第3章 第1讲 导数的概念及运算-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJB 第目章 一元函数的导数及其应用 第1讲导数的概念及运算 课标亲求 1,通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景。 2,通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数， 4,能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 5.能求简单的复合函数（形如f(ax十b)的导数. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P35 知识梳理 3.基本初等函数的导数公式 (1)C=图：(2)(x)'=国 1.导数的概念 (3)(a)'=固 :(4)(1ogx)'=圆 (1)称函数y=f(x)在x=x。处的瞬时变化率 (5)(sinx)'=回 :(6)(cosx)'=☒ 1m/十△-为函数y=在= △x (7)(e)'=回 :(8)(nx)'=@ 处的导数，记作了(x。),即 4.导数的运算法则 )=lim f(x十△x)-f(x。） 如果f(x),g(x)都可导，则有： △x (1)[f(x)土g(x]'=圆 (2)在f(.x)的定义域内，(x)是一个函数，这个 (2)[f(:x)g(x)]了'=回 函数通常称为函数y=f(x)的导函数，记作国 3[g】r-国 (g(x)≠0)： (或y,y,),即f(x)=y=y'=im (4)[Cf(x]'=4 fr十△)一f.导函数通常也简称为导数. △x 5.复合函数的导数 2.导数的几何意义 如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y f(x)是曲线y=f(x)在点(x。,f(x)处（也称 h(x)=f(g(x)),则复合函数的导数h'(x)与 在x=x。处)的切线的斜率，从而在点(x, f(u),g(x)之间的关系为 f(x)处的切线方程为☑ '(x)=[f(g(x)]'=国 =f(g(z)) g'(x),即y'=國· 盛54 第三章一元函数的导数及其应用回 常用结论 (4)曲线y=f(x)在点P(x。,y)处的切线与过 1.f(x,)代表函数f(x)在x=x处的导数值： 点P(x,y)的切线相同. () 教材衍化 [f(x)]'是函数值f(x。)的导数，则[f(xn)] 2.(教材改编题)已知函数f(x)=zlnx,则im =0. 2=品*o f1+△x)-f)的值为 () △x A.2e B.0 C.1 D.e 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有 3.(数村改编题)曲线y=e'sin r在x=0处的切线 一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点， 斜率为 () 4.函数y=f(x)的导数∫(x)反映了函数f(x)的 A.0 B.1 C.2 D.-2 瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其 易错自纠 大小|∫(x)川反映了变化的快慢，|了(x)|越大， 4,(不理解复合国数的导数运算楼则致错)函数y一 曲线在这，点处的切线越“陡” xln(2.x+5)的导数为 () 诊断自测】 A.y'=2xln(2.x+5) 思考辨析 B.y=2x+5 L.判断（在括号内打“√”或“×”） (1)f(x,)是函数y=f(x)在x=x。附近的平均 C.y=ln(2x+5)+2x+5 变化率. ( ) D.y'=ln(2x+5)+2x+5 2x (2)求f(x)时，可先求f(x),再求f(x). 5.(混清“在某点处的导数”与“过某点的导数”)曲 ( 线f(x)=e的一条切线经过点(1,0)，则该切 (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. 线的斜率为 提升能力 考点剖析 [对应答案P375 考点 导数的运算（题组通关） 1.设函数f(.x)满足li fx,-2△x)-fx=2, △x 则f(x。)= ( ) 3.若函数f(x)=lnx一了(1)x十3x一4，则了(3) A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.下列求导运算错误的是 ( 4.求下列函数的导数. A.(tan r)'=-tan r (1)y=z'sin x; B.(ogx)/=1 rIn 2 (2)y=lnx+1 C.