第6章 高考重点突破 数列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第六章数列回 （2)设么=2X3”-2,数列6.)的前”项和为 aa 感悟方法 S求证8<高 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问 题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项 和偶数项的首项、项数，公差（比）等，并且注意 把数列转化为等差，等比数列求解. 高考重点突破二数 列 课标采求！ 1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差，等比数列的综合问题. 2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题 提升能力 考点剖析。 对应答案P416 考点一数学文化与数列的实际应用 [例1](1)今年“五一”期间，北京十家重点公园举 行免费游园活动，北海公同免费开放一天，早晨 6时30分有2人进人公园，接下来的第一个30 分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内 感悟方法 有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16 数列应用问题常见模型 人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进 (1)等差模型：后一个量比前一个量增加（或减 去4人出来，…按照这种规律进行下去，到上午 少)的是同一个固定值， 11时30分公园内的人数是 (2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一 (2)在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其 个因定的非零常效 半，万世不竭”，蕴含了无限分割，等比数列的思 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项 想，体现了古人的智慧.如图，正方形ABCD的 之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应 边长为4，取正方形ABCD各边的中点E,F, 考虑a。与a.+1(或者相邻三项)之间的递推关 G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方 系，或者S。与S.+1(或者相邻三项)之间的递推 形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三个正方 形IJKL,依此方法一直继续下去，记第一个正 关系。 方形ABCD的面积为S:,第二个正方形EFGH 》变式训练g 的面积为S…,第n个正方形的面积为S。,则 1.(2023·云南西双版纳·二摸)《孙子算经》是我 前n个正方形的面积之和为 国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等 诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各 125图 国高考一轮总复习·数学·RJB 得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们 感悟方法为 分得的橘子数成公差为3的等差数列，问：5人 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等 各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的 差、等比数列项之间的关系，数列的求和主要是 人所得的橘子个数是 () 等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错 A.15 B.16 C.18 D.21 位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列 2.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力 的和，然后利用b,=1,d>0证明不等式成立. 介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个 另外本题在探求(a.}与{c,}的通项公式时，考 感染者平均传染的人数.R。一般由疾病的感染 查累加、累乘两种基本方法， 周期、感染者与其他人的接触频率，每次接触过 程中传染的概率决定，对于R,>1,而且死亡率 冬变式训练》 较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染 设{a.}是等差数列，前n项和为S。:(b.}是各项 源，切断传播途径，假设某种传染病的基本传染 均为正的等比数列，其前n项和为T,已知b,= 数R。=3,平均感染周期为7天（初始感染者传 1,b=b-2,b,=a,十a,b=a1+2a. 染R。个人为第一轮传染，经过一个周期后这R。 (1)求a.和T.: 个人每人再传染R个人为第二轮传染，)，那 (2)若S.+2T.=2a.十4b.,求正整数n的值. 