第2章 第9讲 函数模型及其应用-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第二章函数的概念与基本初等函数回 第9讲 函数模型及其应用 课标要求 L.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术 语的含义。 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规 律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 必备知识 夯实四基。 对应倍案P373 知识梳理 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 化归 L.六种常见的函数模型 实际问题 函数模型 函数模型 函数解析式 运算推理 一次函 函数模型的解 f(x)=ar+b(a,b为常数，a≠0) 实际问题的解，解释说明 数模型 常用结论 二次函 fx)=ax十br十c(a,bc为常数，a≠0) 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变：“指 数模型 数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指 指数雨 fx)=a+c(a,b,为常数， 数爆炸”来形容：“对数增长”先快后慢，其增长量 数模型 越来越小 a>0且a≠1，b≠0) 对数函 f(x)=blo限，x+c 2.“对勾”函数f(x)=x十日(a>0)在(0，十0)上 数模型 (a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 的性质：在(0，a]上单调递减，在[√a,十∞)上 幂函数 单调递增，当x=a时，f(x)取最小值2a. f(x）=ax"十b(a,b.n为常数，a中0，n≠0) 模型 诊断自测 对勾"函 思考辨析 y=r+丝(u为常数，a>0) 数模型 L.判断（在括号内打“√”或“×”） (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加 2.指数函数、对数函数、幂函数模型性质比较 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则 函数 y=a y=log.r y=r" 每件还能获利。 () 性质 (a>1) (a>1) (H>0) (2)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大. 在(0，十0) 单湖① 单调回 单调递增 上的增减性 (3)不存在x。,使a<x0<logx。 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 (4)在(0，+∞)上，随着x的增大，y=a(a>1) 的增长速度会超过并远远大于y=,x°(a>0)的 随x的增大 随x的增大 增长速度. 图象 逐渐表现为逐渐表现为 随n值变化 教材衍化 的变化 与固 与① 而各有不同 2.(数村改编题)面对突如其来的新冠病毒疫情，中 平行 平行 国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志 值的比较 存在一个a,当x>r。时，有logr<x”<a 成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国 49⑧ 国高考一轮总复习·数学·RJB 力量、中国精神，下面几个函数模型中，能比较近 A.10倍 B.100倍 似地反映出图中时间与治愈率关系的是( C.1000倍 D.10000倍 百分比 易错自纠 20% 15% 4.(指数函数、对数画数性质不明致娱)某种病毒的 汁愈率 10% 繁殖速度快、存活时间长，已知“个这种病毒在1 5% 天后将达到ae个，且经过4天后病毒的数量会 0% %%名热心鸡鸡H明 达到原来的2倍.若再过1天后病毒的数量达到 全国治愈率趋势图 原来的8倍，则= () A.y=ax+b B.y=a.x2+hx十c A.4 B.8 C.12 D.16 C.y=a' D.y=log. 5.(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续 3.(教村改编题)声强级L(单位：dB)与声强I的函 两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的 数关系武为L=101(0)·若女高音的声强 增长率为9，则该市这两年生产总值的年平均增 级是75dB,普通女性的声强级为45dB,则女高 长率为 音声强是普通女性声强的 提升能力 考点剖析⊙ [对应将案P373 考点 用函数的图象刻画变换过程（师生共研） 例1](1)如图所示，△OAB是边长为2的等边 (2)某食品的保鲜时间1（单位：小时）与储藏温度 三角形，直线x=t截这个三角形位于此直线左 64.x0, x(单位：℃)满足函数关系t= 且该 方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数 2+5,x>0. y=f(1)的大致图象为 食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某 日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室 外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给 出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是 () ↑温度/℃ 12 9m123145时间/小时 ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时： ②当x∈[0,6]时，该食品的保鲜时间：随着x 增大而减少： 50 第二章函数的概念与基本初等函数回 ③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时 间内. A.2 B.3 C.0 D.1 感悟方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 方法： (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 3/秒 D 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象。 