(2e+r)'=(4.x+2)e+ (3)y=o: e 55 回高考一轮总复习·数学·RJB (4y=xsim(2x+受)os(2x+）】 感悟方法 1,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初 等函数的和、差、积、商，再利用运算法则 求导 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方 程思想求解。 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时 要进行换元. 考点2 导数的几何意义（多雏探究） 角度1求曲线的切线方程 并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜 [例1](1)(2023·安徽黄山·二模)已知函数 率：(2)切点在切线上，故满足切线方程： f(x)=x-xf(1),则曲线y=f(x)在点(2， (3)切点在曲线上，故满足曲线方程。 f(2)处的切线方程为 ( 2.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线 A.3x-y-4=0 B.3.x-y十4=0 与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清 C.3.x+y+4=0 晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中 D.3x+y-4=0 一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直 (2)(2022·新高考Ⅱ卷T14)写出曲线y=nx 线相切，直线与抛物线相切可用判别式法， 过坐标原点的切线方程： ◆变式训练 角度2求切点的坐标 1.(2022·河南黑作·二模)函数f(x) (2e一x)·cosx的图象在x=0处的切线方程 [例2]过点(0，-1)作曲线f(WF)=lnx(x>0) 的切线，则切点坐标为 为 () 角度3求参数值（范围） A.x-2y+1=0 [例3](2022·新高考1卷T1)若曲线y=(x+ B.x-y+2=0 a)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范 C.x+2=0 用是 D.2x-y+1=0 角度4公切线问题 2.(2023·江西九江·三模)已知直线y=a.x十4 [例4](2022·山东潍坊·模拟)已知f(x)=e 一1(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx十1，请写 (a∈R)与曲线y=一lnx相切，则a= er 出f(x)与g(x)的一条公切线的方程 感悟方法 3.曲线y=x+m(x<0)在点A处的切线方程为y 1,处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、 =3.x十2m一2，则切点A的坐标为 切线、切点的三个关系列出参数的方程（组） 56 第三章一元函数的导数及其应用回 考点3 导数与函数图象问题（师生共研） [例5](1)函数f(x)的图象与其在点P处的切线 ◆变式训练令 如图所示，则f(1)一了(1)= 1.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确 的是 A.f(1)>f(2)>f(3)>0 B.f(1)<(2)<f(3)<0 C.0<f(1)<f(2)<(3) A.-2 B.0 C.2 D.4 D.f(1)>f(2)>0>f(3) 0123 (2)已知函数y=f(x)的部 2.已知函数y=f(x)的图象是下 分图象如图所示，其中 列四个图象之一，且其导函数 A(r,f(x)).B (xz, y=广(x)的图象如图所示，则 -101天 f(x),C(x,f(x))为图 该函数的图象是 上三个不同的点，则下列结论正确的是( y A.f(x,)>f(x2)>f(x1) -/01e B.f(x)>f(x2)>f(x1) C.f(x)>f(x1)>f(x2) D.f(r)>f()>f() 101元 感悟方法 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导 数的大小问题可以用数形结合的思想来解决， 观察对应切线的斜率大小即可。 请完成《课时检测训练15 第2讲 导数与函数的单调性 课标要求」 1,结合实例，借助儿何直观了解函数的单调性与导数的关系。 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次） 必备知识 夯实四基。 [对应答案P函76 知识梳理 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的团 1.