第8章 第1讲 直线的方程-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第八章平面解析几何回 第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程 课标亲求！ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 2,根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的儿种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一 般式). 对应客案P431 必备知识 夯实四基⊙ 知识梳理 ③若直线的方向向量为a=(x,y)(x≠0)，则直 线的斜率k=图 L直线的倾斜角与斜率 (3)直线的法向量的定义 (1)直线的倾斜角 般地，如果表示非零向量"的有向线段所在直 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如 线与直线1回，则称向量v为直线1的一 果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点 个四 ,记作v⊥l.一条直线的方向向量 按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的四 与法向量互相回 正角记为0，则称0为这条直线的☑ 3.直线方程的五种形式 ;倾斜角的取值范围是☒ 名称 方程 适用范围 (2)斜率公式 点斜式回 不含直线x=x ①一般地，如果直线1的倾斜角为0，则当0≠90 不含垂直于x轴的 时，称k=国为直线1的斜率：当0=90 斜截式图 直线 时，称直线（的斜率不存在. ②若A(x,y),B(x·y,)是直线1上两个不同 y-1=一车国 不含直线x=1和 两点式为一y:一 的点，则当x≠x时，直线【的斜举为k=回 直线y=出 :当x=x2时，直线1的斜率不存在. 截距式任十名= 不含垂直于坐标轴 2.直线的方向向量、法向量 和过原点的直线 (1)直线的方向向量的定义 平面直角坐标系内 一般地，如果表示非零向量▣的有向线段所在的 般式 的直线都适用 直线与直线1固 ,则称向量a为直 线1的一个方向向量，记作a∥l. 常用结论 (2)直线方向向量的有关结论 1.“斜率变化分两段，90°是分界线： ①如果A(x1,y1),B(x2·y)是直线1上两个不 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”， 2.“截距”是直线与坐标物交，点的坐标值，它可正， 同的点，则AB=(x一xy一y)是直线1的一 可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注 个方向向量。 意过原点的特殊情况是否满足题意。 ②如果直线1的斜率为k,则回 是直线！ 3.直线Ax十By十C=0(A十B≠0)的一个法向量 的一个方向向量. v=(A,B),一个方向向量a=(一B,A). 155型 国高考一轮总复习·数学·RJB 诊断自测 易错自纠 思考辨析 4.(不理解倾斜角和斜束致规)下列命题中正确的 是 () 1.判断（在括号内打“√”或“×”） A,若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tna (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的 B.若直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a 位置 ( ) C.平行于x轴的直线的倾斜角为180 (2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率 D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角 为tana. ( 为90 (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等， 5.(搞混倾斜角和斜率关系改误)已知两点A(1, ( 2),B(2,1),直线1过点P(0,一1)且与线段 (4)截距可以为负值。 AB有交点，则直线1的倾斜角的取值范围为 教材衍化 2.(教材改编题)过两点A(5,y),B(3,一1)的直线 的倾斜角是135°，则y等于 A[] A.2 B.-2 C.3 D.-3 a[o,]U[受，] 3.(教材改编题)经过点(1,2)，且倾斜角为45的直 线方程是 r c.[o.]) A.y=x-3 B.y-2=x-1 D[开，)u(受] C.y=-(x-3) D.y=-(x+3) 提升能力 考点剖析⊙ 对应咨案P431 考点1 直线的倾斜角和斜率（师生共研） [例11)若A(-2,3),B3,-2).C(分m）三点 冬变式训练 1.若图中的直线41,2，山的斜率分别为k,k,k 共线，则m 则 () A. C.-2 D.2 (2)已知A(3,1),B(1,2),若直线x+ay-2=0 与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围 是 A.k<k<k B.k<k<k A.