第2章 第6讲 对数与对数函数-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学·JB 第6讲 对数与对数函数 课标多求 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数 的单调性与特殊点。 3.了解指数函数y=a与对数函数y=log,x(a>0,且a≠1)互为反函数. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P因68 知识梳理 续表 1.对数的概念 定义城 在表达式a=N(a>0且a≠1，N∈(0，+oo)) 值域 个 中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这 过定点国 ,即x=国时，y= 性质定点 个式子，此时，幂指数b称为回 ,记作b=☒ ,其中a称为对数的☒ 在(0，+∞)上是圆 在(0，+∞)上是 单调性 ,N称为对数的国 国 2.对数的运算性质 《常用结论 如果4>0，且a≠1，M>0,N>0,那么： 1.换底公式的三个重要结论 (1)log.(MV)=回 (1)log.b= loga:(2)log(3)ogb. 1 M (21og=回 logc·logd=log.d. (3)1og.M=☑ 2,对数函数的图象与底数大小的关系 (n∈R) logx 3.换底公式 …= log.= g(a>0,且a≠1：c>0,且c≠1：b>0), log.s log a % 4.对数函数的概念 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交 概念：一般地，函数y=图 称为对数函数， 点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a 其中a是回 ,a>0且a四1. <b. 5.对数函数的图象及性质 由此我们可得到此规律：在第一象限内与y=1 相交的对数函数从左到右底数逐渐增大， a的范围 0<a<1 a>1 诊断自测 y=1 y 4= r=logt 思考辨析 图象 V:00 L.判断（在括号内打“√”或“×”） 11.0 (1)log:r=2log:r. )=log.x (2)函数y=log:(x十I)是对数函数. 38 第二章函数的概念与基本初等函数回 (3)函数y=ln +与y=ln(1+x)-ln1-x 易错自纠 1-x 4.函数f(x)=1og2(|x一1)的图象为 的定义域相同。 ( (4)当x>1时，若logx>logx,则a<b.( 教材衍化 2.(教村改编题)计算：log3·log4十3+ A.2 B.4 C.5 D.6 3.(敢材改编题)已知a=ln2,b=ln3,c=log2,则 1 A.ca>b B.c>h>a 5.不等式log+x>log+(4一x)的解集为 C.b>a>c D.b>c>a 提升能力 考点剖析可 对应客案P369 考点 对数式的化简与求值（题组通关） 1.(2022·浙江卷)已知2°=5,10g3=b,则4-h 3.设5”=2*=10，则+} A.25 B.5 c 石的值为 2.(2022·山西临粉·三模)我国在防震减灾中取 4.log81-log8·log3-2+lg√2+lg√5 得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12 日定为全国“防灾减灾日”.尽管目前人类还无法 感悟方法 准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震 对数式化简与求值的基本原则和方法 有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系 (1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或 式：1gE=4.8+1.5M,其中E为地震释放出的 能量，M为地震的里氏震级.已知2008年5月 逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简， 12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0 取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化 级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里 简的原则进行. 