第6章 数列 易错小练-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

见此图标服微信/抖音扫码 添加智能学习伙伴,突破一轮复习难点。 第六章 数列 易错点1 忽略的取值致错 数列a.)的通项公式. 【例1】已知数列a.)的前n项和为S.三n十1,数列 [解]当n=l时,a=l;当n2时,由aa:a..a =n^,可得aaa...a.三(n-1),两式相除可得 (1.n-1. [错解]因为S-”+1,S-(n-1)+1. nr 二 ((1)2,nN. _ 两式相减,得a。=S.-S..-2n-1,所以b.= 2. .十1 易错点2 忽略数列中为0的项致误 【例2】设等差数列a.的前n项和为S.,公差为d [错因分析]由已知中a.)的前n项和S.一”+1; 且满足a0,S=S,则当S. 最大时, [Sn-1. 结合a.一 分别讨论n2时与n-1 S-S.n2. [错解]由S. -S,得11a+11x10d-18a十 时的通项公式,并由n一1时,a:的值不满足n2时 2 的通项公式,故要将数列(a。)的通项公式写成分段 18x17.,即a.--14d.由a>o可知d<o,解不等式 函数的形式. 2 a.-a+(n-Dd0. [正解]当n=1时,a=S-2.因为S=n+1. (-14d+(n-Da>0, 组 卸 得 la-a+ndo. S..=(n-1)*+1(n2),两式相减,得a.-S- -14d+n0. $-2n-1(n>2). 14 n 15.又nEN,故当n-15时,S.最大 所以当n2时,a.=2n-1.又a=2不符合上式,所 [错因分析]由于a。=0,所以S.=S,当n-14 2,-1. 以a= 或n一15时,S.最大,错解中忽略了数列中为0 l2n-1,n2. 的项. 2一1 [正解1] 由S.s.,得 1la1x10-18a+ 18×17.,即ai=-14d.由a>0可知d<o,解不等式 2 2一1. a-a+(n-Ddo. -14d+(n-Dd0. 组{ [答案] 得 a-a十no. -14d+nd<0. $4 n 15.又nEN ,故当n-14或n=15时,S$ 错击 最大。 [S-1. (1)已知S.求a.的常用方法是利用a.一 转 [正解2] 由S.=S。,可得a=-14d,所以S= 1s-Sn2 化为关于a.的关系式,再求通项公式 (2)S.与a.关系问题的求解思路 N.并结合S.对应的二次函数的图象知,当”-14 方向1:利用a.=S.一S(n2)转化为只含S.,S 或n=15时,S.最大 的关系式,再求解. 方向2:利用S.一S,-a.(n2)转化为只含a.,a。l [正解3] 由S-S,得a+a+a+a+a 的关系式,再求解, +a+a-0,即7a-0,a-0.由a0可知d 观固练习 <0,故当n-14或n-15时,S.最大 [答案]14或15 已知数列a.)满足aa,a...a.=n(néN),求 24 见此图标咽微信/抖者扫码 添加智能学习伙伴,突破一轮复习难点。 易错击) aa0,所以aa。-5. 1.求等差数列前,项和的最值的方法 易错点击) (1)二次函数法;用求二次函数最值的方法(配方法)求 在等比数列中,若公比小于0,则各项正负间隔出现,奇数 其前n项和的最值,但要注意nCN. 项的符号是一致的,偶数项的符号是一致的,据此可知,偶 (2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n的值 数个奇数项的积为正数,偶数个偶数项的积也为正数, 使S.取得最值. 固练习 ta.0. (3)项的符号法:当a>0,d<0时,满足 的项 la.0 设数列a.)的前n项和为S..已知a.=1,a.-2 数n,使S.取最大值;当a.<0.d>0时,满足 且a=3S-S+3,nN. .. (1)证明:a.-3a.: 的项数n,使S.取最小值,即正项变负项处 (2)求a.. 最大,负项变正项处最小,若有零项,则使S.取最值 [解](1)由条件,对任意nEN,有a。。-3S.一 的:有两个. S十3. 2.在等差数列a.)中,若a0,S.一S(q),则(1)p十 因而对任意nN,n2,有a=3S-S.+3. 为偶数→当n-&时,S.最大;(2)p十为奇数→当 两式相减,得a。-a.-3a.-a,,即a:-3a。, n2. --或1时,s.最大. 又a=1,a-2,所以a-3$ -S+3=3a -(+ 巩固练习 a.)+3-3a. 等差数列(a.)中,a.-2,S。-15,记B.-a+a 故对一切nN,a-3a。. 