第2章 第7讲 函数的图象-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第二章函数的概念与基本初等函数回 A.a>bc B.a>e>b 感悟方法 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函 C.b>a>e D.be>a 数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三 2.(多选)已知函数f(x)=1og4(2-x)一log(x十 方面的问题：一是定义城，所有问题都必须在定 4),则下列结论中正确的是 () 义域内讨论：二是底数与1的大小关系：三是复 A.函数f(x)的定义域是[一4,2] 合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复 B.函数y=f(x一1)是偶函数 合而成的.另外，解题时要注意数形结合，分类 C.函数f(x)在区间[一1,2)上是减函数 讨论、转化与化归思想的应用. D.函数f(x)的图象关于直线x=一1对称 冬变式训练冬 3.不等式log(-3)>x十1的解集是 2 1.(2022·山东聊城·二模)已知a=n4h In 3 In 2' -号则 请完成《课时检测训练11》 第7讲 函数的图象 课标安求！ 1,在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会画简单的函数图象 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题。 必备知识 夯实四基G 对应答案P3 知识梳理 (2)对称变换 1.利用描点法作函数的图象 y=∫()的图象关于轴对称，y=四 的 步骤：(1)确定函数的定义域：(2)化简函数解析 图象： 式：(3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 y一f(x)的图象关于y轴对称 y=☒ 的 性、对称性等)：(4)列表（尤其注意特殊点、零点， 图象： 最大值点，最小值点、与坐标轴的交点等)，描点， y=f(x)的图象 关于原点对称 y=☒ 的 连线. 图象： 2.利用图象变换法作函数的图象 关于直线 (1)平移变换 y=a'(a>0,且a≠1)的图象 「对称y 八 四 (a>0,且a≠1)的图象. 在>0个年位K位 (3)伸缩变换 +布移 右移 0ta不-可 y-f(x) 纵坐标不变 y 位长过上 单位长度 移>0个半位长度 各点横坐标变为原来的。(a>0)倍 =时)-F f(ax). 41 回高考一轮总复习·数学·RJB 横坐标不变 y=f(x)- 教材衍化 点纵坐标变为原来的A(A>0)格y一 2 Af(x). 2.(数材政编题)函数)=千的图象关于 (4)翻折变换 () y一f(x)的图象上轴下方部分翻折到上方 1轴及上方郁分不变y一回 A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 的图象： y轴右侧部分刮折到左侧 3.(教材改编题)已知图①中的图象是函数y一 y=f(x)的图象 原y轴左侧部分去掉，右侧不变广y一 f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能 回 的图象 是 孩常用结论 1.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图象关于直 线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2h-f(2a-x)的图象关 A.y=f(x) 于点(a,b)中心对称. B.y=If(r)I (3)若西数y=f(x)对定义域内任意自变量x满 C.y=f(-x|) 足：f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象 D.y=-f(-zl) 关于直线x=a对称. 易错自纠 2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的 4.(并识函数图象易误)函数f(r)=x·221 系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 在区间[一2,2]上的图象可能是 3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用 “上加下减”进行. 2-1 12寸 诊断自测】 2 思考辨析 1.判断（在括号内打“√”或“×”） (1)将函数y-f(x)的图象先向左平移1个单位 长度，再向下平移1个单位长度得到函数y= -2 f(x+1)+1的图象. ( (2)当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)|与y= 5,(函数图象平移法则现解不滑致误)已知「(x)= fx)的图象相同. ( ) ln(2一x),把f(x)的图象向左平移2个单位长 (3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1一x),则 度，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标 函数f(x)的图象关于直线x=1对称.