第2章 第8讲 函数与方程-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第二章 函数的概念与基本初等函数 23 考点 函数图象的应用(多维探究) 角度1 研究函数的性质 感悟方法 [例4] (2022·浙江杭州·高三期末)设函数 1.利用函数的图象研究函数的性质 f(r)-(x-a)r-al+b(a,bER),则( 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函 A.对任意a,bER,函数y-f(x)是奇函数 数,其性质(单调性、奇偶性、周期性,最值(值 B.存在a.bER,使函数y一f(x)是偶函数 域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意 C.对任意a,bER,函数y一/(x)的图象是中 性质与图象特征的对应关系, 心对称图形 2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解 D.存在a,bER,使函数y=f(x)的图象是轴 问题,如判断方程是否有解,有多少个解,数 对称图形 形结合是常用的思想方法,不等式的求解可 角度2 解不等式 转化为两函数的上下关系问题. [例5 (2022·河南兵·三模)已知定义在R上 心变式训练字 的奇函数/(x)在[0,十oo)上的图象如图所示. 1.(多选)对于函数f(x)-lg(x一2|十1),下列说 则不等式r/(x)>2/(x)的解集为 C 法正确的是 ) A.f(r十2)是偶函数 2.. B./(x十2)是奇函数 C. f(x)在区间(-o,2)上单调递减,在区间(2 +o)上单调递增 D. /(x)没有最小值 A.(-/2,0)U(/②,2) 2.(2022·北京·北师大二附中三模)已知函数 B.(-0,-2)U(2,+oo) f(x)-2-x-1,则不等式f(x)0的解集是 C(-.-2)U(-②,0)(②,2 C ) D.(-2.-②)U(o.②)U(2,+。) A.(-1,1) 角度3 求参数的取值范围 B.(-。,-1DU(1.+) [sinzx,0x1 [例6] 若实 C.(0,1) 已知函数f(x)二 logx,x1. D.(-oo,0)U(1.+o) 数a,,c互不相等,且f(q)三f(b)三f(c).则 请完成《课时检测训练12) 士士c的取值范围是 第8讲 函数与方程 课标求! 1.理解函数的零点与方程的解的联系 2.理解函数零点存在定理,并能简单应用 3.了解用二分法求方程的近似解 45 高考一轮总复习·数学·RJB 夯实四基。 必备知识 [对应答案P371] 知识梳理 诊断自测 1.函数的零点 思考辨析 (1)概念:一般地,如果函数y一f(x)在实数。处 1.判断(在括号内打“”或“×”) 的函数值等于零,即/(a)一0,则称 为函 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 数y一f(x)的零点. ) (2)函数的零点,函数的图象与x轴的交点、对应 方程的根的关系: (2)函数三f(x)在区间(.)内有零点(函数图 象连续不断),则f(a)/(b)<0. C ) (函数-f()有点 (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出 丽数f(x)的图象 方程/(v)=0 零点的近似值 与轴有公共点 有实数解 教材衍化 2.函数零点存在定理 2.(教材改编题)函数/(x)=lnx十2x-6的零点 如果函数y一f(x)在区间[a,6]上的图象是连续 的个数为 ) 不断的,并且f(a)f()② 0(即在区间两个 B.1 C.2 A.0 D.3 端点处的函数值异号),则函数y一f(x)在区间 (a,b)中至少有一个零点,即习x。(a,b),f(x) 3.(教材改编题)函数f(x)一x十log。x的零点所在 1. 的区间为 -. -0. A.(0.) B.(}) 常用结论 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函 C.() D.(2,1) 数,则/(x)至多有一个零点,函数的零点不是一 个“点”,而是方程f(x)一0的实根 易错自纠 2.由函数y一f(x)(图象是连续 y=j) 4.