第6章 第3讲 等比数列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

依题意{a。}是等差数列，a?+a?og=a?+a?ot?=⋯=2a?o? 对称轴为n-空.因为n∈N°,=0,所以a?=—aaa,a?=—a?o42,* 令 S=f(a?)+f(a?)+f(a?)+⋯+f(a?ons), S=f(a?ots)+f(a?ouz)+f(a?ou)+⋯+f(a?), 结合等差数列的性质，两式相加得 2S=1×4 043, 所以n=8时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)取得最大值 为 136. 第3讲 等比数列 [必备知识 夯实四基]s-423. 知识梳理 [例3](1)D 解析 由题意得a?+a??+a?=3a??,b?+bg=2b??, 又一2一交26一，即一×一子， :4t+t-=子 44-g2常数q 2q 3q 4G 5xy Ga?q1[7‘ 8a·a。②q”0q” 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× (2)C 解析数列(a。}是等差数列，S。为数列(a。}的前n 项和， 2.C 解析 因为数列{a。}是公比为q(q≠1)的等比数列， 2--2-~·不是等比数列；①;根据等差数列的性质得到：So—S??,S??-S?,S?-S?,S。 —S?,S?仍成等差数列， =0,(ai)是公比为d的等比数列；②:记S=a?+a?+a?+a?=3,设S?-S?=a?+ag+a?+ag=3 +x, 是公比为。③层} 的等比数列；S?-S=a?+a+a?+a?=3+2x,Sis-Siz=a?+a?+ a?s+a?s=3+3x, ④{2a,}是公比为q的等比数列. S-S=a+an+a+a=3+4x=5→x=2, S=S-S+S-S?+Sig-S?+S?-S?+S?= 15+10x, 3.B 解析 {a,}是公比为-2的等比数列，且a?+2ag=72, 则(-2)a?+2×(-2)a?=72,解得a?=-1,则S= -[1-(-2)]=-11 1-(-2) 计算可得到结果为20. 4.C 解析 当q=1时，a?=7,S?=21,符合题意；当q≠1时， [例4]D 解析 因为等差数列{a。}的前n项和为S,S?oz?> (a?q2=7, 得q--2综上·g的值是1或一去.0,S?<0, “1-g)-21. 2 所以 5.B 解析 依题意，不妨设a?=1,q=2,数列是递增的等比 数列，由此判断 C.D选项错误.设a=-1,q=去，,数列是递 增的等比数列，由此判断 A选项不正确.故正确的选项为 B. 所以本题选 B. 2z)=1 11(a?+a. 所以a?ou>0,a?on+a?onz<0,所以a?ou>0,a?o?<0,即等 差数列(a。}的公差d<0, [提升能力 考点剖析] 考点 1 所以n≤1011时，a>0;n≥1012时，a,<0, 所以使得前n项和S,取得最大值时n的值为1011. 1.A 解析∵8a?+a?=0,则a=q1=-8,即q=-2. [变式训练] 又∵a?<a?,即—2a?<16a?,则a?>0且|a?|=1,∴a?=1, 则a?=16a?=16.1.D 解析 由S?=-5S?,可设 S=-5a,S?=a, ∵{an}为等差数列，∴S?,S?—S?,S?—S,为等差数列， 去.图32.C 解析 图1的线段长度为1,图2的线段长度为 (号)⋯的线段长度为 即a,—6a,S?—S,成等差数列，∴S?—S?=-13a,即S?= -18·号--18. c--2得a,≠0,2a,+a,=a,+a,+a,-3a (),2.C 解析 由 “n次分形”后线段的长度为 ,所以要得到一个长度不 小于40的分形图，=0, 所以a?=0,a?+a?=2a?=0.因为a?≠0,a?=0,所以a?≠0, (等)≥40,则nlg≥1g40=1+2lg 2,即只需满 足 n(2lg 2-lg 3)≥1+2lg 2,a=-1. 3.C 解析 因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+ 解得 n≥21e22R23≈0,6-00277≈12.8,所以至少需要 13 次分形. f(n)-35, 所以 f(n+1)=f(n)+f(1)-35=f(n)-4,所以f(n+1) 3.D 解析 设等比数列(a。}的公比为q,q≠0,-f(n)=-4, 若q=1,则a?—a?=0,与题意矛盾，故{f(n)}是以31为首项，以—4为公差的等差数列， 所以 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=3ln+”",× 所以 q≠1,则 解 得 (-4)=-2n2+33n, ·411· 高考一轮总复习·数学·RJB -号 等比数列{a,}的所有项之和为Sa=“(1,)=22*-1=170+85=255,则22*=256,所以a?