() 不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)= 42 第二章函数的概念与基本初等函数何 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P370可 考点 作函数的图象（师生共研） 例1]作出下列函数的图象： 令变式训练多 (Dy=(z):(2)y=llog.(+Dl:(3)y- 分别作出下列函数的图象： -2x-1 (Dy-sin) 感悟方法2 1.描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析 式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数 的特征描出图象的关键，点直接作出 2,图象变换法：若函数图象可由某个基本函数 的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图 象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换 的顺序对变换单位及解析式的影响， 考点2 函数图象的识别（多雏探究） 角度1函数图象的识别 (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中 [例2](1)(2022·全国甲卷)函数y 的某个函数在区间[一3,3]上的大致图象，则 () (3一3)osx在区间[-受·受]上的图象大 该函数是 致为 A.y=-2+3r x2+1 B.y=r-t x2+1 C.y-2rcos x2+1 D.y=2sin r x+1 438 回高考一轮总复习·数学，RJB 感悟方法 感悟方法 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函鲛的定 根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 义域，判断图象的左右位置：从函数的值域， (1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解 判断图象的上下位置：(2)从函数的单调性， 析式，从而判断函数图象 判断图象的变化趋势：(3)从周期性，判断图 (2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动，点 象的循环往复：(4)从函数的奇偶性，判断图 处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从 而利用排除法做出选择」 象的对称性， 提醒求解的过程中注意实际问题中的定义城 2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点， 问题 利用特征，点、特殊值的计算分析解决问题。 冬变式训练 角度2借助于动点探究函数的图象 [例3](2023·重庆·高三模拟)习近平总书记亲 1.(2022·山东诗泽·二模)函数f(x)-5sin1+ el 自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为 xcos x在[一2π，2π]上的图象大致为 全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获 得感，幸福感、安全感都离不开健康。为响应习 总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的 正三角形空地（记为△ABC)规划为公园，并用 一条垂直于BC边的小路（宽度不计）把空地分 为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健 身为主，如图，BC∥x轴，小路记为直线x= m(0<m<2),小路右侧为健身休闲区，其面积 2.(2023·四川护州·模拟)如图，一个高为H且 记为∫()，则函数S=f(m)的图象大致为 装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔 ( 打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为，则 函数h=f(t)的图象大致是 () S 18 3 44 第二章函数的概念与基本初等函数回 考点3 函数图象的应用（多维探究） 角度1研究函数的性质 感悟方法 [例4】(2022·撕江机州·高三期来)设函数 1.利用函数的图象研究函数的性质 f(x)=(.x-a)r-a+b(a,b∈R),则( 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函 A.对任意a,b∈R,函数y=f(x)是奇函数 数，其性质（单调性、奇偶性，周期性、最值（值 B.存在a,b∈R,使函数y=f(x)是偶函数 域)、零，点)常借助于图象研究，但一定要注意 C.对任意a,b∈R,函数y=f(x)的图象是中 性质与图象特征的对应关系 心对称图形 2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解 D.存在a,b∈R,使函数y=f(x)的图象是轴 问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数 对称图形 形结合是常用的思想方法，不等式的求解可 角度2解不等式 转化为两函数的上下关系问题。 [例5](2022·河南商丘·三模)已知定义在R上 》变式训练 的奇函数f(x)在[0，十o∞)上的图象如图所示 1.(多选)对于函数f(x)=lg(|x一2|十1)，下列说 侧不等式xf(x)>2f(x)的解集为() 法正确的是 () A.f(x+2)是偶函数 B.f(x+2)是奇函数 C.f(x)在区间（一©，2）上单调递减，在区间(2， +o∞)上单调递增 D.f(x)没有最小值 A.(-√2,0)U(2,2) 2.(2022·北章·北师大二附中三模)已知函数 B.(-∞，-2)U(2,+0) f(x)=2一x一1，则不等式f(x)>0的解集是 C.(-o∞，-2)U(-√2,0)U(w2,2) () D.(-2,-√2)U(02)U(2,+∞) A.(-1,1) 角度3求参数的取值范围 B.(-o0,-1)U(1,+o∞) sin a,0≤x≤1， C.(0,1) [例6]已知函数f(x)= 若实 log1. D.(-o0,0)U(1,十oo) 数a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),则 请完成《课时检测训练12》 a十b十c的取值范围是 第8讲 函数与方程 课标多求」 1.理解函数的零点与方程的解的联系。 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 45型[4]解(1)函数 f(a)=log 5.1n(-2x) 解析 根据左加右减原理，把f(x)的图象向左的图象关于原点对称，则 函数 f(a)=1og,1;为奇函数，有f(-x)=-f(x), 平移2个单位长度可得In[2-(x+2)]=In(-x), 再把图象上每一点的横坐标缩短一半(纵坐标不变),则 g(x)=1n(-2.x). 即log.=-log, ,解得a=±1,当a=1时，不 满足题意，所以a=-1. [提升能力考点剖析 考点 1 [例1]解(1)先作出y=(去)的图象，保留y=(云) 图象 中x≥0的部分，再作出y=(去) log<log.(x+k),即人>(2)由f(x)<log?(x+k),得1 告-.. 的图象中x>0部分关 y-(±)”于y轴的对称部分，即得 的图象，如图①实线部 分. 令g(x)=-x=1+-x,易知g(x)在x∈[2,4] 上单调递减， ,y↑ y? Y,则g(x)的最大值为g(2)=1.又当x∈[2,4]时，f(x)< log?(x+k)恒成立， -1 成 ;o /+12x1 —1— 0 即k>-x在x∈[2,4]恒成立，所以k>1. -10 * -2-1 ① ② ③ [变式训练] (2)将函数y=log?x的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log?(xa=2l2-1n2=log,e,b-1m2-10g.3,c=2-1.D 解析 +1)|的图象，如图②. o-+-1=log,2÷=log?√8, 且函数为偶函数，先用描点法∵3>√8>e,∴b>c>a. 2.BD 解析函数f(x)=log÷(2-x)-log?(x+4)= 作出(0,+心)上的图象，再根据对称性作出(一～,0)上的 图象，得图象如图③.-log?[(2-x)(x+4)], 由2-x>0,x+4>0可得-4<x<2,故函数定义域为 [变式训练] (一4,2),A选项错误； 解 (1)当x≥0时，y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同，又 y=sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.y=f(x-1)=-log?[(3-x)(x+3)]的定义域为(-3, 3),设g(x)=-log?[(3-x)(x+3)],所以g(-x)= -log?[(3+x)(-x+3)]=g(x),即y=f(x-1)是偶函 数，B选项正确； Y 32 f(x)=-log?[(2-x)(x+4)]=-log?(-x2-2x+8)=- 0 -10 123 = -1 log?[-(x+1)2+9]=log+[-(x+1)2+9], 图① 图② 当x∈(-1,2)时，t=-(x+1)2+9是减函数，外层y= log+t也是减函数，所以函数f(x)在区间(—1,2)上是增函 数，故C选项错误； (2)y=2==2+2二1.放函数的图象可由y=-的图象先向右 平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示. 考点 2由f(-2-x)=—log?[(x+4)(2-x)]=f(x),可得 f(x)的图象关于直线x=-1对称，故D选项正确。 [例2](1)A解析令 f(x)=(3'-3-)cos x,x∈ [-2·否], 3.(log?3,+～)解析log?(4*-3)>x+1即为4-3> ,则 f(-x)=(3--3)cos(-x)= -(3'-3~')cosx=-f(x),所以f(x)为奇函数，排除 2·2,故(2*)2—2·2*-3>0,所以(2+1)(2?-3)>0, 即 2?>3,所以x>log,3. 第7讲 函数的图象 BD;又当x∈(0,吾)时，3“-3->0,cos x>0,所以 f(x) [必备知识 夯实四基] >0,排除 C. 知识梳理 f(a)=+.