氏震级为7.0级，可知议川地震释放的能量约为 (2)两种常用的方法 九寨沟地震的 ①“收”：将同底的两对数的和（差）收成积（商） (参考数据：9100≈21.5，√1000≈31.6) 的对数： A,9.6倍 B.21.5倍 ②“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两对数的 C.31.6倍 D.47.4倍 和（差） 39 国高考一轮总复习·数学·RJB 考点2 对数函数的图象及应用（师生共研） [例1们(1)在同一个坐标系中，函数f(.x)=a‘与 感悟方法名 g(x)=lga一lgx(a>0,且a≠1)的图象可能 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的 是 性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、 最高点、最低点等)排除不符合要求的选项， (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题，利用数形结合法求解。 -2-1012 -2-1072 -1 -1W 冬变式训练 B 1.函数y=ln2x-3的图象为 2 2 -2-102 -2-102 -1 -1 D (2)(2022·湖南岳阳·一模)已知函数f(x)= log2(x+1),x>3, 3+3-9≤8 若x1<x,且f(x1)= f,≤)+fG)=4.则的取值范 2.(2023·内荣古呼和浩特·二模)若x·10gx= 3,y·2=3,之·ln之=3，则x,y,之由小到大的顺 围是 序是 考点3 对数函数的性质及应用（多维探究） 角度1比较大小 (1)求a的值： I例2](2021·天津卷)设a=og0.3,b=1og号0.4， (2)当x∈[2,4]时，f(x)<log2(x+k)恒成立， c=0.43,则a,b,c的大小关系为 求实数k的取值范围. A.a<b<c B.c<a<b C.b<<a D.a<c<b 角度2解对数不等式 [例3]已知实数a>0,且满足5+>5+'，则不 等式1og.(3.x十2)<og(8-5x)的解集为 角度3对数函数性质的综合应用 [例4幻已知函数)=1g竿的图象关于原 点对称，其中a为常数 40 第二章函数的概念与基本初等函数回 A.a>bc B.a>e>b 感悟方法 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函 C.b>a>e D.be>a 数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三 2.(多选)已知函数f(x)=1og4(2-x)一log(x十 方面的问题：一是定义城，所有问题都必须在定 4),则下列结论中正确的是 () 义域内讨论：二是底数与1的大小关系：三是复 A.函数f(x)的定义域是[一4,2] 合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复 B.函数y=f(x一1)是偶函数 合而成的。另外，解题时要注意数形结合，分类 C.函数f(x)在区间[一1,2)上是减函数 讨论、转化与化归思想的应用 D.函数f(x)的图象关于直线x=一1对称 冬变式训练必 3.不等式log(-3)>x+1的解集是 2 1.(2022·山东聊城·二模)已知a=n4h In 3 In 2' 请完成《课时检测训练11》 c=是则 第7讲 函数的图象 课标求！ 1,在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 2.会画简单的函数图象 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题， 必备知识 夯实四基G 然应答案P30 知识梳理 (2)对称变换 1.利用描点法作函数的图象 y=(x的图象关于：轴对称y=四 的 步骤：(1)确定函数的定义域：(2)化简函数解析 图象： 式：(3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 V一f(x)的图象关于y轴对称 y=☒ 的 性、对称性等)：(4)列表（尤其注意特殊点、零点， 图象： 最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点， y=∫(x)的图象 关于原点对 →y=☒ 的 连线. 图象： 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 y=a(a>0,且a≠1)的图象关于直线 「对称y 八 四 (a>0,且a≠1)的图象. 在>0个年位K位 (3)伸缩变换 +a,布移 右移 0Lta- y-f(x) 纵坐标不变 y 位长上 单位长皮 移>0个半位长度 各点横坐标变为原来的。(a>0)倍 =)-F f(ax）. 41由图象可知，不等式2+1<x+2的解集为{x|-1<x<0}, 整理得(a-1)[4*+(a-1)·2*+1]=0.