么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大 约需要的天数为（参考数据：3=729,4”=1024） ) A.35 B.42 C.49 D.56 考点二等差，等比数列的综合运算 [例2](2023·滨州模拟)已知等差数列{a.)和等 比数列{bn}满足a,=2,b=4,a.=2log:b., n∈N (1)求数列{a.},{b}的通项公式： (2)设数列{a。}中不在数列{b.}中的项按从小 到大的顺序构成数列{c.},记数列{c.}的前n项 和为Sn,求Sm 126 第六章数列回 考点三数列与其他知识的交汇 感悟方法 角度1数列与不等式的交汇 数列与函数，不等式的综合问题关键在于通过 [例3】(2022·山东烟台·三模)已知数列{a.}的前 函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通 n项和为S4=号当≥2时.S=aS,-a 项或前”项和，再利用数列或数列对应的函数 (1)求S,: 解决最值、范围问题，通过放编进行不等式的证 明. (2)设数列 发}的前m项和为工，若江，≤ 冬变式训练 (n+9)·2恒成立，求A的取值范围. 已知数列a,,T。=aa:…a…且T=了工= 10'{(n+2)T为等差数列. 11 (1)求4，的通项公式： (2)若对任意正整数n,都有T,十T:十…+T.< m,求n的取值范围， 角度2数列与函数的交汇 [例4]已知在等比数列{an}中，首项a,=2,公比g >14是函数x)=号r-6r+32x的两 个极值点，则数列{a,}的前9项和是 请完成《课时检测训练38》 127®+1=÷×9、4-9, 由3?=243,3?=729,故得n≈6.又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6 ×7=42 天，故选 B.因此{azo-1+1}为以3为首项，9为公比的等比数列.将 a1=÷×g?-1代入①得a-1=9°,故(a-1}为以9 为首项，9为公比的等比数列. [例2]解 (1)设等差数列{a。}的公差为d,因为b?=4,所以a? =2log?b?=4, 所以d=a?-a?=2,所以a,=2+(n-1)×2=2n. (2)由(1)知a?-1=3*~-1,a?=3“+1,故a,=3"+(-1)”, 当n为奇数时，a+i-a=2×3“+2>2×3”-2; 当n为偶数时，a+i-a=2×3“-2=2×3“-2, 因此对任意n∈N',均有a+?-an≥2×3"-2, 则.=2202<=- 又a。=2log?b,即2n=2log?b,所以n=log?b,所以b,=2”. (2)由(1)得b,=2”=2·2”-1=a?-1,即b,是数列{a。}中的 第 2*-1项. 设数列{a,}的前n项和为P,数列{b,}的前n项和为Q,, 因为b,=a?6=ag?,b=a?/=a2s,当n=1时，S?= aa-÷<方 所以数列{cn}的前100项是由数列{a,}的前107项去掉数 列{b,}的前7项后构成的， 所以S⋯=Pm-Q,=107×(2+21)-2-2-11 302.当n≥2时，S,≤aa+(d-÷)+(-)+⋯+ (÷-+)-0-a+< [变式训练] 解 (1)设等比数列{b,}的公比为q(q>0), 高考重点突破二 由b?=1,b?=b?—2,可得q2-q-2=0,∴q=2, 提升能力考点剖析 ∴b,=2"-1. ∴T,=1=2-2°-1.[例1](1)4 039 解析设每个30分钟进去的人数构成数列{a,}, 则a?=2=2-0,a?=4-1,a?=8-2,a?=16-3,a?=32- 又设等差数列{a。}的公差为d,由b?=a?+a?,可得a?+3d=4; 由b?=a?+2a?,可得3a?+13d=16,∴a?=d=1,∴a=n.4,⋯,a?=2"一(n-1). (2)S,=n(“,由S.+2T=2a,+4b,有”"“2D+2设数列{a。}的前n项和为S,依题意，只需求 S?=(2-0)+(22-1)+(23-2)+⋯+(2-10) =(2+22+23+⋯+2)-(1+2+⋯+10) =29=22-121?=2?-2-55=2?-57=4039. (2"-1)=2n+2"+1, ∴n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍),故n的值为4. [例3]解 (1)当 n≥2时，S2=a,S—a,所以，S=(S-S) s.-(S.-S,),整理得SS=S-S,即-s= 侵}是以ξ-÷=2 (2)82(1-2) 解析 设第n个正方形的边长为a。,由题意 1.所以数列 为首项，1为公差的等差 a=√(5)+(告)-竖，且a=4,可得 =n+1,即S.=+1数列.所以·经为公比的等比数州，故数列(a?}是以4为首项，以 (2)由(1)知，号=(n+1)·2,所以T.=2·2+3·2+⋯+ n·2*-1+(n+1)·2”,①所以2T,=2·22+3·23+⋯+n S-(“)-2,且S,=4=16,所以 12所以数列{S,}是以16为首项，以- 为公比的等比数列， ·2"+(n+1)·2"+1,②①-②得，-T,=4+(22+23+⋯ +2")—(n+1)·2*+1,所以-T,=4+(22+23+⋯+2")- 16(1-2) 因此，前n 个正 方 形的 面积 之 和 为 1-2 (n+1)·2*+1=-n·2*+,所以T,=n·21,所以λT,≤ (u2+9)·2°,即an·2~1<(u2+9)·2,即λ<(“2t)= 世+动，因为告+动≥2√量·=3,当且仅当n=3时， 等号成立，所以λ≤3. f(a)=5x3-6x2+32x,得f(x)=x2[例4]1022 解析 由 32(1-2). [变式训练] 1.C 解析 设第一个人分到的橘子个数为a?,由题意得S?