①-f(x) ②f(-x) ③-f(-x)④logx ⑤|f(x)| (2)A 解析 设 ,则f(1)=0,故排除 B; 设h(x)=÷,当x∈(0.晋)时，0<cos x<1, 所以h(x)=2x++<-+≤1,故排除C; 设(x)=十，则g(3)=21b2>0.故排除D. [例3]C 解析由图可知，A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则 直线 AB:y=-√3x+√3,AC:y=√3x-√3. @f(|x|) 诊断自测 1.(1)×(2)× (3)√ 2.A 解析 函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. 3.C 解析 因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉 函数 y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图 象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数 可能是y=f(-|x|).故选 C. 当0<m≤1时，S=f(m)=≥×2×√3-2·m· [√5-(-√3m+√3)]=竖(2-mì); 4.C 解析 ∵f(-x)=|x|·22-l=|=f(x),∴f(x)是偶 函数，函数图象关于y轴对称，排除 A,B选项；∵f(1)=2 =f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调，排除 D选项. 高考一轮总复习·数学·RJB ·370· 当1<m<2时，S=f(m)=÷×(2-m)× yt [/S-√5(m-1)]-竖(2-m)2,故选C. 0 :2 [变式训练] 1.C 解析 首先f(-x)=—f(x),所以函数是奇函数，故 排除 D;f(2π)=2π,故排除 B; 由图象可知函数存在最小值0,C正确，D错误. 2.D 解析 因为f(x)=2*-x-1,所以f(x)>0等价于2 当x∈(0,于)时，f(x)>0,故排除 A,只有C满足条件. >x+1, 在同一直角坐标系中作出y=2*和y=x+1的图象如图：2.B 解析 函数h=f(t)是关于t的减函数，故排除C,D; 则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随 着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B,故选 B. 年 =x+l2 考点3 ro-{“ y=2[例4]C 解析 因为 所以作出 -2 + 2章0 函数 y=f(x)的大致图象，如图所示： - ty 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2°>x+1的 解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为(-,0)U(1,+~). b 第8讲 函数与方程 0 a [必备知识 夯实四基] 知识梳理 由图可知，对任意a,b∈R,函数y=f(x)不一定是奇函数； 不存在a,b∈R,使函数y=f(x)是偶函数；对任意a,b∈ R,函数 y=f(x)的图象是中心对称图形，且对称中心为 a ②< 诊断自测 1.(1)× (2)× (3)×(a,b);不存在a,b∈R,使函数y=f(x)的图象是轴对称 图形.故选 C. 2.B 解析 由于函数f(x)在(0,+心)上是增函数，且f(1) =-4<0,f(3)=1n 3>0,[例5]C解析根据奇函数的图象特征，作出 f(x)在 故函数 f(x)在(1,3)内有唯一零点，即也在(0,+)内有 唯一零点. (一～,0)上的图象如图所示， ty /2 3.C 解析 由已知得f(x)=x+log?x为(0,+～)上的递增 函数， 京-2 0 2 f(号)=÷+1og÷=÷-1og,3<0, r(÷)=2+1og2=-2<0, N 2 由 x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,等价于 (fc3>0*{fc)<0; f(3)=号+1og,号=-1og,3=÷(5-log,27)>0, f(1)=1>0,解得x<-2或√2<x<2,或-√Z<x<0.故不等式解集为 (去号)由零点存在定理可知，f(x)在区间 内存在零点，故(-～,-2)U(-√2,0)U(√2,2). f(s)={m[例6](2,2 023) 解析 函数 的图 象如图所示， 选 C. 4.B 解析 在同一坐标系内，作出y=√与y=log÷x的图 象，如图：ty yt 0 y=Fa 2.022x o不妨令a<b<c,由正弦曲线的对称性可知a+b=1, 而1<c<2 022,所以 2<a+b+c<2 023. y=-m[变式训练] 由图象可知，方程只有一个解.1.AC 解析 f(x+2)=lg(|x|+1)为偶函数，A正确，B 错误； 5.0或1 解析 当a=0时，y=-2x+1,有唯一零点； 当a≠0时，由题意可得△=4—4a=0,解得a=1. 综上，实数a的取值为a=0或a=1. 作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(一～,2)上单调递 减，在(2,+心)上单调递增， ·371· 高考一轮总复习·数学·RJB