(-∞，-10U(2,+∞） C.k<k<k D.k<k< B(-12) 2.已知直线l的方程为r sin a十5y一1=0，a∈R, 则直线（的倾斜角范围是 () C.(-o∞，-2)U(1,+∞) D.(-2,1) A(o,]U[号) 感悟方法 B.[o.) (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法。 C(o,晋u(爱x (2)领斜角和斜率范圆求法：①图形观察（数形 结合)：②充分利用函数k=tana的单调性. D.[o.) ®156 第八章平面解析几何回 考点2 求直线的方程（师生共研） [例2](1)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0), ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线 B(4,0),且第三个顶点在第四象限，则BC边所 方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求 在的直线方程是 出待定系数，即得所求直线方程， (②)已知直线1的斜率为，且与坐标轴所假成 (2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注 意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截 的三角形的周长是30，则直线1的方程为 距式方程，使用时耍注意分类讨论思想的运用， 冬变式训练 感悟方法 L已知直线1与x轴y轴所围成的面积为子，则1的 (1)求直线方程一般有以下两种方法： 方程可以是 ,(答案不唯一，写出一个 ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式， 即可) 然后直接写出其方程： 2.过点(1,2)，且在x轴与y轴上的截距的绝对值 相等的直线方程是 考点3 直线方程的综合应用（师生共研） [例3]已知直线1过点M(2,1),且分别与x轴的 感悟方法 正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点，O为原 1,含有参数的直线方程可看作直线系方程，这 点，当△AOB面积最小时，求直线1的方程. 时要能够整理成过定点的直线系，能够看出 “动中有定”.若直线的方程为y=k(x一1)十 2,则直线过定，点(1,2). 2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直 线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求 得多边形面积 3.求参数值或范围，注意点在直线上，则点的坐 【探究发散】 标适合直线的方程，再结合函数的单调性或 1.在本例条件下，当OA+OB取最小值时，求 基本不等式求解 直线（的方程， 冬变式训练 已知直线l:(2+a).x十(a-1)y-3a=0在x轴 上的截距的取值范围是（一3,3），则其斜率的取 值范围是 () 2.本例中，当MA|·|MB取得最小值时，求直线 1的方程. A-1<<号 且>1或<号 C>或长1 D.>或K- 请完成《课时检测训练46 157型取 PC上一点M,连接MD,MB,且DM⊥AC,又AC⊥BD, BD∩DM=D,所以AC⊥平面BDM,则点Q的轨迹是线段 得 y=-3. 3.B 解析因为所求直线的倾斜角为45°,所以所求直线的斜 率k=tan45°=1,所以直线方程为y-2=x-1.故A,C,D 错误. BM. 以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过 点 O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系. 4.D 解析 对于A,当a=时，直线的斜率不存在，故A不 普≠a.故正确；对于B,当a=—工时，斜率为-1,倾斜角为： B不正确；对于C,平行于x轴的直线的倾斜角为0°,故C不 正确；对于 D,若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 90°是正确的. 则O(0,0,0),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0), p(竖，-号·1)·C(-√3.0.0),DA=(√3.0.0),DP= (竖号，1),Pc-(-35.2,-1),Bb-(0,-2.0). 设D-DP+PM-DP+a PC-(÷·)+ 5.C 解析 如图所示，直线 PA的斜率km=二2#+=-1,直 线 PB的斜率km-2=6-1. a(-35.2.-1),o≤a≤1, 则D应=(竖-32号+x,1-a). 因为OA⊥DM,所以可A·D=0,解得A=号， ty B 0 x P 所以DM=(0,号，号),BM=Bb+DM=(0,-2.0)+ A^ (0.号音)=(0.-告音), 所以1B01=√(号)+(鲁)-2F 由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率k∈ [-1,1], [0.F]U(-x).,即点Q所形成的轨 25迹长度为： 因此直线l的倾斜角的取值范围是 [提升能力 考点剖析] 考点 1 [典例2]AB 解析对于 A,由BC// D? C? [例1](1)A 解析 由于A(-2,3),B(3,-2),C(三，m)三点 .