2.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢 以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息 等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合， 10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际 30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路 情况的答案. 程y和其所用的时间.x的函数图象为() ◆变式训练》 1.如图所示，液体从一个圆锥形漏 2a 斗漏人一个圆柱形桶中，开始时 02050王 02050￥ 漏斗中盛满液体，经过3秒漏 完，圆柱形桶中液面上升速度是 2a-1 一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时 7 a 203060天 0203060 间：之间的函数关系的图象只可能是 () D 考点2 已知函数的模型解决实际问题（师生共研） [例2](1)(2023·山东泰安·一模)某食品的保 感悟方法 鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃) 已知或选择弱数模型解决实际问题的注意点 满足函数关系y=e“(e=2.718…为自然对数 (1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定 的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时 模型，再利用模型求解实际问题 间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时， (2)选择模型的问题可结合函教图象，函数值的 则该食品在33℃的保鲜时间是 ( ) 增长特点（增减、增长快慢）等选用合适的函数 A.16小时 B.20小时 模型。 C.24小时 D.28小时 (2)(2023·山东聊城·三模)声强级L,(单位： 冬变式训练》 dB》由公式上，=10s(。)给出其中1为声 1.(2023·河北沧州·三模)生物入侵指生物由原 生存地人侵到另一个新的环境，从而对人侵地的 强（单位：W/m),一般正常人听觉能忍受的最 生态系统造成危害的现象，若某人侵物种的个体 高声强级为120dB,平时常人交谈时声强级约 平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖，繁殖间 为60dB,那么一般正常人能忍受的最高声强是 隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物 平时常人交谈时声强的 () 种入侵初期，可用对数模型K(n)=入nn来描述 A.10倍B.10倍C.10倍D.10倍 51® 国高考一轮总复习·数学·RJB 该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天) 泉水越高.已知听到的声强I与标准声强I。(1。 之间的对应关系，且Q=T+1,在物种人侵初 约为1012，单位：Wm)之比的常用对数称作声 期，基于现有数据得出Q=9,T=80.据此，累计 强的声强级，记作L(贝尔)，即L=g广，取贝尔 繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约 的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知 为(ln2≈0.69，ln3≈1.10) 某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水 A.6.9天 B.11.0天 高度x(m)之间满足关系式y=2x,甲，乙两名同 C.13.8天 D.22.0天 学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m, 2.(2021·江苏南通·一模)“喊泉”是一种地下水 60m.若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个 的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音 乙同学同时大喝一声的声强，侧的值约为 时，声波传人泉洞内的储水池，进而产生“共鸣” () 等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的 A.10 B.100 C.200 D.1000 考点3 构建函数模型解决实际问题（多雏探究） 角度1构建二次函数，分段函数模型 (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最 [例3]第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022 大？最大利润是多少？ 