第7章 第3讲 空间直线、平面的平行-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学，RJB 乡变式训练 2.(2023·四川巴中·一模)在正方体ABCD- 1.(2023·四川南克·三模)已知圆柱的母线长为 A1BCD中，M.N分别为AC,CB,的中点， 则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 2,底面的半径为2，四边形ABCD为其轴截面， 若点E为下底面圆弧AB的中点，则异面直线 DE与AB所成的角为 A.10 B号 c号 D.30 10 A B.8 c D. 请完成《课时检测训练40》 第3讲 空间直线、平面的平行 课标要求 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 的平行关系，并加以证明. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P421国 知识梳理 2.平面与平面平行 1.直线与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 (1)直线与平面平行的定义 如果平面a与平面3没有公共点，则a∥B. 直线1与平面a没有公共点，则称直线1与平面a (2)判定定理与性质定理 平行 文字语 图形表示 符号表示 (2)判定定理与性质定理 如果一个平面 文字语言 图形表示 符号表示 如果1Ca, 内有两条国 mCa,l∩m 如果平面外的 判定 直线分别 一条直线和回 定理平行于另一个 ≠0，l∥B B 的一 如果l丈a, m∥a,则a 判定 平面，那么这 定理 条直线平行 mCa,l∥ ∥e 两个平面平行 那么这条直线 m,则l∥a 和这个平面 两个平面平 平行 行，则其中 a∥3，aca 性质个平面内的直 →a∥B 如果一条直线 线固 于 B 与一个平面平 另一个平面 行，且经过这 条直线的平面 如果1∥a,l 如果两个平行 性质 与这个平面四 Ca,a∩B 平面同时与第 如果a∥3， 定理 ,那么 m,则I∥m 性质 三个平面相 any=1.8 这条直线就与 定理 交，那么它们 B ∩y=m,则 两平面的☒ 的四 1∥m 平行 平行 136 第七章立体几何回 常用结论 A.m与n平行 B.m与n平行或相交 1.平行关系中的三个重要结论 C.m与n异面或相交 D.m与n平行或异面 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥ 3.(教村改编题)设a,B为两个不同的平面，则a∥日 a,a⊥3，则a∥3 的充要条件是 (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若a∥B, A.a内有无数条直线与3平行 3∥y,则a∥￥ B.a,3垂直于同一平面 (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥ C.a,3平行于同一条直线 a,b⊥a,则a∥b. D.a内的任何直线都与3平行 2.三种平行关系的转化 易错自纠 件质定到 4,(判断平行关系泰件不明致)设有直线m,n和 定定理 判定逆理 平面a,3,下列命题中正确的命题是 () 线线平行 线面平行 面面平行 性项定理 性质 A.若a∥B,mCa,则m∥3 诊断自测 B.若mCa,nCa,m∥3，n∥3，则a∥3 C.若m∥a,u∥a,则m∥n 思考辨析 D.若m∥n,mCa,则n∥a 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 5.(线面平行性质不请致误)如图，在四棱锥 (1)若直线1平行于平面a内的无数条直线，则 P-ABCD中，M,N分别为AC,PC上的点，且 l∥a. ( MN∥平面PAD,则 () (2)若直线l在平面a外，则l∥a. ( (3)若直线l∥b,直线bCa,则l∥a, (4)若直线l∥b,直线bCa,则直线l平行于平面 a内的无数条直线。 教材衍化 A.MN∥PD B.MN∥PA 2.(救材改编题)在空间中，直线m∥平面a,直线n C.MN∥AD D.以上均有可能 二平面a,则 ( [对应咨案P2口 提升能力 考点剖析⊙ 考点 直线与平面平行的判定与性质（多维探究） 角度1直线与平面平行的判定 [例1]如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF 所在的平面相交于AB,在AE,BD上各有一点 P,Q,且AP=DQ,求证：PQ∥平面BCE. 感悟方法 证明线面平行有两种常用方法 一是线面平行的判定定理： 二是先利用面面平行的判定定理证明面面平 行，再根据面面平行的性质证明线面平行. 137型 国高考一轮总复习·数学·RJB 角度2直线与平面平行的性质 令变式训练 [例2]如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面 在三棱柱ABC-A,BC,中，E,F分别是A,C, 为平行四边形EFGH,求证：CD∥平面 BC的中点.求证：CF∥平面ABE EFGH. 感悟方法 在应用线面平行的性质定理进行平行转化时， 一定要注意定理成立的条件，如：把线面平行转 化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平 面和已知平面相交，这时才有直线与交钱平行. 考点2 平面与平面平行的判定与性质（师生共研） [例3]如图所示，在三棱柱ABC 【发散探究】 ABC中，E,F,G,H分别是 在本例条件下，若D为BC,的中点，求证：HD∥ AB,AC,AB,AC的中点. 平面ABBA. 求证： (1)B,C,H,G四点共面： (2)平面EFA,∥平面BCHG. 盛138 第七章立体几何回 感悟方法 冬变式训练号 1.判定面面平行的主要方法 如图，AD∥BC,EG∥AD,CD∥FG,若M为CF (1)利用面面平行的判定定理： 的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平 (2)线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平 面CDE. 