第7章 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJB 考点3 与球有关的切、接问题（多维探究） 角度1外接球 选准最佳角度作出戴面（要使这个 [例6](2022·全国乙卷)已知球O的半径为1， 截面尽可能多的包含球、几何体的 四棱雏的顶点为O,底面的四个顶点均在球O 作戴面 各种元素以及体现这些元素间的关 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 系)，达到空间问题平面化的目的 ( 求半径， 根据作出戴面中的几何元素，建立 A号 C 3 2 下结论 关于球半径的方程，并求解 角度2内切球 冬变式训练 [例7](2022·山东烟台·一 1.(2022·山东济宁·三模)若一个正六棱柱既有 模)如图，三棱锥VABC中， 外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内 VA⊥底面ABC,∠BAC 切球的表面积的比值为 (） 90°，AB=AC=AV=2,则该 A.2:1 B.3:2 C.7:3 D.7:4 三棱锥的内切球和外接球的 2.(2022·山东青岛·二模)《九章算术》中记录的 半径之比为 “羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧 A.(2-3):1 B.(2/3-3):1 道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面 C.(5-1):3 D.(3-1):2 ABCD是正方形，EF∥平面ABCD,EF=2,其 余棱长都为1，侧这个几何体的外接球的体积为 感悟方法 () 球的“切”“接”问题的求解策略 解决与球有关的切、接问题，其通法是作戴面， 将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其 解题的思雏流程是： 2 如果是内切球，则球心到切点的距 A. B.3 C82 D.4 定球心 离相等且为半径，如果是外接球，则 球心到接点的距离相等且为半径 请完成《课时检测训练39》 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求 1,借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点，直线、平面的位置关 系的定义， 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 盛132 第七章立体几何回 [对应客案P41们 必备知识 夯实四基⊙ 知识梳理 (2)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的 两边分别对应回 ,并且方向相同，那么这 1.平面的基本事实与推论 两个角回 (1)平面的基本事实（也称为公理） 4.直线与直线所成的角 基本事实1：经过四 一条直线上的3个点， (1)一般地，如果a,b是空间中的两条异面直线， 有且只有一个平面，也可简单说成：四 过空间中☑ ,分别作与a,b图 的3点确定一个平面， 的直线a',b,则a',b所成角的大小，称为 基本事实2：如果一条直线上的③ 在一 异面直线4与b所成角的大小 个平面内，那么这条直线在这个平面内。 基本事实3：如果两个不重合的平面有国 (2)范围：(o,] 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 常用结论 直线 1.异面直线的判定 (2)平面的基本事实的推论 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不 ①推论1：经过一条直线与直线外回 ,有 过该，点的直线是异面直线 且只有一个平面. 2.几个唯一性结论 ②推论2：经过两条回 直线，有且只有一 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 个平面. 平行： ③推论3：经过两条□ 直线，有且只有一 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线 个平面 垂直： 2.空间点，直线，平面之间的位置关系 (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面 直线与直线 直线与平面 平面与平面 垂直。 图形 a 诊断自测 语言 /E 符号 思考辨析 a∥b l∥a a∥a 语言 1.判断（在括号内打“√”或“×”） (1)两个平面a,3有一个公共点A,就说a,3相交 图形 于过A点的任意一条直线】 () 相 语言 (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个 平面 () 符号 anb=A mNa-A an8=1 (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平 语言 面重合 () 图形 (4)若直线a不平行于平面a,且a亡a,则a内的 语言 所有直线与a异面. 系 符号 a,b是异面直线 ICa 教材衍化 语言 2.(教村改编题)下列命题正确的是 3.平行直线的传递性、等角定理 A.三点确定一个平面 (1)平行直线的传递性：平行于同一条直线的两 B.