(不会利用函数的图象致误)方程工一log工的 不断的)在闭区间[a,]上有 解的个数为 ” 零点不一定能推出f(a)f(b) B1 C.2 A.0 D.3 0.如图所示,所以f(a)f()0是=f(x)在 闭区间[a,上有零点的充分不必要条件。 5.(&视二次项系数为0致误)若函数y=ax-2x 3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点 十1只有一个零点,则实数a的值为 提升能力 考点剖析 [对础答案P372] 考点 涵数零点的判断(多维探究) 角度1 函数零点所在区间的判断 A. ((x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1 [例1 (多选)(2022·江苏南京·二模)若函数 2)内一定没有零点 f(x)的图象在B上连续不断,且满足/(0)<0 B./()在区间(0.1)内一定没有零点,在区面 f(1)>0,f(2)>0,则下列说法错误的是( ) (1.2)内一定有零点 246 第二章 函数的概念与基本初等函数 C. f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1, (2)利用图象:画出函数图象,利用图象的交点 2)内可能有零点 判断零点个数; D.f(x)在区间(0,1)内可能有零点,在区间(1. (3)结合函数单调性判断零点个数。 2)内一定有零点 角度2 函数零点个数的判断 必变式训练必 [例2 已知函数/(x)是定义在R上的奇函数,满 足f(x十2)=f(-x),且当x[0,1]时,f(x =log(x十1),则函数y=f(x)一x*的零点个 ) C.(2,3) A.(0,1) B.(1,2) 数是 D.(3,4) - A.2 C.4 B.3 D.5 2.(2022·北家育才学较模拟)已知函数/(x)一 悟方法 [2x.r0. 则函数y-/(x)-2的零点个数 判断函数零点问题的策略 -r<0. 是 。 (1)利用零点存在定理:对图象连续不断的函 A.0 B.1 C.2 数,根据区间端点对应函数值的正负判断零点; D.3 考点 函数零点的应用(多维探究) 角度1 根据零点的个数求参数的范围 [感悟方法 [例3] (2022·天津市宝纸区第一中学二模)已知 根据函数零点求参数的常用方法 3x-11+1,x0. 若函数y一 函数/(x)一 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的 1--2r,r<0. 不等式,再通过解不等式确定参数范围。 f(x)一hx-1有n个零点,函数y=f(x) (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数 值域问题加以解决 (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面 的取值范围是 __ 直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合 A.(. 求解。 心变式训练必 B.[3.十) [e十a,r0. 1.已知函数f(x)一 C.(0.]U[3,+) '(a后R),若函数 3r-1,x>0 f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围 D.[,1)U(1,3] 是 ) A.(-。.-1) 角度2 根据零点的范围求参数的范围 B.(-,1) C.(-1.0) D.[-1,0) [例4](2022·漆模拟)若函数f(x)一alog。 十a·4十3在区间(,1)内有零点,则实数a (1.3)内,则实数a的取值范围是 ) 的取值范围是 ,_ A.(7十o) B.(--)# B.(-,-1) A.(-.-3) C.(-,-1U(7,+)D(-1,7) C.(-3.-3) .(-3) 请完成《课时检测训练13) . 高考一轮总复习·数学·RJB 自主培优4 嵌套函数的零点问题 ,对答案P372 形如y一f(g(x))的复合函数(暂称此函数 类型二 已知函数零点的个数求参数的范围 为“嵌套函数”)零点相关问题综合性较强,难度 [典例2](1)(2023·黑龙江哈尔滨市·哈余滨三中 3+11, 稍大,主要涉及判断函数零点的个数或范围,对 高三一模)已知函数/(x)一 1ln(-1|,>1. 