=a?q3=3. 4.ABC 解析 ∵a?+a?=18,a?+a?=12,a?(1+q)=18, a?(q+q2)=12,公比q为整数. 解得k=4,因此，这个等比数列的项数为8. (2)511 解析 因为等比数列中S,S2—S,S—S2,⋯成等 比数列，解得a?=q=2.:a,=2°,S.=22-=2-2. 所以 S,S?-S,S,—S。成等比数列，所以(S。-S)2= ∴S,+2=21,∴数列(S。+2}是公比为2的等比数列.S= S?(S?-S?), 2°-2=510. 即(63-7)2=7×(S?-63),解得S,=511. lga=nlg 2.数列(lga。}是公差为lg2的等差数列. 综上可得，只有 ABC正确.故选 ABC. [变式训练] 1.C 解析 在等比数列{a}中，a?a?=a?a?=-8,因此 2(a-7.解得 考点 2 [例1]解 (1)证明：由题可知，5a。=2S,+1(n≥1)①, 5a-1=2S-1+1(n≥2)②, ①-②得5a,-5a,-?=2a,(n≥2), 显然，a.am=a),则当a,=4,a,=-2时，am=a?=1,当a,= 即a,=34?(n≥2). 当n=1时，由①知a,=子， 所以(a.)是以专为首项，以亭为公比的等比数列. -2.a,=4时san=a+=-8, 所以a??的值是1或-8. 2.B 解析A选项中，由S?(S?-S?)=(Sq-S?)2,即 4(S?-12)=(12-4)2,解得 S?=28; m.=号×(哥)一，所以A.=s×(2)由(1)可知， B选项中， -1=5"-1-1. 所以T,=b?+b?+b?+⋯+b。=5°+51+52+⋯+5*-1-n C选项中，由a?a=a?a?得a?a?=-8,a?+a?=2, =年-n-÷ 解得a?=4,a?=-2或a?=-2,a?=4, 0--E#ata.-F+ad-=三t×(-号)-[变式训练] 一学解 (1)证明： -7; =3Q,-22-3. 当q2=-2时，a+am=+ag==2+(-2)×(-2)= 又b?=a?-21=1,故数列{b。}是首项为1,公比为3的等比 数列. -7; D选项中，∵a?=4a?,∴q?=4q2,∴q=0(舍去)或q=-2或 (2)由(1)有b。=b?×3“1=1×3"-1=3"-1,可得a=2°+3”-1, q=2, 故a?=(-2)1或a,=2"-'.所以有S,=2×(-222+1×(L33)=2+- 自主培优 10 考点 3 [典例1](1)3“—2 解析 ∵a。=3a。-+4(n≥2),∴a,+2= [例2](1)C 解析 在等比数列{a。}中，因为a?,a?为方程 x2-4x+π=0的两根， 3(a+2)·++2-3. ∵a?=1,则a?+2=3,∴数列{a。+2}是以3为首项，3为 公比的等比数列. 所以a?αg=π=a3,所以as=±√π,所以a?asa?=as= ±π√π. ∴a+2=3·3"-1=3",所以a?=3”-2. (2)2 022 解析 因为(a。}是等比数列，所以a?o·a?ons+ a?on*a?oi?=2a?·a=2e2, (2)1-(号)”解析 当n=1时，a?+2a,=1,a=号； 即a?on·α?oiz=e2,所以Ina?+lna?+⋯+Ina???= lna?a⋯a???=ln(a?ou4?oiz)1?l=1n e2=2 022. 当n≥2时，S,+2a,=n,S?-+2a。-=n-1, 两式相减得3a,-2a=1,a,=÷a+÷,a,-1= [例3](1)C 解析 设这个等比数列{a,}共有2k(k∈N*)项， 公比为q, 号(a.,-1), 则奇数项之和为Sx=a?+a?+⋯+a?x-1=85, 所以数列(a.-1)是首项为a-1=一号.,公比为- -的等比 数列， 23偶数项之和为Sa=a?+a?+⋯+a=q(a?+a?+⋯+ a2a-1)=qS?=170, ∴q=S=30=2, 则a,-1=-(号),所以a,=1-(号)· 高考一轮总复习·数学·RJB ·412· a⋯=2一a,所以=2-1,所[典例2]2°- 解析 因为： 当n≥2时)a.=S.-S=””-(m-D(u-D=n. a?也满足a=n,故数列{a,}的通项公式为a,=n.以-1=2.-2=2(÷-1), (2)由(1)知a。=n,故b。=2“+(-1)”n,记数列{b。}的前2n 项和为T?。,而÷-1=1,且b,=-1.5.数列(6,)是首项为1,公比为 2的等比数列， ∴b?=1×2*-1=2*-'. 则 T?=(21+22+⋯+2")+(-1+2-3+4一⋯+2n). 