一条直线和一个点确定一个平面 条直线互相图 ,用符号可表示为：如果 C.两条直线确定一个平面 a∥b,a∥c,则回 D.梯形可确定一个平面 133型 国高考一轮总复习·数学·RJB 3.(教材改编题)两个平面能把空间分成几个部分 B.若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直 线都是异面直线 A.2或3 B.3或4 C.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 C.3 D.2或4 D.若直线与平面平行，则这条直线与平面内的 直线平行 易错自纠 5,(异面直线所成的角概念理解不请致娱)正方体 4.(对于直线、平面位置关系考虑不企面致错)下列 ABCD-A,B,CD中，P,Q分别为棱B,C,BB 命题正确的是 ( 的中点，则异面直线PQ与BD所成角的大小为 A.若直线上有无数个点不在平面内，则直线和 () 平面平行 A.30 B.45 C.60 D.90° 提升能力 考点剖析 应答案P42 考点小 基本事实的应用（师生共研） 例1们如图所示，已知在正方 冬变式训练 体ABCD-A,BCD中， 1.(多选)如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别 E,F分别为D,C,CB的 是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( ) 中点，AC∩BD=P,AC∩ EF=Q. 求证：(1)D,B,F,E四点共面： (2)若AC交平面DBFE于R点，则P,Q,R三 点共线 2.如图，在下列四个正方休中，A,B,C,D分别为所 在棱的中点，则在这四个正方体中，A,B,C,D四 点共面的是 感悟方法 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再 3.如图所示，平面a∩平面=l,A 证其余的线（或点）在这个平面内. ∈a,B∈a.AB∩l=D.C∈B,C (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线， 庄I,则平面ABC与平面B的交 /8 再证其他各点都在这条直线上， 线是 (3)证明线共，点问题的常用方法：先证其中两条 A.直线AC B.直线AB 直线交于一点，再证其他直线经过该点 C.直线CD D.直线BC 134 第七章立体几何回 考点2 空间位置关系的判断（师生共研） [例2](1)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中， 感悟方法2 E,F分别为BC,BB,的中点，则下列直线中与 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平 直线EF相交的是 行和垂直的判定，异面直线的判定可采用直接 法或反证法：平行直线的判定可利用三角形（梯 形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面 面平行的性质定理：垂直关系的判定往往利用 线面垂直或面面垂直的性质来解决。 A.直线AA B.直线A,B 令变式训练》 C.直线A,D D.直线B,C 1.下列说法中，错误的是 (2)(多选)如图，在正方体ABCD-AB,CD A.平行于同一直线的两个平面平行 中，M,N,P分别是C,D,BC,AD的中点，下 B.平行于同一平面的两个平面平行 列结论正确的是 ( ) C.一个平面与两个平行平面相交，则交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则 必与另一个相交 2.已知m,n是两条不同直线，a,B是两个不同平 面，下列命题中正确的是 () A.AP与CM是异面直线 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.AP,CM,DD相交于一点 B.若a∩B=n,m∥n,则m∥a且m∥月 C.MN∥BD C.若a∥B,m∥a,ng,则m∥n D.MN∥平面BB,D,D D.若m∥a,m⊥3，则a⊥3 考点3 异面直线所成的角（师生共研） 例3](1)(2021·高考金国卷乙)在正方体 A号 R 4 c D. ABCD-A,B,CD,中，P为B,D的中点，则直 3 线PB与AD,所成的角为 ( 感悟方法 A.号 B骨 C. D. 6 1,综合法求异面直线所成角的步聚： (2)(2022·河北沧州·二 (1)作：通过作平行线得到相交直线。 模)《几何原本》是古希腊数 (2)证：证明所作角（或其补角）为异面直线所 学家欧几里得的一部不朽 成的角 之作，其第十一卷中称轴截 (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出 面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图， 若AB,CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且 的角是锐角或直角，则它就是要求的角：如 果求出的角是钝角，则它的补角才是要求 ∠AOD=,则异面直线SA与BD所成角的 的角。 余弦值为 2,向量法：利用向量的数量积求所成角的余弦值 135型 国高考一轮总复习·数学，RJB 乡变式训练 2.(2023·四川巴中·一模)在正方体ABCD- 1.