于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合 F(c)-f(x)-2af(x)+4的零点个数为4.则实 函数拆解为两个相对简单的画数,借助函数的图 象、性质求解 数a取值范围为 一_ ) 类型一 嵌套函数零点个数的判断 A.(]JU(,+) 二0. B.({U(02, o0) [典例1](1)已知函数f(x)一 则 ln(-x).x0. C.,2) 函数y一/(f(x))的零点个数为 ) A.1 B.2 D.() C.3 D.4 (2)(2023·浙江杭州高三二模)设aR,函数 (r*十4r,x<0. x-1,x>0. (2)已知函数/(r)一 则函数 f(x)一 若函数y一f(f(x)) -.r0. l-*十ar,r<0. 2 恰有三个零点,则实数a的取值范围为( ) g(x)=f(f(x)一5)的零点个数是 ) A.(-2,0) B.(0.1) A.3 B.4 C.[-1.0) D.(0.2) C.5 D.6 感悟方法 感悟方法 (1)求解此类问题要抓住函数的图象性质,通过 破解此类问题的主要步骤 两层函数的零点个数及取值范围确定嵌套函数 (1)换元解查:将嵌套函数的零点问题通过换元 的零点. 转化为函数1=g(x)与v=f(t)的零点问题 (2)含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的 (2)依次求解:令f(1)一0求1,代入/一g(x)求 取值“动起来”,结合性质、图象抓临界位置,确 出工的值或判断图象交点个数. 定参数取值范围. 1 48当1<m<2时，S=f(m)=÷×(2-m)× yt [/S-√5(m-1)]-竖(2-m)2,故选C. 0 :2 [变式训练] 1.C 解析 首先f(-x)=—f(x),所以函数是奇函数，故 排除 D;f(2π)=2π,故排除 B; 由图象可知函数存在最小值0,C正确，D错误. 2.D 解析 因为f(x)=2*-x-1,所以f(x)>0等价于2 当x∈(0,于)时，f(x)>0,故排除 A,只有C满足条件. >x+1, 在同一直角坐标系中作出y=2*和y=x+1的图象如图：2.B 解析 函数h=f(t)是关于t的减函数，故排除C,D; 则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随 着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B,故选 B. 年 =x+l2 考点3 ro-{“ y=2[例4]C 解析 因为 所以作出 -2 + 2章0 函数 y=f(x)的大致图象，如图所示： - ty 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2°>x+1的 解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为(-,0)U(1,+~). b 第8讲 函数与方程 0 a [必备知识 夯实四基] 知识梳理 由图可知，对任意a,b∈R,函数y=f(x)不一定是奇函数； 不存在a,b∈R,使函数y=f(x)是偶函数；对任意a,b∈ R,函数 y=f(x)的图象是中心对称图形，且对称中心为 a ②< 诊断自测 1.(1)× (2)× (3)×(a,b);不存在a,b∈R,使函数y=f(x)的图象是轴对称 图形.故选 C. 2.B 解析 由于函数f(x)在(0,+心)上是增函数，且f(1) =-4<0,f(3)=1n 3>0,[例5]C解析根据奇函数的图象特征，作出 f(x)在 故函数 f(x)在(1,3)内有唯一零点，即也在(0,+)内有 唯一零点. (一～,0)上的图象如图所示， ty /2 3.C 解析 由已知得f(x)=x+log?x为(0,+～)上的递增 函数， 京-2 0 2 f(号)=÷+1og÷=÷-1og,3<0, r(÷)=2+1og2=-2<0, N 2 由 x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,等价于 (fc3>0*{fc)<0; f(3)=号+1og,号=-1og,3=÷(5-log,27)>0, f(1)=1>0,解得x<-2或√2<x<2,或-√Z<x<0.