记 A=21+22+⋯+22",B=-1+2-3+4-⋯+2n, 则A=24=23=2*-2,[典例3]n·3解析∵a=3a,+3°·3-=, 学}; 子又一号，∴数列{ 是等差数列，公差为- ∴=2+(n-)×÷=x∴a,=n·s. B=(-1+2)+(-3+4)+⋯+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{b,}的前2n项和T=A+B=221+n-2. [发散探究] 解 当n为偶数时， T,=(21+22+⋯+2")+[-1+2-3+4+⋯-(n-1)+n]= 2-2+4-21-2+÷. 当n为奇数时， 第4讲 数列求和 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 m““2Pa241-g2-g≠1 T,=(21+22+⋯+2")+[-1+2-3+4+⋯-(n-2)+(n- 诊断自测 1)-n]=2**-2+”21-n —2— 1.(1)√ (2)√ (3)×(4)√ 2.B 解析 由a=3,a?=6可得公差d=4s—“2=1,所以a, 3 综上 =a?+(n-2)d=n+1. 因此。1=7m+1)(n+25=+i-0+2·,所以前8项和 为(=-号)+(÷-÷)+⋯+(5-6)=2-0=. [变式训练] 解 (1)若选①,因为{a}为等差数列，令n=1,则a?=2a?+1 3.B 解析由题意，a,=2n-1,a,+b,=2n-1+2“-,所以 =3,所以公差d=2,所以等差数列{a,}的通项公式为a=2n 一1;T=10(1±19)+1=2=100+2"-1=1 123. 若选②,当n≥2时，2S,=(n+1)a,,2S=na,因此 2a,=a.=2n+1.b.=a= (2+-) n4. 解 析 由3(2n+3) (n+1)a,-na,即分=2一，所以{)为常数列，因此‘?= 2(2n+1)(2n+3)~ 所以数列{b,}的前n项和为 =2,所以a.=2n; 若选③,当n=1时，4a?=aí+2a?—3,即(a?-3)(a?+1)=0. T.=b?+b?+⋯+b.=÷[(÷-÷)+ (÷-÷)+⋯+(2nT-2+3)]=-+6 又因为am>0,所以a?=3.当n≥2时，有4S。=a2+2a,-3, 4S=α2-1+2a-1-3,所以4a。=a2—α?-1+2a,—2a。-,即 (an+a-?)(a?-a?-1-2)=0.又因为a>0,所以a-a?-1=2, 所以{a,}是以2为公差的等差数列，所以a,=3+(n-1)×2==3(21+3)· 2n+1. 5.2-2-2 解析 由题知S,=2++8+⋯+2,① 所以≥S,=÷+8+16+⋯+”+”,② (2)若选①,由(1)可知，T2=-a?+a?-a?+a?-⋯-a?α-i+ a?n=(a?-a?)+(a?-a?)+⋯+(a?n-a?n-1)=2n; 若选②,由(1)可知，T=-a?+a?-a?+a?-⋯-a?-?+a。 =(a?-a?)+(a?-a?)+⋯+(a?w-a?n-1)=2n; ①-②得- 若选③,由(1)可知，T2=-a?+a?-a?+a?-⋯-a?n-1+a?。 =(a?-a?)+(a?-a?)+⋯+(a?o-a?o-1)=2n. 考点 2一， 所以 S,=2-2-2 S.=+m.所以当n≥2时，S-=“+n[例2]解 (1)因为， -1, [提升能力 考点剖析] 所以当n≥2时，S.-S=“?-d-+1=a,,考点 1 [例1]解 (1)当n=1时，a?=S?=1; 整理得(a,-2)2=a2-1. ·413 · 高考一轮总复习·数学·RJB 第六章数列回 2.(2022·江西赣州·二模)已知等差数列{a.}满 f(n)-35,已知f(1)=31,则f(1)+f(2)+ 足4=一2，则下列结论一定成立的是 ( (3)+…+f(n)(n∈N)的最大值等于() A.133 B.135 A.a=-1 B.84=-1 a C.136 D.138 C.4=-1 D.w=-1 a a 3.(2022·广东·端州市瓷都中学三模)已知函数 请完成《课时检测训练35 f(x),对任意实数m,n都有f(m十n)=f(m)十 第3讲 等比数列 课标多求！ 1.理解等比数列的概念。 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系。 必备知识 夯实四基。 [对应答案P411口 知识梳理 3.等比数列的性质 已知{a。)是等比数列，S。是数列{a.}的前n 1.等比数列的概念 和. (1)定义：如果数列{a.}从第2项起，每一项与它 (1)若k十l=m十n(k,l,m,n∈N”),则有a。