(2023·四川南克·三模)已知圆柱的母线长为 A1BCD中，M.N分别为AC,CB,的中点， 则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 2,底面的半径为2，四边形ABCD为其轴截面， 若点E为下底面圆弧AB的中点，则异面直线 DE与AB所成的角为 A.10 B号 c号 D.30 10 A B.8 c D. 请完成《课时检测训练40》 第3讲 空间直线、平面的平行 课标要求 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 的平行关系，并加以证明. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P421国 知识梳理 2.平面与平面平行 1.直线与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 (1)直线与平面平行的定义 如果平面a与平面3没有公共点，则a∥B. 直线1与平面a没有公共点，则称直线1与平面a (2)判定定理与性质定理 平行 文字语 图形表示 符号表示 (2)判定定理与性质定理 如果一个平面 文字语言 图形表示 符号表示 如果1Ca, 内有两条国 mCa,l∩m 如果平面外的 判定 直线分别 一条直线和回 定理平行于另一个 ≠0，l∥B B 的一 如果l丈a, m∥a,则a 判定 平面，那么这 定理 条直线平行 mCa,l∥ ∥e 两个平面平行 那么这条直线 m,则l∥a 和这个平面 两个平面平 平行 行，则其中 a∥3，aca 性质个平面内的直 →a∥B 如果一条直线 线固 于 B 与一个平面平 另一个平面 行，且经过这 条直线的平面 如果1∥a,l 如果两个平行 性质 与这个平面四 Ca,a∩B 平面同时与第 如果a∥3， 定理 ,那么 m,则I∥m 性质 三个平面相 any=1.8 这条直线就与 定理 交，那么它们 B ∩y=m,则 两平面的☒ 的四 1∥m 平行 平行 1362. [变式训练]解析 如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分别为 1.C 解析 如图，O?,O?分别为底面中心， 0G,H,连接 DG,CH. O为O?O?的中点，D为AB的中点， o 设正六棱柱的底面边长为2,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱. E G HF 若正六棱柱有内切球，则 OO?=O?D= ?D' √3,即内切球的半径 r=√3, B OA2=00i+O,A2=7,即外接球的半径R=√7, 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2: 4πr2=R2:r2=7:3,故选 C. cb /M BA EG=号，依题意，三棱锥 E-ADG的高 ,直三棱柱 AGD- 2.B 解析 连接 AC,BD交于点M,取 EF的中点O,则 OM 上平面ABCD,取 BC的中点G,连接 FG,作GH⊥EF,垂足 BHC的高AB=1. 则AG=√AE-EG=√T-(÷)-唇 为 H,如图所示： MG一鲁，所以S.=÷×1取 AD的中点M,连接GM,则 x誓一厚. F 0 H F 0 c GM BA 所以 Vs面*=Vg-Axs+Vp-tc +VxaD-BHc =2Vg-Aoc + Vxm-mx=÷××÷×2+×1= 由题意可知，HF=去：FG=竖， 所以 HG=√FG-HF=竖，考点 3 [例6]C解析设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形 ABCD所在小圆半径为r,四棱锥的高为h, 所以OM=HG-F、AM-竖，,所以OA=√OM2+AMF= 设四边形ABCD对角线夹角为a,则Sumo=·AC·BD 1.又因为OE=1,所以OA=OB=OC=OD=OE=OF=1, 即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1, ·sin a≤去·AC·BD≤÷·2r·2r=2/(当且仅当四边 形 ABCD为正方形时，等号成立),即当四棱锥的顶点O到 底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值 为 2r2. V=3πR1=4×π×13所以这个几何体的外接球的体积为 -m 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 又r2+2=1,则V?-mn=号·2x·h=√F·2h <号√(++)-. 当且仅当F=2h,即A=雪：时等号成立，故选C. [必备知识 夯实四基] 知识梳理 不在 ②不共线 ③两个点 ④一个 ⑤一点 @相交 7平行 8平行 9b//c ⑩平行 团相等 任意一点 图平行或重合 [例7]C 解析 因为VA⊥底面ABC,AB,ACC底面ABC,所 以 VA⊥AB,VA⊥AC. 诊断自测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× 又因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC,而AB=AC=AV=2, 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶 点的长、宽、高， 2.D 解析 A.