第2章 第5讲 指数与指数函数-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

国高考一轮总复习·数学·RJB 角度2二次函数的单调性与最值 感悟方法 [例3]已知函数f(x)=kx2十(3+k)x十3，其中k (1)二次西数在闭区间上的最值主要有三种类 为常数 型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动，不论 (1)若f(2)=3,求函数f(x)的表达式： 哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位 (2)在(1)的条件下，设函数g(x)=f(x)一mz, 置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的 若g(x)在区间[-2,2]上是单调函数，求实数 位置关系进行分类讨论 m的取值范围： (2)二次西数的单调性问题主要依据二次西数 (3)是否存在使得函数f(:x)在[一1,4]上的 图象的对称轴进行分类讨论求解. 最大值是4？若存在，求出k的值：若不存在，请 令变式训练 说明理由。 L.设函数f(x)=x2十x十a(a>0),若f(m)<0,则 () A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m十1)<0 2.已知函数f(x)=x十2.x十3，x∈[m,0]的最大 值为3，最小值为2，则实数加的取值范围是 请完成《课时检测训练9》 第5讲 指数与指数函数 课标求！ 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象， 3,理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 必备知识 夯实四基⑦ [对应客案p36 知识梳理 ,a≥0， ⑤ar=a= (n为大于1的 a<0 1.根式的概念及性质 偶数). (1)概念：式子a叫做① ,这里n叫做根指 2.分数指数幂 数，a叫做被开方数 规定：正数的正分数指数幂的意义是a= (2)①☑ 没有偶次方根。 ☑(a>0,m,n∈N°，且n>1):正数的负分 ②0的任何次方根都是0，记作0=图 数指数幂的意义是a于=图 (a>0,m, ③(a)"=④(n∈N,且n>1). n∈N”,且n>1):0的正分数指数幂等于0：0的 ①a”=a(n为大于1的奇数). 负分数指数幂回 34 第二章函数的概念与基本初等函数回 3.指数幂的运算性质 诊断自测 实数指数幂的运算性质：aa'=四 ,(a)y 思考辨析 =回.(ab)'=回 ,其中4>0，b>0. 1.判断（在括号内打“√”或“×”） x,t∈R 4.指数函数及其性质 (1)a=(a)"=a. (1)概念：一般地，函数y=a称为指数函数，其 (2)(-1)=(-1)=-1】 中a是常数，a>0且a≠1. (3)函数y=a+'(a>1)的值域是(0，十∞). (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 (4)若a"<a"(a>0,且a≠1)，则m<n.( 13= =a'1 y 教材衍化 -=1 0= 2.(教村政编题)下列运算中正确的是 () 图象 0 01 Av2-可-2-xkaV-a 定义域 R C. D.()= 值域 国 3.(教材政编题)设a=0.65,b=0.65,c=1.5.4, 过定点国 ,即x=0时，y=1 则下列a,b,c的大小关系正确的是 () 当>0时，国 当r<0时，团 A.a<<c B.a<c<b 当x<0时.园 当x>0时，☒ C.K<a<c D.b<c<a 性质 在（一，+∞）上是 在（一00，+∞）上是 易错自纠 国 4.(不明指数函数的图乘性质效误)如图是指数函 y=a与y=(日) 的图象关于y轴对称 数(1)y=a:(2)y=:(3)y=c:(4)y=d'的图 象，则a,b,c,d与1的大小关系是 花常用结论 (12) y3)(4 1.画指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象，应抓 住三个关健点：1a,(0,1).(-1,） 2.指数函数y=d(a>0,且a≠1)的图象和性质跟 a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1 -2-1012元 来研究， 3.在第一象限内，指数函数y=a(a>0,且a≠1) 5.(泡略指数函数的值域致误)函数f(x）=2一1 的图象越高，底数越大 的值域为 提升能力 考点剖析⑦ 为应客案P36 考点小 指数的运算（题组通关） 1.