解得m=去.共线，则 AD,可得 BC?//平面AD,C,则点P到 平面AD?C的距离不变，由△AD,C的 面积为定值，可知点 P在直线 BC?上 运动时，三棱锥 A-D,PC的体积不变， 故 A 正确； BA?g fPycb A B (2)A 解析 直线x+ay-2=0过点C(2,0), ,A=2=2=-2,kw=3=2-1,对于 B,若点 P是平面A?B?C?D,上到点D和C;距离相等 的点， 画出图象如下图所示 yt 则P点的轨迹是平面A,BCD,与平面 A,B,C,D,的交线 A?D?,故B正确； B2 A. 1 对于C,直线 AP与DC所成角即为∠PAB,当P与C,重 合时，∠PAB最大，且 tan∠PAB=√2,所以∠PAB<李， 故C错误； C. O| 21 3 由于直线x+ay-2=0与线段AB没有公共点， 当a=0时，直线x=2与线段AB有公共点，不符合题意， -÷当a≠0时，直线x+ay-2=0的斜率为 根据图象可知一 音，故D对于 D,当P与C?重合时，AP与D?C所成的角为- 错误.故选 AB. 第八章 平面解析几何 的取值范围是(-2,0)U(0,1), 所以a的取值范围是(-心，-DU(号，+~). 第1讲 直线的方程 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 [变式训练] 1最小2]倾斜角[3(0,π)4tan asY2—y 1.D 解析 直线l?的倾斜角a?是钝角，故k<0. 直线l?与l?的倾斜角a?与a?均为锐角，且α?>a?,所以O< k?<k?,因此k?<k?<k?.故选 D. x?-x? 四平行成重合 R(1,)因÷9垂直 0法向量 四垂直 2y-y?=k(x-x?)3y=kx+b 2.B 解析 由直线l的方程为xsinα+√3y-1=0, y=-,即直线1的符率k=-F。所以4(x?≠x?,y?≠y?) Ax+By+C=0(A2+B2≠0)诊断自测 1.(1)√ (2)× (3)×(4)√ 又-l≤sina≤1, 所以一唇<A<. 又直线的倾斜角的取值范围为(0,π),2.D 解析 因为斜率k=tan135°=-1,所以k=5-=-1, ·431· 高考一轮总复习·数学·RJB 由正切函数的性质可得，直线 l的倾斜 角范 围为 当且仅当-4k=—云，即k=-号!时，等号成立. 故直线L的方程为y-1=-号(x-2),即x+2y-4=0. [0.晋]u(x). 考点 2 [例2](1)√3x-y-4√3=0 解析 如图所示：由C作x轴的 垂线交x轴于D点，则D为AB的中点， 方法二：设直线1.☆+方=1,且a>0,b>0, 2+≠=1,则1=2+÷≥因为直线l过点M(2,1),所以- ,故 ab≥82 ab ty A D B /4 ÷×ab=÷×8=4,当且仅当2一方故 Som的最小值为 =2!时取等号， C 即xc=2,yc=-2tan 60°=-2√3,∴C(2,-2√3), ∴BC边所在的直线方程是y==2S一(x-4),即y= 4+兰=1,即x+2y-此时a=4,b=2,故直线l的方程为 4=0.√3(x-4)=√3x-4√3,即√3x-y-4√3=0. [探究发散](2)5x-12y+60=0或5x-12y-60=0 音，可设直线(的方程为y=音解析 由直线l的斜率为· 1.解 由本例方法二知，2+÷=1,a>0,b>0, +b. 所以|OA|+1OB|=a+b=(a+b)·(2+方)=3+F+ 2≥3+2/, x=-Fb.令x=0,得y=b;令y=0,得 .由题意得|b|+ |-So|+√6+(-b)=30, ÷161+16l+号16|=30,∴b=±5. y=zx±5,∴所求直线l的方程为 即5x-12y+60=0或5x-12y-60=0. 当且仅当a=2+√2,b=1+√2时等号成立， 所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为x+√2y- 2-√2=0. 2.解 方法一：由本例方法一知A(*,0),B(O,1-2k)(k [变式训练] <0). 1.x+2y-1=0(答案不唯一) 所以|MAI·|MBI=√是+1·√A+4=2×杆 =2[(-k)+C-]≥4. 当且仅当-k=-, ÷解析 若直线l与x轴、y轴所围成的面积为- ,则只需满 足直线l在x轴、y轴上的截距之积的绝对值为· 即可，则 去，周中字-1·直线l在x轴、y轴上的截距可以为1和 12 ,即k=-1时取等号. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 方法二：由本例方法二知A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,≥+即x+2y-1=0. 2.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0 ÷=1.解析 若该直线过原点，设直线的方程为y=kx,则k=2,故 直线的方程为 y=2x; 所以|MAl·|MB|=|MA|·|MB|=-MA·MB=-(a- 若该直线不过原点，设直线的方程为一+☆=1或a+二 2,-1)·(-2,b-1) =2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)(2+÷)-5=+2=1,解得a=3或+=1,又直线过点(1,2),所以- 二。