所以a-1=0,则a 因为{x|-1<x<2}吴{x|-1<x<0},因此，p是q的必 要不充分条件，故选 B. =1. 因此f(x)=1+2=1-1+2.由于1+2'>1∴0<1+2 考点3 <1,∴0<f(x)<1. [例2](1)D解析 由题得a=2°?=2,b=3~3=3~,c=4°.? =4产.又(2=)“=21<3?=(3~)”,所以a<b,且(4÷)= 故 f(x)的值域为(0,1). [变式训练] 1.A 解析 由m?=4,得m=4÷=2÷<√Z,由n?=9,得n= g÷=3÷, 42=21=(2)1,则a=c,所以c=a<b,故选 D. (2)D 解析 ∵e°+π?≥e-+π-“,∴e°-π~“≥e-'-π”,① 令f(x)=e?-π-*,则f(x)是R上的增函数， ①式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0. ?(--)*-(-)*-()>1.甲E>因此， [例3]解 当0<a<1时，y=a°在R上单调递减，所以2x2- m>n, 3x+1<x2+2x-5, 由0.9=0.8,得p=log,0.8>log。,0.81=2,于是得p>m 即 x2-5x+6=(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即不等 >n, 式的解集为(2,3); 所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n. 当a>1时，y=a在R上单调递增，所以2x2-3x+1>x2 2.ACD 解析设t=32,x∈[-1,1],它是增函数，且t∈ [}·3].3^=1. +2x-5, 即 x2-5x+6=(x-2)(x-3)>0,解得x<2或x>3, 即不等式的解集为(-～,2)U(3,+～). 综上，当O<a<1时，不等式的解集为(2,3), ∴y=-2t+41=-2(t-1)?+2,它在/∈(号，1)上时递 增，在t∈(1,3)上时递减，当a>1时，不等式的解集为(一，2)U(3,+~). 因此 f(x)在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减，A正确，B 错误； [例4](1)A 解析 函数f(x)=32-1-2×3*-2=(3-2)2-2 ×3-2,令32=t(t>0), f(a)=f(0)=2,C正确；f(-1)=5,f(1)=-6,∴f(x)所以原函数化为 y=t2-2t,对称轴为t=1,该函数在t∈ (1,+～)上单调递增， 的最小值是一6,D正确. 而3-2=t,故f(x)=32-1-2×3-2在x∈(2,+)上单 调递增. 52+-3<()3.(一3,1) 解析 等价于 5+t-3<5~*,又y =5*为增函数，故x2+x-3<-x,即x2+2x-3<0,解得x(2)AD 解析 因为f(-x)=3--3--f(a),所以 ∈(-3,1). f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； 000号专0-0因为 第6讲 对数与对数函数 [必备知识 夯实四基] ≠ 知识梳理 口以a为底N的对数 ②log。N ③底数 4真数 5log,M+log.N Glog,M-logN 7nlog,M 8logxf(-1),所以 f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故 B 不正确； 9常数 0≠ (0,+～)图(1,0) 图1 40 国减函数 四增函数f(a)=-35+T2=-1+3+1又3>0.所以3+因为J 诊断自测 1>1,所以0<3+<2, 所以 f(x)∈(-1,1),故C不正确； 1.(1)×(2)×(3)√ (4)× 2.D 解析 log.3·10g.4+3*=10g3·102+4=2+4=6. 因为f(a)=-3+1-2=-1+32,且y=3为增面数， 所以 f(x)在定义域(一～,+～)上单调递减，故 D正确. 3.C 解析 因为f(x)=lnx在(0,+)上单调递增，2<3, 所以In 2<ln 3,即 a<b. 又c=log,2-m3<ln 2=a,所以b>a>c.[例5](1)C 解析 令t=-x2+2x,则t=-(x-1)2+1≤1, y=(去)因为 在R上单调递减， y≥去，故函数 f(x)=(2)所以 的 值 域 为 (.+~)·故选 C, 4.A解析函数 f(x)=log。(|x|-1)的定义域为 (-～,-1)U(1,+～),可以排除选项 B、C; 由f(-x)=log?(|-x|-1)=log,(|x|-1)=f(x), 可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除 选项 D. 2 5.(0,2) 解析 因为log+x>log+(4-x),则 解(2)1(0,1) 解析 依题设f(x)+f(一x)=1,则；1+a·2* 得 0<x<2. 