已知10°=2,10°=3，则10→- 2.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小， 刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天 A.g B.g c号 D.22 3 数t的关系式为V=a·e".若新丸经过50天 35® 国高考一轮总复习·数学，RJB 后，体积变为言，则一个新丸体积变为品：需经 感悟方法 过的时间为 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数暴统 A.125天B.100天C.75天 D.50天 为分数指数暴，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相桑，指数才能相加， 3.1.5+×()+8×短+(2×3y ②运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化 为正数， 4已知x十x寺-5，则十1-6 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也 x+x1-5 不能既有分母又含有负指数， 考点2 指数函数的图象及应用（师生共研） [例1](1)(2022·陕西·西北工业大学附属中学 多变式训练 2.x+4x十1，x<0, 模拟)函数f(x)= 2 的图象 函数y=。(a>0,且a≠1)的图象可能是 e ,.x≥0 上关于坐标原点对称的点共有 A.3对 B.2对 C.1对 D.0对 2-1,x≤2， (2)已知函数f(x)= 若实数 -x+4x>2, a,b,c满足a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),则 2*+2+的取值范围为 A.(4.8) B.(4.16) C.(8,32) D.(16,32) 感悟方法 2.(2022·江西南昌·二模)已知p:一1<x<2,q: 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从 21-x<2,则p是q的 () 最基本的指数函数的图象入手，通过平移、仲 A.充分不必要条件 缩、对称变换得到.特别地，当底数4与1的 大小关系不确定时应注意分类讨论。 B.必要不充分条件 2.有关指致方程、不等式问题的求解，往往利用 C.充要条件 相应的指数型函数图象，数形结合求解 D.既不充分也不必要条件 考点3 指数函数的性质及应用（多维探究） 角度1比较指数式的大小 (2)若e"十π≥e◆十π“，则下列结论一定成立 [例2(1)(2022·河北衡水·高三模拟)若a= 的是 () 2°，b=302,c=42,则 A.a+b≤0 B.a-b≥0 A.a>b>c B.c>b>a C.a-b≤0 D.a+b≥0 C.c=a>b D.b>a=c 36 第二章函数的概念与基本初等函数回 角度2解简单的指数方程或不等式 2 (2)已知函数f(x)= 1+a·2的图象关于点 [例3]设a>0,且a≠1，解关于x的不等式 a2-+1>a+2- (o,号)对称，则a= ,f(x)的值域为 感悟方法名 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底 数的先化成同底数暴，再利用单调性比较大 小：(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1” 等中间量比较大小 2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数 的单调性进行转化， 3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数 函数相关性质，其次要明确复合函数的构成， 涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借 助“同增异减”这一性质分析判断， 角度3与指数函数有关的复合函数的单调性 提醒在研究指数型函数的单调性时，当底数 [例4](1)函数f(x)=34一2×3“的单调递 a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论。 增区间为 A.[2,+∞) B.[1,+o∞) 冬变式训练 C.[0,+oo) D.[-2,+∞) L.已知m=4,n=9,0.9”=0.8,则正数m,n,p的 2(多选)已知函数)=十则下列结论 大小关系为 () A.pm>n B.m>n>p 正确的有 C.m>p>n D.>n>m A.f(x)的图象关于坐标原点对称 2.