= 5a,+324×3=60,解得a?=6, 则a?=a?+(5-1)×3=6+12=18,故选C. -12x+32, f(x)=÷x2-6x2+32x的两个极又因为a?,a?是函数 值点， 2.B 解析 感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约 需要n轮传染， 所以a?,a?是函数f(x)=x2-12x+32的两个零点， (ata-2故 则每轮新增感染人数为R”,经过n轮传染，总共感染人数 为：1+R+R+⋯+R-|C .3=1000, 因为q>1,所以a?=4,a?=8,故q=2,则前9项和S?=2(1-2") 20-2=1022, 1-2 ∵R?=3,∴当感染人数增加到1000人时， 化简得3”=667, 高考一轮总复习·数学·RJB ·416· [变式训练 [提升能力考点剖析] 考点 1解 (1)由题可知3 1 =1,5T,=2,:等差数列 的(n+2)T。 公差d-3=-号， [例1](1)CD 解析 A中，当顶点在底面的投影是正多边形 的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平 行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆 的一部分，B不正确；C 正确；如图，正方体 ABCD- A?B?C?D,中的三棱锥C?-ABC,四个面都是直角三角形，D 正确. ∴m+2T.=1+÷(n-1)="2⋯T-(n+D2n+2· 当n≥2时，a.=-1+z.又∵a?=T;=÷, D? C ∴a.=1+2,m∈N.. BA? (2)由(1)可知T.=Cn+12n+2)=2(,+1-a+2), ∴T?+T?+⋯+T,=2(2-3)+2(3-+)+⋯+ D c A B (2)BCD 解析 A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转 得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中 线所在直线为轴，将三角形旋转180°形成的曲面围成的几 何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过 圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所 示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2 倍(即直径).故选 BCD. 2(,+1-+2)=2(÷-+2)<1. 由题可知m≥1,∴m的取值范围是[1,+～]. 第七章 立体几何 第1讲 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 四平行 ②全等 ③平行 ④相似 ⑤平行且相等 ⑥一点 7一点 8平行四边形 ⑨三角形 ⑩梯形 团垂直 国矩形 圆等腰三角形 4等腰梯形 国圆 @矩形 扇形 8扇环 国斜二测画法 囫45°或135°囫垂直 四分别平行于坐标轴 图不变 4一半 圆2πrl 6πrl 号s h txR四÷xR2囫π(r?+r?)l 图- h. [例2](1)C 解析 因为O'A'//B'C',O'A'=B'C', 所以直观图还原得OA//BC,OA=BC=O'A'=6, 四边形 OABC为平行四边形，OD⊥BC, 则C'D'=OC'=2,所以CD=2, OD'=√2O'C'=2√2,0D=2O'D'=4√2, OC=√CD2+OD2=√22+(4√2)2=6, 诊断自测 1.(1)×(2)× (3)× (4)× 2.D 解析 长方体ABCD-A?B,C?D,被两平面分成三部分， 其中EF//GH//BC, b其中两个三棱柱，底面是直角三角形； BCr 另一个是底面为六边形的直棱柱，所以这三个几何体中是棱 柱的个数为3. →x |o A R2-R=((3)23.A 解析 设球O的半径为R,则 ,解得R= 所以 OC=OA=6,故原图形为菱形. 2.∴球O的体积V-号R2= (2)2+√2 解析 ∵平面图形的直观图是一个底角为45°,腰 和上底长均为1的等腰梯形， 4.B 解析由斜二测画法规则知，正方形 A'B'C'O'的原实际图形是平行四边形 ABCO,如图， yt ∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2,上底边长为1, ∴梯形的下底边长为1+√2,∴平面图形的面积S= I+t+V2×2-2+/E. C B 其中OA=O'A'=1,OB=2O'B'=2√2,因此 有AB=√OA2+OB2=3, 所以原图形的周长为2(OA+AB)=8(cm). [例3]C 解析 设一个圆锥的侧面展开图是半径为27,圆心 角为： 的扇形，该圆锥的底面半径为r, 0 A 23 5.D 解析将直三棱柱 ABC-A?B?C?的侧面展开，如图 所示， 所以2mr=×27,,可得 r=9,因此，该圆锥的高为h= √272-92=18√2,AA B C E 23故侧面展开图是半径为12,圆心角为： 的扇形的圆锥的高 为5h=4×18√Z=8√2. D A B C A 当A,D,E,A?四点共线时，AD+DE+EA,取得最小值， 则最小值为√(AB+BC+AC)2+AAT=√G62+32=3√5. 因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小 一致，则该几何体的高为18√2-8√2=10√2. ·417· 高考一轮总复习·数学·RJB