因此，原不等式的解集为(0,2).+i+3.2=-1, 高考一轮总复习·数学·RJB ·368· [提升能力考点剖析] 32考点1 (-9,2) (3.2) 369元-9 -6-30 1.C解析 因为2“=5,b=1og,3=号log,3,即2*=3, 所以4-⋯--(2)-子一. 当x?≠x?时，2<f(x?)<4且f(x?)=log?(x?+1), 因为f(x?)+f(x?)=4,所以2<log?(x?+1)<4→3<xg2.C 解析 在lg E=4.8+1.5M中，令M=8,得lg E=4.8 +1.5×8=16.8→E=10'8, <15,=+=6∈(一音，一号); 因此汶川地震释放的能量为101?·,令M=7,得lg E=4.8+ x? 当x?=x?时，x?=x?=3,x?=-6-x?=-9,x?+x? 1.5×7=15.3→E=1015.3, 因此九寨沟地震释放的能量为101?3, -2. (-音，-}).所以- 的取值范围是 10--102-所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的 10÷=√102=√1000≈31.6倍. [变式训练] 3.1 1 解析 由5?=2?=10,得a=log,10,b=log?10, =1g 5,=1g2,所以÷+=1g5+1g 2=1,所以 y=ln T?n-3T,所以2x-3≠0,x≠号，C、1.A 解析 因为 D错误； ÷++方=(lg5)2+1g5·lg 2+1g 2 =1g 5(lg 5+1g 2)+1g 2=1g 5+1g2=1. 当x>意时，y=Inz?g是减函数，B错误，故选A. 2.y<x<解析 依题意，x>0,y>0,x>0,x·log?x=3? log,x=3,y·2=3=22=3,*·lne=3=ln x=3, 因此，x·log,x=3成立的x值是函数y=log,x与y,=三 的图象交点的横坐标t?, 4.0解析 原式=1og,3'—含·log,2·log,3-3+1g √10=4 -2-3+÷=0. 考点2 y·2=3成立的y值是面数y,=-2与y,==(的图象交点的 横坐标t?,÷>1,Iga<0,[例1](1)C 解析 当0<a<1时，则- 则g(x)=lga-lgx的图象可由函数y=-lgx的图象向 下平移|lga|个单位得到， s·ln s=3成立的《值是函数y,=In x与y,=之!的图象交 点的横坐标t?, 作出函数f(x)=a~“与g(x)=lga-lgx(a>0且a≠1) 的简图，如图： 在同一坐标系内作出函数y?=1og?x,y?=2*,y?=Inx,y= -的图象，如图，3xyt fix)=a* y+ y=2'= Y?=log,x0 克 g(x)=lga-lga 斗 y?= In x 则C选项符合； 0 t x o<l<1,lg a>0,当a>1时，则 观察图象，得t?<t?<ltg,即y<x<z,所以x,y, 由小到大 的顺序是y<x<z.则g(x)=lga-lgx的图象可由函数y=—lgx的图象向 上平移|lga|个单位得到， 考点3 [例2]D解析 ∵log,0.3<log,1=0,∴a<0.作出函数f(x)=a~与g(x)=1ga-lgx(a>0且a≠1) 的简图，如图： ::10og-0.4=-1og.0.4=1og.吾>10g2=1,∴b>1. fi)=a ∵0<0.4°3<0.4?=1,∴0<c<1,∴a<c<b.yt [例3](二，言) 解析 由实数a>0,且满足5+2>5+', 根据指数函数的单调性，可得3a+2>4a+1,解得O<a<1, 所以函数y=log,x为单调递减函数， 则不等式log。(3x+2)<log。(8-5x), 0 1 x g(x)=lga-lgx (3x+2>0, 没有选项符合. 2<x<言，可得{8-5x>0, 解得- (2)(-音.-}) (3x+2>8-5x,解析 画出f(x)的图象如下图所示，由 图可知x?+x?=-6,0<f(x?)≤2, (·言):即不等式的解集为 ·369 · 高考一轮总复习·数学·RJB [4]解(1)函数 f(a)=log 5.1n(-2x) 解析 根据左加右减原理，把f(x)的图象向左的图象关于原点对称，则 函数 f(a)=1og,1;为奇函数，有f(-x)=-f(x), 平移2个单位长度可得In[2-(x+2)]=In(-x), 再把图象上每一点的横坐标缩短一半(纵坐标不变),则 g(x)=1n(-2.x). 即log.=-log, ,解得a=±1,当a=1时，不 满足题意，所以a=-1. [提升能力考点剖析 考点 1 [例1]解(1)先作出y=(去)的图象，保留y=(云) 图象 中x≥0的部分，再作出y=(去) log<log.(x+k),即人>(2)由f(x)<log?(x+k),得1 告-.. 