由于在一条直线上的三点不能确定一个平面， 所以该选项错误；B.一条直线和该直线外的一点可以确定一 个平面，所以该选项错误；C.两条异面直线不能确定一个平 面，所以该选项错误；D.梯形可确定一个平面，所以该选项 正确. 因此该三棱锥外接球的半径R=2√22+2°+2=√3,设 该三棱锥的内切球的半径为r, 因为∠BAC=90°,所以BC=√AB2+AC=√22+2= 3.B 解析 若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个 部分，2√2. 因为VA⊥AB,VA⊥AC,AB=AC=AV=2,所以VB=VC =√AV2+AB2=√22+22=2√2, 由三棱锥的体积公式可得 若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个部分， 故两个平面能把空间分成3个或4个部分. 4.C 解析 对于A,若直线上有无数个点不在平面内，则直线 可能与平面相交，故 A错误；对于 B,若直线与平面相交，则 直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故 B错误；对于C,根据基本事实2可知，若直线与平面有两个 公共点，则直线在平面内，故C正确；对于 D,若直线与平面 平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误. 3×÷×÷×2×2·r+÷×÷×2√E×2√E×=÷ ×÷×2×2×2>r=33F, r÷R=3-5:√S=(/B-1):3.故选C.所以 ·419 高考一轮总复习·数学·RJB 5.C 解析 连接 BC,DC,∵P,Q分别为棱B,C?,BB,的 中点， D G BA QD c A" B ∴PQ//BC,故∠DBC?或其补角即为所求，由正方体的性 质可知△BDC,为等边三角形， ∴∠DBC?=60°,即异面直线 PQ与BD 所成角的大小 为 60°, [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1]证明 (1)∵EF是△D,B?C的中位线， ∴EF//B,D. 在正方体AC?中，B,D?//BD,∴EF//BD. ∴EF,BD确定一个平面，即 D,B,F,E四点共面. (2)在正方体 AC?中，设平面A?ACC?为α,平面 BDEF 为β, ∵Q∈A,C,∴Q∈a.又Q∈EF,∴Q∈β, 则Q是a与β的公共点，同理，P是a与β的公共点，∴a∩β =PQ. 又 A,C∩β=R,∴R∈A,C. ∴R∈a,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. [变式训练] 1.ABC 解析 对于A,PS//QR,故 P,Q,R,S四点共面；同 理，B,C图中四点也共面；D中四点不共面. 2.D 解析由正方体性质，选项 A,B,C中，A,B,C,D四点 显然不共面. 对于D选项，如下图取 E,F为正方体所在棱的中点，依次连 接A,D,C,E,B,F, D A 因为 M,N分别是C?D?,BC的中点，所以ON//D,M// CD,ON=D,M=-CD 则四边形MNOD,为平行四边形，所以MN//OD. 因为 MN±平面 BD,D,OD?C平面 BD,D,所以MN//平 面 BD,D,C不正确，D正确. [变式训练] 1.A 解析 平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相 交，A错；平行于同一平面的两个平面平行，B正确；由面面 平行的性质定理知一个平面与两个平行平面相交，交线平 行，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个 相交，CD正确.故选 A. 2.D 解析 对A,若m//a,n//a,则m,n可能平行，相交，异 面，故A错误；对B,若a∩β=n,m//n,则可能mCa,故B错 误；对C,若a//β,m//a,n//β,则m,n可能平行，相交，异面， 故C错误；对D,若m//a,则存在nCa,且m//n,又m⊥β,则 n⊥β,所以a⊥β,故 D正确，故选 D. 考点 3 [例3](1)D 解析如图，连接C?P,因 为ABCD-A?B?C?D?是正方体，且P 为B?D?的中点，所以CP⊥B,D?.又 C?P⊥BB?,BB?∩B,D?=B?,BB?, B?D?C平面B,BP,所以C?P⊥平面 4 ,D CBK DA户 B? C? B,BP.又 BPC平面 B,BP,所以C?P ⊥BP.连接BC,则AD?//BC,所以∠PBC?或其补角为 直线 PB与AD?所成的角.设正方体ABCD-A?B,CD?的 棱长为2,则在直角三角形C?PB中，C?P=≥B,D?=√2, BC?=2、Z,sin ∠PBC;=BC一÷,所以∠PBC;=晋，故 选 D. (2)C 解析 如图，连接 AD,BC,AC,SC. S F C EB 易知 ADCEBF为平面正六边形，所以A,B,C,D四点共面. 3.C 解析由题意知，D∈l,lCβ,所以D∈β.又因为D∈ AB,所以 D∈平面 ABC, 所以点 D在平面ABC 与平面β的交线上. 又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC 的交线上， 所以平面ABC∩平面β=CD. 