第7章 第4讲 空间直线、平面的垂直-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

EF//BC. (2)在PB上取一点Q,使得BQ-÷BP,即点Q为PB上靠近 点B的三等分点.在△PAB中，因为M,Q分别为AB,PB的 三等分点，可得AF-5· 因为 EF±平面 BCHG,BCC平面BCHG,所以EF//平面 BCHG. 又因为G,E分别为A,B,,AB的中点，AB=A,B, 所以 A?G业EB,所以四边形 A?EBG是平行四边形，所以 A?E//GB. ,所以 MQ//PA.因为 MQ±平面 PAD,PAC平面 PAD,所以MQ//平面 PAD.又由(1)知MN //平面 PAD,且 MN∩MQ=M,MN,MQC平面 MNQ,所以 平面MNQ//平面PAD,即当点Q为PB上靠近点B的三等分 点时，平面MNQ//平面 PAD. 因为A?E±平面BCHG,GBC平面BCHG, 所以 A?E//平面 BCHG. 又因为A,E∩EF=E,所以平面 EFA?//平面 BCHG. P [发散探究] 证明 如图所示，连接 HD,A?B,BC,因为 D为BC?的中点，H为A?C?的中点，所以 HD//A?B.又因为HD±平面 A?B,BA, H NA? C? Ex CD Bf A BA?BC平面 A?B?BA,所以 HD //平 面 A?B,BA. M/D A c 第4讲 空间直线、平面的垂直 [变式训练] [必备知识 夯实四基]B 证明设 H 是 DG 的中点，连 接 知识梳理 NH,MH, l⊥m ②任意直线 ③两条相交 ④平行 ⑤两个半平面 6任取 7垂直于 8垂线 9交线由于M是CF的中点，所以MH//CD. 由于 MH±平面CDE,CDC平面CDE, 所以 MH//平面 CDE. N E由于N是EG的中点，所以NH//DE, 由于NH≠平面CDE,DEC平面CDE, 所以 NH//平面CDE. G F 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)√ H M 2.C 解析 根据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条 相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；根据线面垂 直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不 是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确. D- >c B由于 NH∩MH=H,NH,MHC平 A 面 MNH, 3.C 解析∵AD⊥BC,BD⊥AD,BC∩BD=B,BCC平面 所以平面MNH//平面CDE, 由于 MNC平面MNH,所以MN//平面CDE. BCD,BDC平面 BCD,∴AD⊥平面 BCD.∵ADC平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 BCD,故选 C. 考点 3 4.D 解析 对于①,四边形中的两条边可能平行，如平行四 边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于②,若直线垂直正 六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③,圆 的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④,三角形的 任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线 与平面垂直的是③④. [114]解 存在点 P,使得CP/平面ADE,且器-二. 过点C作CF//AE交AB于点F,则AF:FB=1:3. 过点F作FP//AD交DB于点P,连接PC, 则 DP:PB=1:3. D 5.A 解析 根据面面垂直的判定定理，可知若lCa,l⊥β,则 a⊥β成立，满足充分性；反之，若a⊥β,lCa,则l与β的位置 关系不确定，即不满足必要性，所以“l⊥β”是“a⊥β”的充分不 必要条件，故选 A. P C G- A* BF [提升能力 考点剖析] 又因为CF//AE,AEC平面ADE,CF±平面ADE, 所以CF//平面ADE,同理FP//平面ADE. 又因为CF∩PF=F,CFC平面CFP,PFC平面CFP, 所以平面CFP//平面ADE.因为CPC平面CFP, 所以CP//平面ADE.所以在 BD上存在点P, 使得CP/平面ADE,且器一一. 考点 1 [例1]证明 (1)在四棱锥 P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD,CDC平面 ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC. 而 AEC平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. [变式训练] 解 (1)证明：过点N作NE//CD,交PD于点E,连接AE,因 为N为PC的三等分点，可得NE=子CD.又因为M为AB的 三等分点，可得AM=号AB.因为AB//CD且AB=CD,所以 AM//NE且AM=NE,所以四边形AMNE为平行四边形，所 以MN//AE.又由 MN±平面 PAD,AEC平面 PAD,所以 MN//平面 PAD. 由(1)知 AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PDC平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD,且 PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD,而 PDC平面 PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE. 高考一轮总复习·数学·RJB ·422· [变式训练] [变式训练] 证明 如图所示，取CD中点O,连接 PO, ∵△PCD是正三角形，O为CD 中点， 证明 (1)∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形， ∴△ABD为等边三角形.