的图象中x>0部分关 y-(±)”于y轴的对称部分，即得 的图象，如图①实线部 分. 令g(x)=-x=1+-x,易知g(x)在x∈[2,4] 上单调递减， ,y↑ y? Y,则g(x)的最大值为g(2)=1.又当x∈[2,4]时，f(x)< log?(x+k)恒成立， -1 成 ;o /+12x1 —1— 0 即k>-x在x∈[2,4]恒成立，所以k>1. -10 * -2-1 ① ② ③ [变式训练] (2)将函数y=log?x的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log?(xa=2l2-1n2=log,e,b-1m2-10g.3,c=2-1.D 解析 +1)|的图象，如图②. o-+-1=log,2÷=log?√8, 且函数为偶函数，先用描点法∵3>√8>e,∴b>c>a. 2.BD 解析函数f(x)=log÷(2-x)-log?(x+4)= 作出(0,+心)上的图象，再根据对称性作出(一～,0)上的 图象，得图象如图③.-log?[(2-x)(x+4)], 由2-x>0,x+4>0可得-4<x<2,故函数定义域为 [变式训练] (一4,2),A选项错误； 解 (1)当x≥0时，y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同，又 y=sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.y=f(x-1)=-log?[(3-x)(x+3)]的定义域为(-3, 3),设g(x)=-log?[(3-x)(x+3)],所以g(-x)= -log?[(3+x)(-x+3)]=g(x),即y=f(x-1)是偶函 数，B选项正确； Y 32 f(x)=-log?[(2-x)(x+4)]=-log?(-x2-2x+8)=- 0 -10 123 = -1 log?[-(x+1)2+9]=log+[-(x+1)2+9], 图① 图② 当x∈(-1,2)时，t=-(x+1)2+9是减函数，外层y= log+t也是减函数，所以函数f(x)在区间(—1,2)上是增函 数，故C选项错误； (2)y=2==2+2二1.放函数的图象可由y=-的图象先向右 平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示. 考点 2由f(-2-x)=—log?[(x+4)(2-x)]=f(x),可得 f(x)的图象关于直线x=-1对称，故D选项正确。 [例2](1)A解析令 f(x)=(3'-3-)cos x,x∈ [-2·否], 3.(log?3,+～)解析log?(4*-3)>x+1即为4-3> ,则 f(-x)=(3--3)cos(-x)= -(3'-3~')cosx=-f(x),所以f(x)为奇函数，排除 2·2,故(2*)2—2·2*-3>0,所以(2+1)(2?-3)>0, 即 2?>3,所以x>log,3. 第7讲 函数的图象 BD;又当x∈(0,吾)时，3“-3->0,cos x>0,所以 f(x) [必备知识 夯实四基] >0,排除 C. 知识梳理 f(a)=+.①-f(x) ②f(-x) ③-f(-x)④logx ⑤|f(x)| (2)A 解析 设 ,则f(1)=0,故排除 B; 设h(x)=÷,当x∈(0.晋)时，0<cos x<1, 所以h(x)=2x++<-+≤1,故排除C; 设(x)=十，则g(3)=21b2>0.故排除D. [例3]C 解析由图可知，A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则 直线 AB:y=-√3x+√3,AC:y=√3x-√3. @f(|x|) 诊断自测 1.(1)×(2)× (3)√ 2.A 解析 函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. 3.C 解析 因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉 函数 y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图 象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数 可能是y=f(-|x|).故选 C. 当0<m≤1时，S=f(m)=≥×2×√3-2·m· [√5-(-√3m+√3)]=竖(2-mì); 4.C 解析 ∵f(-x)=|x|·22-l=|=f(x),∴f(x)是偶 函数，函数图象关于y轴对称，排除 A,B选项；∵f(1)=2 =f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调，排除 D选项. 高考一轮总复习·数学·RJB ·370·