·a 的前一项之比都等于同一个四 ,即4 -图 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， =回恒成立，则称{an}为等比数列，其中g 即a,a4+m·a+2m,…仍是等比数列，公比为 称为等比数列的公比 回 数学语言表达式。二-四—≥20为丰号 (3)当9≠-1或q=一1且n为奇数时，S。,S. S。,S一S.…仍成等比数列，其公比为回 常数. 世第用结论 (2)等比中项：如果x,G,y是等比数列，那么称 L.若数列{a.,{b,}(项数相同)是等比数列，则数 ④为x与y的等比中项，且G=回 列ca,c≠0.la..a…侵 ,{a.·b.. 2.等比数列的通项公式及前”项和公式 (1)若等比数列{a.的首项为a1,公比是q,则其 只也是等比数列。 b 通项公式为4，=回 2.由a.+1一g4.g≠0，并不能立即断言{a}为等比 通项公式的推广：a,=aq” 敛列，还要验证a1≠0. (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时.S, 3.三个数成等比数列，通常设为三，x,xq:四个符号 a1:当g≠1时，Sn=☑ aa.q 1一4 相同的数成等比数列，通常设为二，二 qgaqg'. 117型 国高考一轮总复习·数学·RJB 诊断自测】 ④〈2a}中等比数列的个数是 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思考辨析 3.(数材改编恩)设{a。}是公比为一2的等比数列， L,判断（在括号内打“√”或“×”） 且a,十2au=72,则S () (1)等比数列{a.}的公比q>1,则该数列单调递 A.-8 B.-11 C.8 D.11 增。 () 易错自纠 (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b= 4.(意略q=1致提)已知在等比数列{a.}中，a= ac. ( 7,前三项之和S=21,则公比q的值是() (3)如果数列{a.}为等比数列，则数列na.}是 等差数列. A.1 ( B-司 (4)数列{a,}的通项公式是an=a”,则其前n项 C1或-号 D-1政3 和为S,=a1-a2 ( 1-a 5.(急视首项的椅号致错)若数列{。}是公比为q 教材衍化 的递增等比数列，则 2.(教材改编题)已知数列{a.是公比为q(g≠1)的 A.a1>0,q>1 B.a1(q-1)>0 C.(a1-1)q>0 D.(a-1)q<0 等比数列，则以下数列：①(2：②d圆左 提升能力 考点剖析 [对应答案P41I门 考点1 等比数列基本量的运算（题组通关） 1.(2022·河北唐山·三模)等比数列{a}中，若 图1 图2 图3 |a1|=1,8a2+a=0,a2<a5,则a,= A.16 B.-16 C.32 D.-32 2.(2022·河北奉皇岛·三模)北京2022年冬奥会 开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传 递了“人类命运共同体”的理念，“雪花曲线”也叫 “科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫 A.11 B.12 C.13 D.14 曲线组成的，是一种分形几何.图1是长度为1 3.(2022·全国乙卷)已知等比数列{a.}的前3项 的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的 和为168，a:一a,=42,则a,= () 线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的 A.14 B.12 C.6 D.3 线段去掉得到图2，这称为“一次分形”：用同样 4.(多选)在公比g为整数的等比数列{a.}中，S。是 的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到 数列{an}的前n项和，若a,十a,=18,a:十a= 图3，这称为“二次分形”：…依次进行“n次分形 12,则下列说法正确的是 () (n∈N)”,规定：一个分形图中所有线段的长度 A.q=2 之和为该分形图的长度，若要得到一个长度不小 B.数列{S.十2}是等比数列 于40的分形图，则n的最小值是（参考数据：lg3 C.S。=510 ≈0.477,1g2≈0.301) D.数列lga.}是公差为2的等差数列 118 第六章数列回 感悟方法 2.等比效列的前n项和公式涉及对公比q的分 L,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 类讨论，当g=1时，{a,}的前n项和S。 基本问题，等比数列中有五个量a1,9,a· na1当q≠1时，{a.}的前n项和S.