故不等式解集为 (去号)由零点存在定理可知，f(x)在区间 内存在零点，故(-～,-2)U(-√2,0)U(√2,2). f(s)={m[例6](2,2 023) 解析 函数 的图 象如图所示， 选 C. 4.B 解析 在同一坐标系内，作出y=√与y=log÷x的图 象，如图：ty yt 0 y=Fa 2.022x o不妨令a<b<c,由正弦曲线的对称性可知a+b=1, 而1<c<2 022,所以 2<a+b+c<2 023. y=-m[变式训练] 由图象可知，方程只有一个解.1.AC 解析 f(x+2)=lg(|x|+1)为偶函数，A正确，B 错误； 5.0或1 解析 当a=0时，y=-2x+1,有唯一零点； 当a≠0时，由题意可得△=4—4a=0,解得a=1. 综上，实数a的取值为a=0或a=1. 作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(一～,2)上单调递 减，在(2,+心)上单调递增， ·371· 高考一轮总复习·数学·RJB [提升能力 考点剖析] 点，f(x)图象如下 考点1 y4 [例1]ABD 解析由题知f(0)·f(1)<0,所以根据函数零 点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)内一定有零点.又 2 甘 f(1)·f(2)>0,无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有 Z2 0 x零点，在区间(1,2)内可能有零点.故选 ABD. [例2]B 解析由f(x+2)=f(一x)可得f(x)关于x=1 对称， 所以(1){>3,由函数f(x)是定义在R上的奇函数， 解得o<k<号， () 所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-[-f(x-2)]= f(x-2), 所以 f(x)的周期为4. 函数 y=f(x)-x3的零点问题， 即方程y=f(x)-x3=0的解的问题， 即函数y=f(x)和y=x3的图象交点问题. 根据f(x)的性质可得如图所示图形，结合y=x3的图象， 解得 k≥3, 综上，A∈(0.÷)U[3,+). [例4]C 解析函数f(x)定义域是(0,+), 因函数 y=logx,y=4在(0,+～)上都是单调递增的，而 f(x)=a(log?x+4)+3, Y 3 2 当a>0时，f(x)在(0,+心)上单调递增；当a<0时， 1 f(x)在(0,+～)上单调递减；当a=0时，f(x)=3无 零点， 0 5x—5—-4-3, 2 于是得当a≠0时，函数f(x)=alog?x+a·4*+3在(0,+ ～)上连续且单调.-3 (去·1);内有零点，则由零点存在定理因函数 f(x)在区间1由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选 B. [变式训练] 有f(2)·f(1)<0,即(-a+2a+3)(4a+3)<0,解得 1.C 解析 函数y=ln x是(0,+)上的增函数，y=号x- -3<a<-章， f(x)=In x+号x-2是2是R上的增函数，故函数 (-3,-章).所以实数a的取值范围是(0,+～)上的增函数. f(2)=ln 2+≥×2-2=1n 2-1<0,f(3)=In 3+÷×3-2 [变式训练] 1.D 解析 当x>0时，f(a)=3x-1有一个零点x=号. 因此当x≤0时，f(x)=e2+a=0只有一个实根，∴a=—e =1n 3-±>0, 则x∈(0,2)时，f(x)<0;x∈(3,+心)时，f(x)>0. (x≤0),则-l≤a<0. 因为f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=ln x+÷x-2在区 2.D 解析∵y=2'和y=--在(0,+～)上是增函数， ∴f(a)=2′-三-a在(0,+~)上是增函数，∴只需f(1)· 间(2,3)内存在零点. 2.C 解析 令f(x)-2l=0,得f(x)=2l, 则函数y=f(x)-2l|的零点个数等价于函数f(x)与函 数y=2|的图象的交点个数. f(3)<0即可，即(-1-a)·(7-a)<0,解得-1<a<7. 