-1,解得a=-1.所以直线的方程为- 2(+方)≥4,子+号=1或二 +y=1,即x+y-3=0或x-y+1=0. 当且仅当a=b=3时取等号，此时直线l的方程为x+y-3 考点 3 =0. [例3]解 方法一：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0), [变式训练] 则A(2-云·0),B(O,1-2k), D 解析已知直线l:(2+a)x+(a-1)y-3a=0,所以(x+y -3)a+2x-y=0 S?=×(1-2k)×(2-÷)= →12-520-1-2所以直线l过点A(1,2), [4+(-4k)+(-÷)]>÷×4+4)=4, 由题知，在x轴上的截距取值范围是(-3,3), 高考一轮总复习·数学·RJB ·432· 二--1.年3 考点 2所以直线过点(-3,0),(3,0)时的斜率分别为· ,如图： [例1](1)号 解析 |AC|=√52+22=√29,12 设 AC所在直线方程为y=kx+b,把点A,C的坐标代入得 号解得5:412 A ∴直线AC的方程为y=x+2,即2x-5y+10=0, ∴点B到直线AC的距离d: 3×2+3×5+101 31 √5?+22 √29 S=÷Ac·d=÷×√20× (+2-2=0 10 2 4.53 所以k>合或k<-1. 第2讲 两条直线的位置关系 [必备知识 夯实四基] (2)(-去，号) 解析 由题意可得 高解得 ∴1+2k>0且<0∴-2<<2 知识梳理 交点 ②无解 ③无数个 ④相交 ⑤平行 Gk,k?=-1 7k?≠k?8√(x?-x?)2+(y?-y?)29√x2+ym 四- (2a-x?,2b-y?) 诊断自测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ k,=tan 30°=云∴k=-√3.2.B 解析 (3)2x-y+4=0或2x-y-6=0解析 设直线l?:y=2x+b,将直线l?与直线l?化为一般 式可得l?:2x-y-1=0,l?:2x-y+b=0,故它们之间的距3.B 解析 由题设可得d=9+1=3,结合a>0可得a= T#tL-6.离为-2,故选 B. 4.D 解析 直线ax+2y+6=0斜率必存在， 故两直线平行，则-2=-,即a2-a-2=0,解得a=2 解得b=4或b=-6,故直线l?的方程为2x-y+4=0或 2x-y-6=0. [变式训练]或一1, 1.D 解析由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,则直线方 2+3程为6x+2y+1=0,即3x+y+÷=0,则距离是⊥√32+12 =7 当a=2时，两直线重合，∴a=-1. 5.D 解析 将直线3x+2y-1=0化为6x+4y-2=0, 2#则这两条平行直线间的距离为- [提升能力 考点剖析] 考点 1 2.B 解析 解法一：(1)A(—2,-4),B(1,5)两点位于直线l: -(-a)1.A 解析因为l?//l?,所以 ax+y+1=0同一侧，即直线AB平行于直线l:ax+y+1= 解得a=-1. -a==2=1-3,即a=-3;0,所以 2.B 解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0 (2)A(-2,-4),B(1,5)两点位于直线l:ax+y+1=0的两垂直， 侧，所以直线l过线段AB的中点，线段 AB的中点坐标为则2×3+(m+1)×(一m)=0,解得m=2或m=-3, 所以“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线 3x-my (=21.=42),即(一，去)⋯-÷a+÷+1=0,解 -2=0垂直”的充分不必要条件. 得a=3. 3.D 解析 由题意知，ka=3一二“5一去，则km- 综上实数a的值为a=±3. =2,故 CD所在的直线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5 上共解法二：由点到直线的距离公式得=0. 4.A 解析 若直线l过原点，则直线l在两坐标轴上的截距 即|2a+3|=|a+6|,亦即2a+3=±(a+6),解得a=±3. 相等，不合乎题意，设直线1的方程为a+T+2=1,其中a≠ 3.D 解析 直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0, 则此直线过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点. 亭市号 (32-- ==1.由 解得0且a≠-1,则直线l的斜率为 因此所求定点为(3,-1). 考点3 解得a=-号， 喜章 l-|[所以直线l的方程为 [例2]x+4y-4=0 解析 设l?与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知，点A关于点P的对称点B(—a,2a—6)在l?上， 10y-6=0. 代入l?的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4, ·433· 高考一轮总复习·数学·RJB