= S。,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便 a1(1-g)_a1-ag 可迎刃而解 1-q1-q 考点2 等比数列的判定与证明（师生共研） 例1](2023·山西临汾·一摸)已知数列(a。}的 》变式训练 前n项和为S.,满足5a.=2S。十1. 已知数列{a,}满足41=3，a.1=34.一2. (1)证明：数列{a.》为等比数列： (1)令b.=a.一2"，证明：数列(b,}为等比数列： (2)若b.=3”·a一1，求数列{b)的前n项 (2)求数列{a.}的前n项和S.· 和T。 感悟方法 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等 比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的 判定：若证明某数列不是等比致列，则只要证明 存在连续三项不成等比数列即可， (2)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n=1的情形进行验证 考点3 等比数列的性质（多维探究） 角度1等比数列项的性质 2e2,则lna,十lna2十…十lna:m= [例2](1)(2022·辽宁沈阳·三模)在等比数列 角度2等比数列和的性质 {a。)中，a2,a为方程x一4x十π=0的两根，则 [例3](1)已知一个等比数列首项为1，项数是偶 aaa的值为 ( 数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则 A.r1元B.-π元 C.土π元 D.π 这个数列的项数为 () (2)(2023·四川南充·二模)若等比数列{a}的 A.2 B.4 C.8 D.16 各项均为正数，且a1n·a1a十a11·a1or= 119® 国高考一轮总复习·数学·RJB (2)(2022·四川南充·三模)若等比数列 令变式训练 {a.)的前n项和为S.,且S=7,S=63,则S 1.(2022·陕西面安·三模)已知{a。)为等比数列， a十a,=2,aa。=一8，则a1o= () A.1 B.-1 C.1或-8D. 感悟方法 -8 等比数列性质应用问题的解题突破口 2.(2022·广东茂名·一模)已知等比数列{a.}的 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式 前n项和为S。,公比为g,则下列选项正确的是 的变形，二是等比中项的变形，三是前”项和公 () 式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体 A.若S1=4,S=12,则S。=29 的变化特征，即可找出解决问题的突破口 B若a=1g=子则5=4-3a, 提醒在应用相应性质解题时，要注意性质成 C.若a,十ay=2,aa6=-8,则a1十ae=-6 立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形. D.若a=1.as=4ag,则a,=2- 此外，解题时注意“设而不求”的运用。 请完成《课时检测训练36》 自主培优10 构造新数列 ,对D答案P12 求数列通项公式，除了我们已经学习的公式 类型二 形如a+,= ra:(r,p,g为常数r pa.十q 法、累加法、累乘法等，根据所给递推公式的特 >0.p,g,a.≠0)型 点，还有以下几种构造方式 [典例2] 已知数列{a,}满足a,=2,a 类型一 形如a+1=ca,十d(c≠0，其中a,= 一，若b 1 2-a 一1，则数列{b.)的通项公式为 a)型 b. [典例1门(1)设数列{a.)满足a1=1,且an=3a。- 感悟方法 十4(n≥2)，则数列{a。}的通项公式为a,= (r,p,9为常数，r>0,p9a,≠0) pa.+q 的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出 (2)已知数列{an)的前n项和为S.,且S,十2a 线性递推式b.=Ab,-1+B(n≥2，A,B是常 =n,则a= 数)，进而求解 类型三形如a.+1=pa.十q·p+(p≠0,1,9 感悟方法 ≠0)型 设an+1十入=c(an十入)，得a.+1=ca.十(c-1)入， [典例3】已知数列{a.}中，a1=1,a+1=3a.十3”， 则a, 与题设a,1=ca,十d比较系数得入=，(c≠ 感悟方法 1.所以a+号=a+)m≥2 a。+1=pa.十q·p"+(p≠0,1，g≠0)的求解方 法是等式两边同时除以p+,即得：片一： 即a,十}构成以（口+）为首项c为 公比的等比数列。 q,则数列 为等差数列 120