面平行). 2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，构造与两平面相交的第三个 平面，交线平行 (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条 直线与另一个平面平行. 提醒利用面面平行的判定定理证明两平面 平行，需要说明是在一个平面内的两条直线 是相交直线. 考点3 平行关系中的探索性问题（师生共研） [例4]如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC, 感悟方法 ∠BAD=90°，AB=4,AD=2,DC=3,点E在 解决探索性问题的方法 CD上，且DE-2.将△ADE沿AE折起，使得 (1)根据探索性问题的设问，假设其存在，然后 平面ADE⊥平面ABCE(如图2)，G为AE的 在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理 中点. 的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设。 (2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出 发“要使…成立”“只需使…成立” 冬变式训练 如图，已知P是平行四边 树1 2 问题：在线段BD上是否存在点P,使得CP∥ 形ABCD所在平面外一 点，M,N分别是AB,PC 平面ADE?若存在，求邵的值：若不存在，请 的三等分点(M靠近B,V 说明理由。 靠近C). (1)求证：MN∥平面PAD: (2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平 面PAD. 请完成《课时检测训练41》 139型∵AB//CD,∴DE与AB所成角即为∠EDC或其补角. ∵E为圆弧AB的中点，∴AE=BE.又AB=2√2,∴AE= [提升能力 考点剖析] 考点 1 [例1]证明方法一：如图所示，作 PM// AB交BE于M,作QN//AB交BC 于 A DBE=2. 又∵AD=BC=2,∴DE=CE=2√2,∴△DEC为等边三角 形∴∠EDC=晋. Ω F(N,连接 MN, P NBj因为正方形 ABCD和正方形 ABEF 有公共边AB,所以AE=BD.又AP= 位 DQ,所以 PE=QB.又 PM//AB// E 器一是一部一，所以 C ∴DE与AB所成角为了. 2.D 解析 如图，取 AB的中点G,连接 D C QN,所以M NG,MN,GC,M,N分别为A?C?,C?B, 的中点，所以MN//AB,MN=≥AB, 所以 MN//AG,MN=AG,所以四边形 AGNM是平行四边形，所以AM//NG, BA 又 AB业DC,所以PM业QN,所以四边形 PMNQ为平行四 边形，D. c 所以 PQ//MN.又MNC平面BCE,PQ文平面BCE, 所以 PQ//平面 BCE.A G B 方法二：如图，在平面ABEF内，过点 A P作 PM//BE交AB于点 M,连接 p所以∠GNC(或其补角)就是异面直线 AM与CN 所成 的角. MQF(QM,则 PM//平面 BCE.因为 PM// P/ 设正方体ABCD-A,B?C?D?的棱长为2,则A,M=√2,所以 AM=√AA?+A?M=√22+(√Z)2=√6=GN. 又CN=GC=√12+2=√5, BL=M#-BE,所以 又 AE=BD,AP =DQ,所以 PE=BQ, E C 一路，所以A-·所以听以 在 △NGC中，cos∠GNC-GN+NC-GC 2GN·NC 所以 MQ//AD.又AD//BC,所以MQ//BC,所以MQ//平 面 BCE.(√6)2+(5)°-(5)_√0, ,所以异面直线 AM与CN2×√6×√5 所成角的会核值为 又因为 PM∩MQ=M,所以平面 PMQ//平面 BCE. 又因为 PQC平面 PMQ,所以 PQ//平面 BCE. [例2]证明 因为四边形 EFGH为平行四边形， 第3讲 空间直线、平面的平行 所以 EF//GH. [必备知识 夯实四基] 因为GHC平面 BCD,EF±平面 BCD, 所以 EF//平面 BCD.知识梳理 平面内 ②相交 ③交线 ④相交 ⑤平行 ⑥交线 诊断自测 又因为 EFC平面ACD,且平面ACD∩平面BCD=CD, 所以 EF//CD. 又因为CD±平面 EFGH,EFC平面EFGH,所以CD//平 面 EFGH. 1.(1)×(2)× (3)× (4)√ 2.D 解析 直线m//面a,直线nC平面a,可知，m与n平行 或异面. [变式训练] 证明 取 AB的中点G,连接EG,FG,3.D 解析 A选项，a内有无数条直线与β平行，a与β可能 相交，A选项错误.B选项，a,β垂直于同一平面，α与β可能 相交，B选项错误.C选项，a,β平行于同一条直线，α与β可 能相交，C选项错误.D选项，α内的任何直线都与β平行，则 α//β,D选项正确. EA C B cA 4.A 解析 A选项，由面面平行的定义可知直线m和平面β 无公共点，即m//β,A正确；B选项，缺少m,n相交，B错误； C选项，在正方体ABCD-A,B?C?D?中，A?B?//平面ABCD, A?D?//平面ABCD,但A,B,∩A,D?=A?,C错误； G F B 因为 E,F,G分别是A?C,BC,AB的中点， 所以 FG//AC,且FG=号AC,EC=÷A,C;. D? C? 因为AC//A?C,且AC=A?C,所以FG//EC,且FG=EC, 所以四边形 FGEC,为平行四边形，所以CF//EG. 又因为 EGC平面 ABE,CF±平面ABE,所以 CF//平 面 ABE. A B cD 考点 2 A B [例3]证明 (1)因为G,H分别是A?B?,A?C?的中点， 所以GH//B?C.又B?C?