(多选)定义在[-1,1门上的函数f(x)=一2· B.f(x)的图象关于y轴对称 9十4·3，则下列结论中正确的是 () C.f(.x)的最大值为1 A.f(x)的单调递减区间是(0,1) D.f(x)在定义域上单调递诚 B.f(x)的单调递增区间是（一1,1） 角度4指数函数的最值（值域）问题 C.f(x)的最大值是f(0)=2 例5] 1函数fx)=(合) 的值域为 D.f(x)的最小值是f(1)=-6 ( 3.若不等式5<() 成立，则实数x的取值 A(∞，J B.(o. 范围是 c[2+∞） 请完成《课时检测训练10》 D.[2,+∞) 37®44, 式=(号)*+z2×z?+21×g-(÷)*-23.110 解析 原立 +108=110. 2 4.一 解析 x÷+x*=√5,两边同时平方，得x+x?+21 =5,所以x+x~1=3,-3 -2 -1 0 1 x 对x+x1=3两边同时平方，得 x2+x2+2=9,x2+x2 令f(x)=x2+2x+3=3,则x=0或x=-2, =7, 若函数f(x)=x2+2x+3在[m,0]上的最大值为3,最小值 +x2=6-3=8--2.则：为2,则m∈[-2,-1]. 考点 2第5讲 指数与指数函数 [必备知识 夯实四基] o-[例1](1)B 解析 作出函数 的 图象如图所示，再作出y=2x2+4x+1,x<0关于原点对称 的图象，记为曲线C.容易发现 y=f(x),x≥0与曲线C有 且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即 图中的 A,B就是符合题意的点. 知识梳理 四根式 ②负数 ③0 4a 5a G-a 7√a” 8- √a” 9没有意义 0a+a”a'b(0,+)(0,1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 囫增函数 20减函数 4!” 诊断自测 3 1.(1)× (2)× (3)× (4)× 2| 2.C 解析 对于A,2-π<0,所以√(2-π)2=π—2,错误； 1A 3 2 4 对于B.因为一÷>0.所以a<0,则a√-5=-(-a)· √==-√-a,错误； -2 3 -2 -3| (2)D 解析 作出函数f(x)的图象，如图， 对于C.(m2y-÷)°=(m2)^(u-÷)*=,,正确； 对于 D,(x3-F)3+F=x?-2=x2,错误. 4 3.C 解析 y=0.6°是减函数，所以1>0.6°?>0.61?,1.5> a0b 2 C4本 x1,0.6>0,1.5°?>1,所以b<a<c. 4.c>d>1>a>b 解析 作直线x=1,由图可得c1>d1>1> a1>b,即 c>d>1>a>b. 当x<0时，f(x)=|2?-1|=1-2?∈(0,1), (1)(2) (3)(4) 由图可知，f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),即 4—ty c∈(0,1), 得3<c<4,则8<2°<16. d 由f(a)=f(b),即|2°-1|=|2°-1|,得1-2?=2*-1, 求得2?+2?=2, ∴2?+“+2+=2(2*+2?)=2×2∈(16,32),故选 D. of [变式训练]lx=1 5.(-1,+～) 解析 因为y=2*,x∈R的值域为(0,+～), 1.C 解析 当a>1时，0<÷<1,函数y=a-单调递增， 且图象向下平移- 个单位长度，故 AB错误；当0<a<1时， 所以函数 f(x)=2*-1的值域为(-1,+~). 1a[提升能力 考点剖析] 考点 1 ÷>1,函数y=a-÷: -ia单调递减，且图象向下平移- 个单位 长度，故C正确 D错误.故选 C. 1.D 解析 根据题意，得(10~)2=10-2=10×10-= (10*)3×(10°)2=21×32=号， 2.B 解析 对于不等式2+l<x+2,作出函数 y=2+I与y= x+2的图象如下图所示： 因为10>0,所以10°-√晋-2F y=2*yt 于a=a·e-.2.C 解析 由题意知a>0,当t=50时，有- 即音=(c)”,得C?=√晋. a=.所以当 V=鸢4时，有 a·e-*. 1=x+2 2 理分=(e2y=(号),得(号)=(号).所以t=75. 左-1 0 ·367· 高考一轮总复习·数学·RJB 由图象可知，不等式2+1<x+2的解集为{x|-1<x<0}, 整理得(a-1)[4*+(a-1)·2*+1]=0.所以a-1=0,则a 因为{x|-1<x<2}吴{x|-1<x<0},因此，p是q的必 要不充分条件，故选 B. =1. 因此f(x)=1+2=1-1+2.由于1+2'>1∴0<1+2 考点3 <1,∴0<f(x)<1. [例2](1)D解析 由题得a=2°?=2,b=3~3=3~,c=4°.? =4产.