自主培优 4 (2,x≥0, :y=21={( [填110]C 解析 令f(:)=1,当(4)=0时，解得/-合作出函数f(x)与函数y= 2l|的图象如下图所示： 或t=-1. 在同一直角坐标系中分别作出y=f(x),y=-1.y=二的 图象如图所示，观察可知，y=f(x)与y=-1有1个交点， y=f(x)与y=号； y=21 有2个交点，则y=f(f(x))的零点个 数为 3. y=fu) 4? fa)o 由图象可知，两个函数图象的交点个数为2,故函数 y= f(x)—2lxl的零点个数为 2. 考点 2 1 y=: -2 0 2 3 4 x “)s-1 y=÷x+1[例3]C 解析 f(x)与y=kx+1与 共交 7个 高考一轮总复习·数学·RJB -3 ·372 · - 3 y=flx)(2)D 解析因为 所以 f'(x)= 2 9o ǐ3 -2 -1 2 34x 令f(x)<0,解得x<-2,所以f(x)在 -y= -2 (-～,-2)上单调递减，令f'(x)>0,解得-2<x<0或 4 x>0,所以f(x)在(-2,0)和(0,+～)上单调递增，函数 图象如图所示： 图1 当a<0时，f(x)的大致图象如图2,此时令f(f(x))=0, 可得f(x)=1或f(x)=a,4 3 由图易知f(x)=a恰有一根，则需满足f(x)=1有两根， 而x=0和x=2均为f(x)=1的根，则需满足x<0时，21 f(x)⋯<1.5. 23-3. -2· 10 又x<0时，f(x)=-x2+ax的对称轴为x=立， 则f(x)=f(告)=F<1, -3 ,解得-2<a<2,则-2<a <0.当x≤0时，令f(x)=0,得x=0或x=-4.又x→0+时， f(x)→-～;x→+心时，f(x)→+心，f(1)=e-1>0, ,tY y=fx) 所以3x?∈(0,1)使得f(x?)=0. 要使g(x)=f(f(x)-5)=0,即f(x)-5=0或f(x)-5 d =-4或 f(x)-5=x?, -1 oi2 x34 -1 即f(x)=5或f(x)=1或f(x)=x?+5. ⋯-y=a-2 由函数图象易知y=5,y=1,y=x?+5与y=f(x)都有两 个交点， -3 图2故f(x)=5或f(x)=1或f(x)=x?+5各有两个零点， 故函数g(x)=f(f(x)-5)有6个零点. 综上，a的取值范围为(-2,0). 第9讲 函数模型及其应用 [典例2](1)D 解析 f(x)的图象如图所示： [必备知识 夯实四基]yt 知识梳理 2 四递增 ②递增 3y轴 ④x轴 诊断自测1 1.(1)×(2)× (3)× (4)√0 12 x 2.B 解析 根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合. ACD选项都是单调函数，不符合.故选 B. 因为F(x)=f(x)-2af(x)+专，有4个不同的零点，令 3.C 解析设女高音声强为I,普通女性声强为I?,则 f(a)=1,故l-2at+壹=0有解， 101g(70)=75,所以10=10①,101g(70=)=45,所 以=10②,则①÷②,得÷=1000,故女高音声强是 普通女性声强的1000倍. 设此关于t的方程的解为t?,t?,其中t?,t?均不为零且t?t?= 由题设可得关于x的方程f(x)=t?和f(x)=t?共有4 个不同的解， 4.B 解析 由题意得ac?=2a.a=1m2.即f(1)=ac 设经过1天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有ae=8a,2” 解得t=12. 所以再过12—4=8(天),病毒的数量达到原来的8倍. 5.√(1+p)(1+q)-1 解析 设年平均增长率为x,则(1+ x)2=(1+p)(1+q),所以x=√(1+p)(1+q)-1. 解得0>专.所以 [提升能力 考点剖析] 考点 1 [例1](1)D 解析 根据题意，△OAB是边长为2的等边三角 形，则A点的坐标为(1,√3),B点的坐标为(2,0),所以直线 OA的方程为y=√3x,直线AB的方程为y=-√3(x-2), (2)A 解析当a≥0时，f(x)的大致图象如图1,此时令 f(f(x))=0,可得f(x)=1,观察图象可解得x=0或x= 2,即方程有两个根，则此时y=f(f(x))只有两个零点，不 合题意； 所以当O≤≤1时，y=f()=÷xr×属=唇； ·373 · 高考一轮总复习·数学·RJB