//BC,所以GH//BC,所以B,C,D选项，直线n可能在平面α内，D错误. 5.B 解析 ∵MN//平面PAD,MNC平面 PAC,平面 PAD ∩平面PAC=PA,∴MN//PA. H,G四点共面. (2)在△ABC中，E,F分别为AB,AC的中点，所以 高考一轮总复习·数学·RJB·421· EF//BC. (2)在PB上取一点Q,使得BQ-÷BP,即点Q为PB上靠近 点B的三等分点.在△PAB中，因为M,Q分别为AB,PB的 三等分点，可得AF-5· 因为 EF±平面 BCHG,BCC平面BCHG,所以EF//平面 BCHG. 又因为G,E分别为A,B,,AB的中点，AB=A,B, 所以 A?G业EB,所以四边形 A?EBG是平行四边形，所以 A?E//GB. ,所以 MQ//PA.因为 MQ±平面 PAD,PAC平面 PAD,所以MQ//平面 PAD.又由(1)知MN //平面 PAD,且 MN∩MQ=M,MN,MQC平面 MNQ,所以 平面MNQ//平面PAD,即当点Q为PB上靠近点B的三等分 点时，平面MNQ//平面 PAD. 因为A?E±平面BCHG,GBC平面BCHG, 所以 A?E//平面 BCHG. 又因为A,E∩EF=E,所以平面 EFA?//平面 BCHG. P [发散探究] 证明 如图所示，连接 HD,A?B,BC,因为 D为BC?的中点，H为A?C?的中点，所以 HD//A?B.又因为HD±平面 A?B,BA, H NA? C? Ex CD Bf A BA?BC平面 A?B?BA,所以 HD //平 面 A?B,BA. M/D A c 第4讲 空间直线、平面的垂直 [变式训练] [必备知识 夯实四基]B 证明设 H 是 DG 的中点，连 接 知识梳理 NH,MH, l⊥m ②任意直线 ③两条相交 ④平行 ⑤两个半平面 6任取 7垂直于 8垂线 9交线由于M是CF的中点，所以MH//CD. 由于 MH±平面CDE,CDC平面CDE, 所以 MH//平面 CDE. N E由于N是EG的中点，所以NH//DE, 由于NH≠平面CDE,DEC平面CDE, 所以 NH//平面CDE. G F 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)√ H M 2.C 解析 根据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条 相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；根据线面垂 直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不 是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确. D- >c B由于 NH∩MH=H,NH,MHC平 A 面 MNH, 3.C 解析∵AD⊥BC,BD⊥AD,BC∩BD=B,BCC平面 所以平面MNH//平面CDE, 由于 MNC平面MNH,所以MN//平面CDE. BCD,BDC平面 BCD,∴AD⊥平面 BCD.∵ADC平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 BCD,故选 C. 考点 3 4.D 解析 对于①,四边形中的两条边可能平行，如平行四 边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于②,若直线垂直正 六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③,圆 的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④,三角形的 任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线 与平面垂直的是③④. [114]解 存在点 P,使得CP/平面ADE,且器-二. 过点C作CF//AE交AB于点F,则AF:FB=1:3. 过点F作FP//AD交DB于点P,连接PC, 则 DP:PB=1:3. D 5.A 解析 根据面面垂直的判定定理，可知若lCa,l⊥β,则 a⊥β成立，满足充分性；反之，若a⊥β,lCa,则l与β的位置 关系不确定，即不满足必要性，所以“l⊥β”是“a⊥β”的充分不 必要条件，故选 A. P C G- A* BF [提升能力 考点剖析] 又因为CF//AE,AEC平面ADE,CF±平面ADE, 所以CF//平面ADE,同理FP//平面ADE. 又因为CF∩PF=F,CFC平面CFP,PFC平面CFP, 所以平面CFP//平面ADE.因为CPC平面CFP, 所以CP//平面ADE.所以在 BD上存在点P, 使得CP/平面ADE,且器一一. 考点 1 [例1]证明 (1)在四棱锥 P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD,CDC平面 ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC. 而 AEC平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. [变式训练] 解 (1)证明：过点N作NE//CD,交PD于点E,连接AE,因 为N为PC的三等分点，可得NE=子CD.又因为M为AB的 三等分点，可得AM=号AB.因为AB//CD且AB=CD,所以 AM//NE且AM=NE,所以四边形AMNE为平行四边形，所 以MN//AE.又由 MN±平面 PAD,AEC平面 PAD,所以 MN//平面 PAD. 由(1)知 AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PDC平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD,且 PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD,而 PDC平面 PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE. 高考一轮总复习·数学·RJB ·422·