又(2=)“=21<3?=(3~)”,所以a<b,且(4÷)= 故 f(x)的值域为(0,1). [变式训练] 1.A 解析 由m?=4,得m=4÷=2÷<√Z,由n?=9,得n= g÷=3÷, 42=21=(2)1,则a=c,所以c=a<b,故选 D. (2)D 解析 ∵e°+π?≥e-+π-“,∴e°-π~“≥e-'-π”,① 令f(x)=e?-π-*,则f(x)是R上的增函数， ①式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0. ?(--)*-(-)*-()>1.甲E>因此， [例3]解 当0<a<1时，y=a°在R上单调递减，所以2x2- m>n, 3x+1<x2+2x-5, 由0.9=0.8,得p=log,0.8>log。,0.81=2,于是得p>m 即 x2-5x+6=(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即不等 >n, 式的解集为(2,3); 所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n. 当a>1时，y=a在R上单调递增，所以2x2-3x+1>x2 2.ACD 解析设t=32,x∈[-1,1],它是增函数，且t∈ [}·3].3^=1. +2x-5, 即 x2-5x+6=(x-2)(x-3)>0,解得x<2或x>3, 即不等式的解集为(-～,2)U(3,+～). 综上，当O<a<1时，不等式的解集为(2,3), ∴y=-2t+41=-2(t-1)?+2,它在/∈(号，1)上时递 增，在t∈(1,3)上时递减，当a>1时，不等式的解集为(一，2)U(3,+~). 因此 f(x)在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减，A正确，B 错误； [例4](1)A 解析 函数f(x)=32-1-2×3*-2=(3-2)2-2 ×3-2,令32=t(t>0), f(a)=f(0)=2,C正确；f(-1)=5,f(1)=-6,∴f(x)所以原函数化为 y=t2-2t,对称轴为t=1,该函数在t∈ (1,+～)上单调递增， 的最小值是一6,D正确. 而3-2=t,故f(x)=32-1-2×3-2在x∈(2,+)上单 调递增. 52+-3<()3.(一3,1) 解析 等价于 5+t-3<5~*,又y =5*为增函数，故x2+x-3<-x,即x2+2x-3<0,解得x(2)AD 解析 因为f(-x)=3--3--f(a),所以 ∈(-3,1). f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； 000号专0-0因为 第6讲 对数与对数函数 [必备知识 夯实四基] ≠ 知识梳理 口以a为底N的对数 ②log。N ③底数 4真数 5log,M+log.N Glog,M-logN 7nlog,M 8logxf(-1),所以 f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故 B 不正确； 9常数 0≠ (0,+～)图(1,0) 图1 40 国减函数 四增函数f(a)=-35+T2=-1+3+1又3>0.所以3+因为J 诊断自测 1>1,所以0<3+<2, 所以 f(x)∈(-1,1),故C不正确； 1.(1)×(2)×(3)√ (4)× 2.D 解析 log.3·10g.4+3*=10g3·102+4=2+4=6. 因为f(a)=-3+1-2=-1+32,且y=3为增面数， 所以 f(x)在定义域(一～,+～)上单调递减，故 D正确. 3.C 解析 因为f(x)=lnx在(0,+)上单调递增，2<3, 所以In 2<ln 3,即 a<b. 又c=log,2-m3<ln 2=a,所以b>a>c.[例5](1)C 解析 令t=-x2+2x,则t=-(x-1)2+1≤1, y=(去)因为 在R上单调递减， y≥去，故函数 f(x)=(2)所以 的 值 域 为 (.+~)·故选 C, 4.A解析函数 f(x)=log。(|x|-1)的定义域为 (-～,-1)U(1,+～),可以排除选项 B、C; 由f(-x)=log?(|-x|-1)=log,(|x|-1)=f(x), 可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除 选项 D. 2 5.(0,2) 解析 因为log+x>log+(4-x),则 解(2)1(0,1) 解析 依题设f(x)+f(一x)=1,则；1+a·2* 得 0<x<2. 因此，原不等式的解集为(0,2).+i+3.2=-1, 高考一轮总复习·数学·RJB ·368·