考点 2 [例2](1)D 解析根据异面直线的概念可知直线 AA?, A,B?,A,D?都和直线 EF为异面直线.因为直线 B,C和 EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线 B,C 和直线 EF相交. (2)BD 解析连接 MP,AC(图略),因为MP//AC,MP≠ AC,所以 AP与CM是相交直线. 又面A?ADD?∩面C?CDD?=DD?, 所以AP,CM,DD,相交于一点，则A不正确，B正确. 令 AC∩BD=O,连接OD?,ON. A* B D 因为O为AB,CD中点，且AB=CD,所以四边形ADBC为 矩形， 所以 DB//AC,所以∠SAC或其补角为异面直线 SA 与 BD 所成的角. 设圆O的半径为1,则SA=SC=√2. 因为∠AOD=季，所以∠ADO=号. 在直角△DAC中，CD=2,得AC=√3. 所以cs ∠SAC-M@)或一. 厚所以异面直线 SA与BD所成角的余弦值为 [变式训练] 1.D 解析 连接AE,BE,CE,DE, DK C A B 高考一轮总复习·数学·RJB ·420 · ∵AB//CD,∴DE与AB所成角即为∠EDC或其补角. ∵E为圆弧AB的中点，∴AE=BE.又AB=2√2,∴AE= [提升能力 考点剖析] 考点 1 [例1]证明方法一：如图所示，作 PM// AB交BE于M,作QN//AB交BC 于 A DBE=2. 又∵AD=BC=2,∴DE=CE=2√2,∴△DEC为等边三角 形∴∠EDC=晋. Ω F(N,连接 MN, P NBj因为正方形 ABCD和正方形 ABEF 有公共边AB,所以AE=BD.又AP= 位 DQ,所以 PE=QB.又 PM//AB// E 器一是一部一，所以 C ∴DE与AB所成角为了. 2.D 解析 如图，取 AB的中点G,连接 D C QN,所以M NG,MN,GC,M,N分别为A?C?,C?B, 的中点，所以MN//AB,MN=≥AB, 所以 MN//AG,MN=AG,所以四边形 AGNM是平行四边形，所以AM//NG, BA 又 AB业DC,所以PM业QN,所以四边形 PMNQ为平行四 边形，D. c 所以 PQ//MN.又MNC平面BCE,PQ文平面BCE, 所以 PQ//平面 BCE.A G B 方法二：如图，在平面ABEF内，过点 A P作 PM//BE交AB于点 M,连接 p所以∠GNC(或其补角)就是异面直线 AM与CN 所成 的角. MQF(QM,则 PM//平面 BCE.因为 PM// P/ 设正方体ABCD-A,B?C?D?的棱长为2,则A,M=√2,所以 AM=√AA?+A?M=√22+(√Z)2=√6=GN. 又CN=GC=√12+2=√5, BL=M#-BE,所以 又 AE=BD,AP =DQ,所以 PE=BQ, E C 一路，所以A-·所以听以 在 △NGC中，cos∠GNC-GN+NC-GC 2GN·NC 所以 MQ//AD.又AD//BC,所以MQ//BC,所以MQ//平 面 BCE.(√6)2+(5)°-(5)_√0, ,所以异面直线 AM与CN2×√6×√5 所成角的会核值为 又因为 PM∩MQ=M,所以平面 PMQ//平面 BCE. 又因为 PQC平面 PMQ,所以 PQ//平面 BCE. [例2]证明 因为四边形 EFGH为平行四边形， 第3讲 空间直线、平面的平行 所以 EF//GH. [必备知识 夯实四基] 因为GHC平面 BCD,EF±平面 BCD, 所以 EF//平面 BCD.知识梳理 平面内 ②相交 ③交线 ④相交 ⑤平行 ⑥交线 诊断自测 又因为 EFC平面ACD,且平面ACD∩平面BCD=CD, 所以 EF//CD. 又因为CD±平面 EFGH,EFC平面EFGH,所以CD//平 面 EFGH. 1.(1)×(2)× (3)× (4)√ 2.D 解析 直线m//面a,直线nC平面a,可知，m与n平行 或异面. [变式训练] 证明 取 AB的中点G,连接EG,FG,3.D 解析 A选项，a内有无数条直线与β平行，a与β可能 相交，A选项错误.B选项，a,β垂直于同一平面，α与β可能 相交，B选项错误.C选项，a,β平行于同一条直线，α与β可 能相交，C选项错误.D选项，α内的任何直线都与β平行，则 α//β,D选项正确. EA C B cA 4.A 解析 A选项，由面面平行的定义可知直线m和平面β 无公共点，即m//β,A正确；B选项，缺少m,n相交，B错误； C选项，在正方体ABCD-A,B?C?D?中，A?B?//平面ABCD, A?D?//平面ABCD,但A,B,∩A,D?=A?,C错误； G F B 因为 E,F,G分别是A?C,BC,AB的中点， 所以 FG//AC,且FG=号AC,EC=÷A,C;. D? C? 因为AC//A?C,且AC=A?C,所以FG//EC,且FG=EC, 所以四边形 FGEC,为平行四边形，所以CF//EG. 又因为 EGC平面 ABE,CF±平面ABE,所以 CF//平 面 ABE. A B cD 考点 2 A B [例3]证明 (1)因为G,H分别是A?B?,A?C?的中点， 所以GH//B?C.又B?C?//BC,所以GH//BC,所以B,C,D选项，直线n可能在平面α内，D错误. 5.B 解析 ∵MN//平面PAD,MNC平面 PAC,平面 PAD ∩平面PAC=PA,∴MN//PA. H,G四点共面. (2)在△ABC中，E,F分别为AB,AC的中点，所以 高考一轮总复习·数学·RJB·421·