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥 林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20 日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项， 109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和 自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及 高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇、 高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上 项日，冬奥会的举办带动了我国3亿人次的冰 雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发 展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产 品的年固定成本为2000万元，每生产x千件， 需另投入成本C(x)(万元).经计算若年产量z 千件低于100千件，则这x千件产品成本C(x) =+10x+110:若年产量x千件不低于 100千件时，则这x千件产品成本C(x)=120.x +4500-5400.每千件产品售价为100万元， x-90 为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全 部售完 (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的 函数解析式： ®52 第二章函数的概念与基本初等函数回 角度2构建指数、对数函数模型 400r-号2-15000(0≤x≤200)， [例4】(2023·陕西谓南·二模)近些年，我国在 函数：R 治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记 170000 25000000(x>200). 明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美 (1)将利润P表示为月产量x的函数： 丽中国！某重型工业企业的生产废水中某重金 (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最 属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收 大利润为多少万元？（总收人=总成本十利润） 废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次 该装置，可回收20%的该重金属.若当废水中 该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要 经过该装置的次数为（参考数据：1g2≈0.301） ( A.11 B.12 C.13 D.14 感悟方法 (1)在应用西数解决实际问题时需注意以下四 个步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系，初步选择函数模型， ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的 西数模型。 ③解模：求解函数模型，得出数学结论」 ①还原：将数学结论还原为实际意义的问题. (2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言 表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解 决问题，提升数学建模核心素养 变式训练g 1.(2022·广东韶失·一模)某种放射性物质不断 变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性 物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年， 该物质剩留的是原来的0： (参考数据：lg2≈0.3010,1g3≈0.4771) A.16 B.17 C.18 D.19 2.某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元， 每生产一台仪器需增加投人100元，公司每月生 请完成《课时检测训练14》 产量为x(单位：台)，已知总收人R(单位：元)满足 53- 3 y=flx)(2)D 解析因为 所以 f'(x)= 2 9o ǐ3 -2 -1 2 34x 令f(x)<0,解得x<-2,所以f(x)在 -y= -2 (-～,-2)上单调递减，令f'(x)>0,解得-2<x<0或 4 x>0,所以f(x)在(-2,0)和(0,+～)上单调递增，函数 图象如图所示： 图1 当a<0时，f(x)的大致图象如图2,此时令f(f(x))=0, 可得f(x)=1或f(x)=a,4 3 由图易知f(x)=a恰有一根，则需满足f(x)=1有两根， 而x=0和x=2均为f(x)=1的根，则需满足x<0时，21 f(x)⋯<1.5. 23-3. -2· 10 又x<0时，f(x)=-x2+ax的对称轴为x=立， 则f(x)=f(告)=F<1, -3 ,解得-2<a<2,则-2<a <0.当x≤0时，令f(x)=0,得x=0或x=-4.又x→0+时， f(x)→-～;x→+心时，f(x)→+心，f(1)=e-1>0, ,tY y=fx) 所以3x?∈(0,1)使得f(x?)=0. 要使g(x)=f(f(x)-5)=0,即f(x)-5=0或f(x)-5 d =-4或 f(x)-5=x?, -1 oi2 x34 -1 即f(x)=5或f(x)=1或f(x)=x?+5. ⋯-y=a-2 由函数图象易知y=5,y=1,y=x?+5与y=f(x)都有两 个交点， -3 图2故f(x)=5或f(x)=1或f(x)=x?+5各有两个零点， 故函数g(x)=f(f(x)-5)有6个零点. 综上，a的取值范围为(-2,0). 第9讲 函数模型及其应用 [典例2](1)D 解析 f(x)的图象如图所示： [必备知识 夯实四基]yt 知识梳理 2 四递增 ②递增 3y轴 ④x轴 诊断自测1 1.(1)×(2)× (3)× (4)√0 12 x 2.B 解析 根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合. ACD选项都是单调函数，不符合.