函数的单调性与导数的关系 第2步，求出导函数了(x)的回 条件 恒有 结论 第3步，用了(.x)的零点将f(x)的定义域划分为 函数y=f(x) (x)>0 f(x)在(a,b)上① 若干个区间，列表给出子(x)在各区间上的正 在区间(a,b) f(x)0 f(x)在(a.b)上四 负，由此得出函数y=∫(x)在定义域内的单 上可导 (x)=0 f(x)在(e,b)上是 调性. 57®第三章 一元函数的导数及其应用 (3)y=(+)= t)a 第1讲 导数的概念及运算 [必备知识 夯实四基] (4)∵y=zsin(2x+吾)cos(2x+受) =2zsin(4x+x)=-÷xsin 4x, ∴y=-2sin 4x-÷x·4cos4x=-2sin 4x-2xcos 4r. 知识梳理 f'(x) 2y-f(x?)=f(x?)(x-x?) 30 4ax- m-n面mBa'n a 0na 回f(x)±g'(x) 囵f(x)g(x)+f(x)g'(x) mfgcA 考点 2 4Cf(x) 国f'(u)g'(x) 16y.'u [例1](1)A 解析由f(x)=x2-xf'(1),得f(x)=2x- f(1), 所以f(1)=2-f(1),得f(1)=1,所以 f(x)=x2-x, f'(x)=2x-1, 诊断自测 1.(1)×(2)× (3)√ (4)× 所以 f(2)=22-2=2,f'(2)=2×2-1=3, im fu+A)=2.C解析根据导数定义，得! 所以所求切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0. (2)y=÷x y=-÷xf(1),又f(x)=1+lnx,所以f(1)=1. 解析 因为 y=ln|x|, y=÷.当x>0时，y=Inx,设切点为(x?,lnx?),由 ,得 yL=二，所以切线方程为y-lnx?=÷(x-x,). 又切线过坐标原点，所以-ln x?=÷(-x),解得x?=e, 所以切线方程为y-1=÷(x-e),即y=x; 当x<0时，y=ln(-x),设切点为(x?,ln(-x?)),由y' 3.B 解析 y'=e'sinx+e'cosx,k=y'l,=。=1. 4.D 解析 因为y=xln(2x+5),所以y'=[xln(2x+5)]' =x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x·2+5 (2x+5Y′=In(2x+5)+z+5 5.-1 解析 因为f(x)=e-,所以f(x)=-e-*,设切点 为(x?,e-),则f(x?)=-e-*, 所以-—=-e-,解得x?=0,所以f(0)=-e2=-1,即 一÷.得y1,=云，所以切线方程为 y-ln(-x?)= ÷(a-x). 切线的斜率为-1. [提升能力 考点剖析] 考点 1 1.A 解析 因为Hmt-222=()- 又切线过坐标原点，所以-In(-x)=云(-x;),解得x; -2 m -2))=-2f(c)-2. 所以f(x?)=-1,故选 A. =-e,所以切线方程为y-1=-(x+e),即 y=-x. [例2](√e,1)解析由f(√x)=Inx(x>0),得f(x)= (tan x)'=(p)= cin ?t giH 3 2.A 解析 cos -A错误； (log,x)′=zh2,,故B正确； lnx2,x>0,化简得f(x)=2lnx,x>0, 则f(x)=2,,设切点为(x?,2lnx?),显然(0,-1)不在曲 线上， 2lnx+1=2则： 解得x?=√e,则切点坐标为(√e,1). [例3](-～,-4)U(0,+～)解析∵y=(x+a)e”, ∴y1=(x+1+a)e?. (2e+*)1=2(e+*)'(x2+x)'= 2e?+*(2x+1)= (4x+2)e+,故C正确； ()=(=*)=-2t=- 设切点为(x?,y?),则y。=(x?+a)e2,切线斜率k= (x?+1+a)e, ,故 D正确.故选 A. 3.-号 f(x)=÷-2f(1)x+3,所解析 对f(x)求导，得 切线方程为 y-(x?+a)e?=(x?+1+a)e2(x-x?). ∵切线过原点，∴—(x?+a)e?=(x?+1+a)e2(-x?), 整理得x3+ax?-a=0. ∵切线有两条，∴△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0, 以f(1)=1-2f(1)+3,解得广(1)=等， 所以f(x)=÷一号x+3,将x=3代入厂(x),可得f(3) ∴a的取值范围是(-,-4)U(0,+).=-5. [例4]y=ex-1或y=x 解析 设公切线与f(x)相切于点 4.