十a+...十a,则当n 时,B.取得最大值 (2)由(1)知,a.:0,所以-3.于是数列(a -:)是 。 [解析]在等差数列a。中,a.-2,S。-15 .$o=10a109d-15. 首项a一1,公比为3的等比数列;数列a。)是首项 2 a.-2,公比为3的等比数列. 即20+45d-15,45d--5. 所以a.-3,a-2x3”. --1,a.-2-1(n-1)-- (3.n是奇数, 所以a.= 2×3,n是偶数. 由a。一一 易错点4 忽略等比数列中公比为1致错 时,a.<0;当n<19时,a.0,因此在a,a,a,... 【例4】在数列a.)中,若a.=a-a”(a子0),求 a中,当n4时,a0;当n5时,a<0 a。的前n项和S. 故当n一4时,B.取得最大值 [错解]S. =a。十a:十a:十.十a. [答案]4 -(a+a'十...+a”)-(a+a+..+a*) 易错点3 忽视奇数项或偶数项的符号 l-a 【例3】在等比数列a.)中,aa:aa。-25,求a。 1- [错因分析] 的值. 错解在进行等比数列求和时忽略了 因为a.)为等比数列,所以aa。一aa。 [错解] 对公比是否等于1的讨论;此外,还需讨论相关数 列是否为等比数列. aa,由aa.a:a-25可得(aa。)-25,故aa- 士5. [正解]当a-1时,a=0,所以S.-0; 错解中忽略了在等比数列中,奇数项 [错因分析] 当a--1时,a*-1,所以S.-a1-(-1)” 2 或偶数项的符号相同这一隐含条件 当a士1时,s-a(1-^”)a(1-a) [正解]因为a.)为等比数列,所以a,a。一aa。 1- 1一 -a. (0.-1. 由aaaa-25可得(aa。)-25,故aa-士5. {1-(-D 综上,S.-{ 2= 一.--1. 又在等比数列中,所有的奇数项的符号相同,所以 25- a(1-a”")a(1-a") 1- 1一□{ ,士1 见此图标匪微信/抖音扫码 添加智能学习伙伴,突破一轮复习难点。 易错 当=1时,由③得T.-1+2+3+..+(n-1)+n 1.特别注意q-1时,S.一no:这一特殊情况. n(n十D)”十n 2.由a三a.,a0,并不能立即断言{a.)为等比数列, 还要证a.0. 综上,数列6.)的前n项和 -1, 3.在运用等比数列的前:项和公式时,必须注意对u-1 2 与1分类讨论,防止因忽略q-1这一特殊情形而导 T.一 1一 _n 致解题失误. (1-)1-0且≠1. 4.S..S.一S..S.一S.未必成等比数列(例如;当公比q 易错点5 忽略函数与数列的区别致误 一1且n为偶数时,S.S.一S..S一S.不成等比数列 【例5】已知在数列(a.)中,a.=-2n+25n+30(n 当-1或o=-1且n为奇数时,S,S.一S,S . EN).则数列中最大项的值是 ) S.成等比数列).但等式(S一S)-S.·(S.一S.)总 A.107 B.108 成立 D.109 固练习 [错解] 选C.由题意可知a.=-2n{+25n+30- 2(n-25)+108,所以数列(ao)中的最大项 为10 和为s,且s.+S-aa1. (1)求a.)的通项公式; [正解] 由题意可知a。=-2n+25n十30= (2)若数列(。)满足b.一入a。,求b)的前”项和T。 2(2}+10 [解](1)因为S+S-a,① 由于nNv,故当取距离最近的正整数6时,取 所以当n2时,S+S=a,② ①-②,得a十a.-a-a, 得最大值108. 即a十a.=(a.十a.)(a-a.). .'.数列a.)中的最大值为a一108.故选B 因为(a.的各项均为正数,所以a十a.0且a0. [答案]B 所以a-a.= 错 由①知,S+S=xa,即2a+a=a,又因为a 利用函数单调性求解数列问题,要注意n的取值不是连续 1,所以a:-2,所以a-a- 过实数。 1. 固练习 烈{ C - 1 A.既有最大项,又有最小项 B.有最大项,无最小项 以一 C.无最大项,有最小项 (2)由(1)得a。-”,所以。-n·x, D.既无最大项,又无最小项 [解析]·2*-1024,211-2048, 所以T-1+2+3+..+(n-1)a”+n 1,③ '.根据指数函数单调性可知, T -+2+3+..十(n-1)”+n”,④ 1在1<n<10时为减数列且为负,在n> 2-2022 ③-④,得(l-a)T-1+++.+”-n. 11时也为减数列且为正, -”,解得T. 故数列最小项为第10项,最大项为第11项,故选A [答案]A 26