又G为AD的中点， ∴BG⊥AD. D< ∴PO|CD 0 又平面 PCD⊥平面 ABCD,且平面 PCD ∩平面ABCD=CD, ∴PO⊥平面 ABCD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD,BGC平面ABCD,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD, ∴BG⊥平面 PAD. C B (2)∵PA=PD,G为AD的中点，∴PG⊥AD. 又 BG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PGC平面PBG, ∴AD⊥平面 PBG.又∵PBC平面 PBG,∴AD⊥PB. 又 BCC平面 ABCD,∴PO⊥BC. ∵BC⊥PD,且PO,PDC平面 PCD,PO∩PD=P, ∴BC⊥平面 PCD. 考点 3 考点 2 [例4]证明 (1)取 DE的中点N,连接MN,AN. 在△EDC中，M,N分别为EC,ED的中点， 所以MN//CD,且MN=÷CD. 由已知AB//CD,AB=÷CD, [例2]证明 因为 PD⊥平面ABCD,CD,ADC平面ABCD, 所以 PD⊥CD,PD⊥AD. 又CD⊥AD,AD∩PD=D,AD,PDC平面AQPD, 所以CD⊥平面 AQPD.又PQC平面 AQPD, 所以 CD⊥PQ. ,所以 MN//AB,且 MN 在梯形 ADPQ中，PD⊥AD,所以梯形 ADPQ为直角 梯形. =AB, 所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM//AN. 又因为 ANC平面 ADEF,且 BM丈平面 ADEF,所以 BM//平面 ADEF. 又AD=AQ,所以△AQD为等腰直角三角形， 则 DQ=√2AQ,∠PDQ=∠DQA=45°. (2)在矩形ADEF中，ED⊥AD. 因为 PD=2AQ,取 DP的中点E,连接 QE,则四边形 AQED为正方形， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 EQ=EP,则∠EPQ=45°, 所以 ED⊥平面 ABCD. 因为 BCC平面 ABCD, 所以 ED⊥BC. 所以△DQP为等腰直角三角形， C BK 在直角梯形 ABCD中，AB=AD=2,CD=4,可得 BC= 2√2.FD P 在△BCD中，BD=BC=2√2,CD=4, 因为 BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD. 因为 BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 所以 BC⊥平面 BDE. A 则 PQ⊥DQ,由DQ∩CD=D,DQ,CDC平面 DCQ, 所以 PQ⊥平面 DCQ.又 PQC平面 PQC, 所以平面 PQC⊥平面 DCQ. E [例3]证明 如图， MF N;.,B D. C BAX F [变式训练]A对 证明 (1)∵EF//平面ACD,平面CEF∩平面ACD=l,EFC 平面CEF,∴EF//l.CD 又平面ABD∩平面ACD=AD,EFC平面ABD,∴EF//AD, ∴AD//l. 连接 AF,由题意知△ABC为等腰三角形， 而F为BC的中点，所以AF⊥BC. (2)∵AD⊥BD,EF//AD,∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F是BD的中点，∴CF⊥BD. 又因为平面 AEDC⊥平面 ABC,且∠ACD=90°,平面 AEDC∩平面ABC=AC,DCC平面 AEDC,所以 DC⊥平 面 ABC. 又 EF∩CF=F,EF,CFC平面 EFC,∴BD⊥平面 EFC. ∵BDC平面 BCD,∴平面 EFC⊥平面 BCD. 而 AFC平面ABC,所以AF⊥DC. 第5讲 空间向量及其应用 而BC∩DC=C,BC,DCC平面 BCD,所以 AF⊥平 面 BCD. [必备知识 夯实四基] 知识梳理 连接 PF,则 PF//DC,PF=÷DC, 大小 ②方向 ③相等 ④相同 ⑤相同或者相反 xa+yb [7xa+yb+xc 8√xí+yi+2 回方向向量 四法向量 v·v?=0 v·n=0 图n·n?=0而AE//DC,AE=÷DC,所以AE//PF且AE=PF, 所以四边形AFPE是平行四边形，因此 EP//AF,故 EP⊥ 平面 BCD. 诊断自测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ ·423 · 高考一轮总复习·数学·RJB 国高考一轮总复习·数学，RJB 第4讲 空间直线、平面的垂直 课标要求」 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直关系. 必备知识 夯实四基 [5对应答素P422 知识梳理 (2)范周：[0，受引 1.直线与平面垂直 3.二面角 (1)定义：一般地，如果直线1与平面a相交于一 (1)定义：从一条直线出发的圆 所 点A,且对平面a内任意一条过点A的直线m, 组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的 都有团 ,则称直线【与平面a垂直（或1是 棱，这两个半平面称为二面角的面， 平面a的一条垂线，a是直线l的一个垂面)，记 (2)二面角的平面角：在二面角r(3的棱上圆 作La,其中A为垂足， 一点O,以O为垂足，分别在半平面a和3 (2)直线与平面垂直的充要条件：直线1与平面a 内作☑ 棱的射线OA和OB,则射线OA 内的☑ 都垂直.符号表示为：l⊥a白 和OB所成的角称为二面角的平面角： HmCa,l⊥m, (3)二面角的范围：[0，x]. (3)判定定理与性质定理 4.平面与平面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 (1)平面与平面垂直的定义 如果一条直线与 一般地，如果两个平面a与3所成角的大小为 一个平面内的图 如果mCa,n 90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥3. 判 直线 a,m∩n≠⑦，1 (2)判定定理与性质定理 理 垂直，则这条直 ⊥m,1⊥，则 文字语言 图形表示 符号表示 线与这个平面 l⊥a 如果一个平面 垂直 经过另外一个 如果两条直线垂 判定 平面的一条圆 性 直于同一个平 l⊥a 定理 则这 l∥m 面，那么这两条 n⊥a 两个平面互相 直线回 垂直 如果两个平面 2.