解 (1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (m,e”—1),与g(x)相切于点(n,lnn+1), (2)y=(ln x+÷)'=(mx)+(÷)=÷-} ∵f(x)=e,g′(x)=÷, ·375· 高考一轮总复习·数学·RJB ∴公切线斜率k=e=, 第2讲 导数与函数的单调性 [必备知识 夯实四基] ∴公切线方程为 y-e”+1=e”(x-m)或 y- ln n-1=÷(x-n), 知识梳理 单调递增 ②单调递减 ③常数函数 ④定义域 ⑤零点 诊断自测 y=÷x+ln n,整理可得 y=e”x—(m-1)e”—1或 (me-1+1--1即{ 1.(1)× (2)√ (3)√ 2.A 解析 由f(x)的图象可知，当x∈(一～,0)时，函数单 调递增，则f'(x)≥0,故排除C、D; 当x∈(0,+～)时，f(x)先递减、再递增最后递减，所以所 对应的导数值应该先小于0,再大于0,最后小于0,故排除 ∴(m-1)e"+1-m=(m-1)(e"-1)=0, B.故选 A. 解得m=1或m=0, ∴公切线方程为 y=ex-1或 y=x. 3.B 解析 f(x)=1-云e”,由f(x)<0,得x>ln 2,所以 f(x)的单调递减区间为(ln 2,+). [变式训练] 4.D 解析 f(x)=xlnx,x∈(0,+),则f(x)=lnx+ 1.B 解析由题意，函数f(x)=(2e?-x)·cos x,可得 1,由f(x)<0,得O<x<,故选 D.f'(x)=(2e?-1)·cos x-(2e?-x)·sinx, 5.D 解析由题意知，f(x)=a+e2≤0在(一～,1)上恒成 立，得a≤(-e2)⋯, 所以 f(0)=(2e?-1)·cos 0-(2e?-0)·sin 0=1,f(0) =(2e?-0)·cos 0=2, 又函数 y=-e*在(一心，1)上单调递减，所以(-e^)m=所以f(x)在x=0处的切线方程为y-2=x-0,即x-y+2 一e,所以a≤-e.=0. [提升能力考点剖析~ y=2-ln x,得y=--÷.2.—2e 解析 由： ,设切点为 ax,+4=÷-1nx,a=-÷-÷,(x?,y?),则( ,消去 a得 考点 1 f(x)=x-÷!1.CD 解析对于A选项，函数 的定义域 为{x|x≠0}, lnx+3-2=0. ∵函数f(x)=1n x+3-2 因为f(1)=f(-1)=0.所以函数f(x)=x-÷;在定义域 上不是增函数；在(0,+～)上单调递增，且 对于B选项，函数f(x)=xe2的定义域为R,且f(x)= f(÷)=0,∴x=,,此时a=-2e. (x+1)e?, 当x<-1时，f(x)<0,即函数f(x)=xe°的单调递减区 3.(-1,3) 解析 由y'=3x2=3,得x=±1,因为x<0,所 间为(一的，-1), 以 x=-1,则切点A的横坐标为-1,所以(-1)3+m=-3 故函数f(x)=xe°在定义域上不是增函数； +2m—2,解得m=4,所以点A的坐标为(-1,3). 考点 3 对于C选项，函数f(x)=x+sinx的定义域为R,f'(x)= 1+cosx≥0且f(x)不恒为零， [例5](1)D 解析 由题意，切线经过点(2,0),(0,4),可得切 线的斜率为k=0-2=-2,即f(1)=-2. 所以函数f(x)=x+sinx在R上为增函数； 对于D选项，函数f(x)=e?-e~*-2x的定义域为R, f(x)=e+e-1-2≥2√e·e-~-2=0当且仅当x=0 时，等号成立且f'(x)不恒为零，又由切线方程为y=-2x+4,令x=1,可得 y=2,即f(1) =2,所以f(1)-f(1)=2+2=4. 所以函数f(x)=e-e-*-2x在R上为增函数. (2)B 解析由图可知函数在 A点的切线斜率小于0,即 2.C解析因为 f(x)=e2cos x,所以 f'(x)= (cos x-sin x)e,令f(x)=0,解得x=平，f'(x?)<0,在B点的切线斜率等于0,即f'(x?)=0,在C 点的切线斜率大于0,即f'(x?)>0, 所以f(x?)>f(x?)>f(x?). 当x∈(0,至)时，广(x)>0,当x∈(登π)时，f(x)<0, 所以 f(x)在(0,至)上单调递增，在(4,π)上单调递减， [变式训练] 1.A 解析 由函数f(x)的图象可知， ∵当x≥0时，f(x)单调递增， (0,章),所以f(x)在(0,π)上的单调递增区间为 ,故选 C. ∴f(1),f(2),f(3)>0. 3.(0.去)和(2,+~)解析函数 f(x)=x2-5x+2lnx, 其定义域为{x|x>0}, ∵随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导 函数是单调递减的， 则f(x)=2x-5+2×÷=2c2-5x+2,,令f'(x)=0,解得∴f(1)>f(2)>f(3)>0. 2.B 解析 由y=f(x)的图象是先上升后下降可知，函数 y =f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选 B. x?=2,x?=2, 高考一轮总复习·数学·RJB ·376·