变量之间的关系； 不同点： ① 函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系； ② 函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系； ③ 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系. 对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断.“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足. 例如，不同经验的人对同一情形可能会得出不同结论，不是所有的情形都有经验可循等. 因此，在研究两个变量之间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断. 练习1 下列关系中，属于相关关系的是__________. ① 正方形的边长与面积之间的关系 ② 农作物的产量与施肥量之间的关系 ③ 出租车打车费与行驶的里程 ④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 ②④ 问题：在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示. 表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 思考：根据以上数据，你能直观刻画并推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法. 散点图 观察和推断：观察由人体的脂肪含量和