直线和平面所成的角 互相垂直，那 (1)定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成 如果a⊥3，a 么在一个平面 性质 ∩B=m,AO 的锐角称为这条斜线与平面所成的角，一条直线 内垂直于它们 定理 二a,AOLn, 垂直于平面，则它们所成的角是直角：一条直线 回 的直 /0 和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0 线垂直于另一 则AOLa 的角. 个平面 盛140 第七章立体几何回 常用结论 C,直线I与平面α内的两条相交直线垂直 1.三个重要结论 D.直线1与平面a内的无数条直线垂直 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平而，则另 3.(教村改编翅)如图所示，在三棱维ABCD中， 一条也垂直于这个平面. AD⊥BC,BD⊥AD,且△BCD是锐角三角形，那 (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这 么必有 个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个 A.平面ABD⊥平面ADC 重要方法). B.平面ABD⊥平面ABC (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 C.平面ADC⊥平面BCD 2.三种垂直关系的转化 D.平面ABC⊥平面BCD 线线鲁直州龙定见线面垂直割定定县面面垂直 易错自纠 性质 性质定理 4.(意略线面垂直的秦件致误)下列平面中的两条 诊断自测 直线与直线a垂直，可以保证直线a与平面垂直 思考辨析 的是 () 1.判断（在括号内打“√”或“×”） ①四边形的两边：②正六边形的两边：③圆的两 (1)垂直于同一个平面的两个平面平行，( 条直径：④三角形的两边. (2)如果平面a不垂直于平面3，那么平面a内一 A.①② B.①③ 定不存在直线垂直于平面3. ( C.②③ D.③④ (3)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个 5.(面面垂直判定思路不明效误)已知a,3是两个 平面. 不同的平面，直线1Ca,则“L⊥3”是“a⊥3”的 教材衍化 2.(教村改编题)下列说法中可以判断直线！⊥平面 A.充分不必要条件 a的是 ( B.必要不充分条件 A,直线1与平面a内的一条直线垂直 C.充要条件 B.直线I与平面α内的两条直线垂直 D.既不充分也不必要条件 提升能力 考点剖析 对应答案P422 考点 线面垂直的判定与性质（师生共研） [例1门如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底 (2)PD⊥平面ABE. 面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°， PA=AB=BC,E是PC的中点.证明： (1)CD⊥AE: 141图 回高考一轮总复习·数学·JB 感悟方法 冬变式训练 判定线面垂直的四种方法 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯 形，BC∥AD,等边△PCD所在的平面垂直于底 方法一一利川线面乖直的判定定理 面ABCD,BC⊥PD,求证：BC⊥平面PCD. 方法二一 利川“两平行践小的一条与平乖直 则以一条也与这个平面菲直” 方法三 利用一条爱评于两平行平中的 一个则与分一个平也渐古” 方法回一（利用的亚片的性质定现 考点2 面面垂直的判定与性质（多维探究） 角度1面面垂直的判定 角度2面面垂直的性质 [例2]如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥ [例3]如图，四棱锥B-AEDC中，平面AEDC⊥ 平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=号PD.证 平面ABC,F为BC的中点，P为BD的中点， 且AE∥DC,∠ACD=90°，DC=AC=AB= 明：平面PQC⊥平面DCQ. 2AE.证明：EP⊥平面BCD. 感悟方法 证明面面垂直的方法 感悟方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平 面面垂直的性质定理的应用思路 面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直 在空间图形中，如果已知条件中有面面垂直，一 的问题转化为证明平面角为直角的问题。 般需要作辅助线，考虑应用面面垂直的性质定理 (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明 得到线面垂直，继而可得线线垂直.在运用面面 其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进 垂直的性质定理时，找准两平面的交线是关键 而把问题转化为证明线线垂直加以解决， ®142 第七章立体几何回 多变式训练多 (1)BG⊥平面PAD: 如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四 (2)AD⊥PB. 边形ABCD是∠DAB=60的菱形，PA=PD, 平面PAD垂直于底面ABCD,G为AD边的中 点.求证： 考点3 平行、垂直关系的综合应用（师生共研） [例4]如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平 令变式训练令 面互相垂直，AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= 如图，四面体ABCD中，E是AB的中点，点F 2,CD=4,M为CE的中点. 在BD上，EF∥平面ACD,平面CEF与平面 求证：(1)BM∥平面ADEF: ACD的交线为l,CB=CD,AD⊥BD,证明： (2)BC⊥平面BDE. (1)AD∥1： (2)平面BCD⊥平面CEF. D四 感悟方法 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行 线线、线面、面面垂直间的转化，求解时应注意 垂直的性质及判定的综合应用，如果有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线 的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化 为线线垂直， 请完成《课时检测训练42 143型