故选 B. 因为F(x)=f(x)-2af(x)+专，有4个不同的零点，令 3.C 解析设女高音声强为I,普通女性声强为I?,则 f(a)=1,故l-2at+壹=0有解， 101g(70)=75,所以10=10①,101g(70=)=45,所 以=10②,则①÷②,得÷=1000,故女高音声强是 普通女性声强的1000倍. 设此关于t的方程的解为t?,t?,其中t?,t?均不为零且t?t?= 由题设可得关于x的方程f(x)=t?和f(x)=t?共有4 个不同的解， 4.B 解析 由题意得ac?=2a.a=1m2.即f(1)=ac 设经过1天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有ae=8a,2” 解得t=12. 所以再过12—4=8(天),病毒的数量达到原来的8倍. 5.√(1+p)(1+q)-1 解析 设年平均增长率为x,则(1+ x)2=(1+p)(1+q),所以x=√(1+p)(1+q)-1. 解得0>专.所以 [提升能力 考点剖析] 考点 1 [例1](1)D 解析 根据题意，△OAB是边长为2的等边三角 形，则A点的坐标为(1,√3),B点的坐标为(2,0),所以直线 OA的方程为y=√3x,直线AB的方程为y=-√3(x-2), (2)A 解析当a≥0时，f(x)的大致图象如图1,此时令 f(f(x))=0,可得f(x)=1,观察图象可解得x=0或x= 2,即方程有两个根，则此时y=f(f(x))只有两个零点，不 合题意； 所以当O≤≤1时，y=f()=÷xr×属=唇； ·373 · 高考一轮总复习·数学·RJB 考点3当1<t<2时，y=f(U)=÷×2×√3-÷(2-1)×√3(2- [例3]解 (1)当0<x<100时，L=100x-号x2-10x-1 100 -2 000=-÷x2+90x-3 100; 1)=√3-5(2-N2; 当t>2时，y=f()=÷×2×√3=√3,它的图象如 D选项 所示，故选 D. 当x≥100时，L=100x-(120x+4=96-5400)-2 000 =-20x-4-=90+3400.(2)A 解析由题意可得，当x=4℃时，保鲜时间是16 小 时，即2+6=16,解得k=-0.5, 所以 ①当x=6℃时，t=2*×(-0.5)+?=8,故保鲜时间是8小时，故 ①正确； ②当x∈[0,6]时，t=2~05+6为减函数，则该食品的保鲜时 间t随着x增大而减少，故②正确； (2)当0<x<100时，L=-≥x2+90x-3100=-÷(x- ③在某日上午 10 时，温度为 8度，此时保鲜时间为 90)2+950. 2-0.5×8+6=4小时，到了此日15时，已经过了保鲜时间，所 以甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③不正确. 当x=90时，L取得最大值，且最大值为950; 当x≥100时，L=-20x-4=90+3400=-20 (x-90+2290)+1600≤-20(2√225)+1600=1 000, 当且仅当x=105时，等号成立. [变式训练] 1.B 解析 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取 时，漏斗中液面下落的高度不会达到溺斗高度的去，对 比四个选项的图象可得结果.故选 B. 因为1000>950,所以当该企业年产量为105千件时，所获 2.D 解析 根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑 自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,那么可知先 是匀速运动，图象为直线，然后再休息，路程不变，那么可知 时间持续10 min,最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不 变可知选 D. 得利润最大，最大利润是1000万元. [例4]D 解析 设废水中最原始的该重金属含量为a,则经过 x次该装置过滤后，该重金属含量为a·(1-20?a· (告).根据题意知a·(告)<0.05a,即(告)<0.05,两 x>S=25=2~边取 常 用 对 数，得 考点 2 3~13.4.所以x取最小整数为14(192=e*, [例2](1)C 解析 由题意，得{48=e,÷= 于是当x=33时，y=e3+=(e11)·e?=()×192=24 (小时). [变式训练] 1.A 解析 设该种放射性物质初始质量为m,经过n年，剩 m.留量变为： ⋯-⋯等-则可建立模型为 -2 -2 (2)C 解析 设一般正常人听觉能忍受的最高声强为I,平 时常人交谈时声强为I?, (.-由题意，得· 解得 g 3-2lg 20.477 1-2×0 201 C≈16 ·所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的： :号=10. 2.解 (1)由题知，利润P= (-÷x2+300x-35 000,0≤x≤200, 150 000-100x-25 000 000,x>200. [变式训练] Q-÷+1.Q=9,T=80,所以9=☆+1,解1.C 解析 因为1 得 λ=10. (2)当0≤x<200时，P=-÷(x-300)2+10 000, 所以当x=200时，P有最大值5000; 设初始时间为K?,初始累计繁殖数量为n,累计繁殖数量增 加3倍后的时间为K?, 当x>200时，P=150 000-100x-25 000 00O≤150 000- 2√100×25000000=50 000,当且仅当x=500 时，等号 成立， 则 K?-K?=λln(4n)-λlnn=λln4=20ln 2≈13.8天. 2.B 解析 设甲同学的声强为I,乙同学的声强为I?,则140 =10g?20=101g. 所以当x=500时，P有最大值50 000. 两式相城，得20-108号，即1g-2.从雨午-100,,所以 n 综上，当月产量为500台时，公司所获利润最大，最大利润为 5万元.的值约为100. 高考一轮总复习·数学·RJB ·374 ·